So läuft deine mündliche Prüfung ab: Du bekommst eine Aufgabe, hast eine kurze Vorbereitungszeit, und hältst dann einen kleinen Vortrag (Prüfungsteil 1). Danach stellt die Lehrkraft dir Rückfragen und schaut, ob du auch über den Tellerrand denkst (Prüfungsteil 2, das Gespräch). Diese zweite Simulation hat denselben Aufbau wie die erste, aber den Schwerpunkt Integralrechnung und Bestand — also: von einer Änderungsrate auf den Bestand schließen.
Arbeite sie ehrgeizig durch: erst selbst rechnen (von Hand, kein Taschenrechner — das ist auch in der echten Prüfung so), dann die aufklappbaren Lösungen vergleichen. Die Haltung hinter jedem Schritt steht jeweils im Detailkasten — die ist in der mündlichen Prüfung mindestens so wichtig wie das Ergebnis.
Die Ausgangssituation (lies das zuerst)
In einen Wassertank fließt Wasser zu. Die Zuflussrate wird durch die Funktion
\[ f(t) = -\tfrac14 t^2 + t \]
beschrieben, wobei \( t \) die Zeit in Stunden ist (\( 0 \le t \le 4 \)) und \( f(t) \) die Rate in Kubikmetern pro Stunde (\( \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \)). Zu Beginn (\( t = 0 \)) sind bereits \( 5\ \mathrm{m}^3 \) Wasser im Tank.
Wichtig — der gedankliche Kern dieser Aufgabe: \( f(t) \) ist nicht die Wassermenge, sondern die Geschwindigkeit, mit der die Wassermenge wächst. Den Bestand (also wie viel Wasser drin ist) bekommst du, indem du die Rate aufsummierst — und das Aufsummieren einer Rate über die Zeit ist genau das Integral. Dieses eine Bild trägt die ganze Aufgabe.
Haltung dahinter: Rate ↔ Bestand — woher kommt dieser Zusammenhang?
Wenn \( B(t) \) der Bestand (die Wassermenge) zur Zeit \( t \) ist, dann ist die Zuflussrate genau die momentane Änderung des Bestands, also \( B'(t) = f(t) \). Der Bestand \( B \) ist damit eine Stammfunktion der Rate \( f \). Genau hier verzahnen sich Ableitung und Integral.
… und wie der Hauptsatz daraus die Mengenformel macht
Aus \( B'(t) = f(t) \) folgt mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: die in einem Zeitraum \( [a;b] \) hinzugekommene Menge ist
\[ B(b) - B(a) = \int_a^b f(t)\,dt . \]
Der Bestand am Ende ist dann Anfangsbestand plus Zuflussmenge. Diese Trennung — „Startwert" und „aufintegrierte Änderung" — solltest du im Vortrag aussprechen, das ist der prüfungsrelevante Kern.
Prüfungsteil 1: Dein Vortrag AB I–II
Bereite die folgenden drei Punkte so vor, dass du sie frei und mit Begründung vortragen kannst. Sprich beim Üben laut — genau wie in der Prüfung.
(a) Bestimme die Nullstellen der Rate \( f \) und sage, was sie im Sachzusammenhang bedeuten. AB I
(b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Zuflussrate am größten, und wie groß ist sie dann? AB II
(c) Wie viel Wasser fließt insgesamt in den vier Stunden zu, und wie viel ist am Ende (\( t = 4 \)) im Tank? AB II
Lösung (a): Nullstellen und ihre Bedeutung
Setze die Rate gleich null und klammere \( t \) aus — das ist immer der erste Griff bei einem Polynom ohne konstantes Glied:
\[ -\tfrac14 t^2 + t = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad t\left(-\tfrac14 t + 1\right) = 0 . \]
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt):
\[ t = 0 \qquad\text{oder}\qquad -\tfrac14 t + 1 = 0 \;\Rightarrow\; t = 4 . \]
Also \( t_1 = 0 \) und \( t_2 = 4 \). Bedeutung im Sachzusammenhang: zu Beginn (\( t=0 \)) und am Ende des betrachteten Zeitraums (\( t=4 \)) ist die Zuflussrate \( 0\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \) — in genau diesen Momenten fließt gerade kein Wasser zu.
Haltung dahinter: warum ausklammern statt p-q-Formel?
Sobald jeder Summand ein \( t \) enthält (kein konstantes Glied), ist Ausklammern der schnellste und sicherste Weg — gerade rechnerfrei. Die p-q-Formel wäre Overkill und fehleranfällig. Faustregel: erst auf einen einfachen Faktor schauen, dann zur Formel greifen. Eine der Nullstellen ist hier sofort \( t=0 \), weil \( f \) keinen konstanten Anteil hat.
Lösung (b): Zeitpunkt und Wert der größten Rate
Gesucht ist das Maximum von \( f \). Notwendige Bedingung für eine Extremstelle: die Ableitung ist null.
\[ f'(t) = -\tfrac12 t + 1 \stackrel{!}{=} 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 2 . \]
Hinreichend prüfen über die zweite Ableitung: \( f''(t) = -\tfrac12 < 0 \) für alle \( t \), also ist \( t=2 \) eine Maximumstelle (Rechtskrümmung). Der größte Wert ist
\[ f(2) = -\tfrac14\cdot 4 + 2 = -1 + 2 = 1 . \]
Antwort: Nach \( 2 \) Stunden ist die Zuflussrate am größten, nämlich \( 1\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \).
Haltung dahinter: notwendig vs. hinreichend — nie verwechseln
\( f'(t)=0 \) ist nur ein Verdacht (notwendige Bedingung) — dort könnte ein Extremum liegen. Die Entscheidung, ob Hoch- oder Tiefpunkt, liefert ein hinreichendes Kriterium: hier \( f''(2) < 0 \) ⇒ Hochpunkt. Typische Falle: nur \( f'=0 \) lösen und das Vorzeichen von \( f'' \) vergessen. In der Prüfung immer beide Schritte aussprechen.
Alternative ohne f'': das Vorzeichen von f' beobachten
Statt \( f'' \) kannst du auch das Vorzeichen von \( f' \) um die Stelle prüfen: für \( t<2 \) ist \( f'(t) = -\tfrac12 t + 1 > 0 \) (Rate steigt), für \( t>2 \) ist \( f'(t) < 0 \) (Rate fällt). Wechsel von + nach − ⇒ Hochpunkt. Beide Wege sind gleichwertig; der \( f'' \)-Weg ist meist schneller.
Lösung (c): Gesamtzuflussmenge und Endbestand
Die insgesamt zugeflossene Menge ist die Rate über den ganzen Zeitraum aufintegriert. Zuerst eine Stammfunktion bilden (Potenzregel rückwärts: Exponent um \( 1 \) erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen):
\[ F(t) = -\tfrac14\cdot\tfrac{t^3}{3} + \tfrac{t^2}{2} = -\tfrac{1}{12}t^3 + \tfrac12 t^2 . \]
Jetzt der Hauptsatz — Stammfunktion oben minus Stammfunktion unten:
\[ \int_0^4 f(t)\,dt = \Big[\, -\tfrac{1}{12}t^3 + \tfrac12 t^2 \,\Big]_0^4 = \left(-\tfrac{1}{12}\cdot 64 + \tfrac12\cdot 16\right) - 0 . \]
Schrittweise rechnen, das ist rechnerfrei gut machbar:
\[ -\tfrac{64}{12} + 8 = -\tfrac{16}{3} + \tfrac{24}{3} = \tfrac{8}{3} . \]
Es fließen also \( \tfrac{8}{3}\ \mathrm{m}^3 \approx 2{,}67\ \mathrm{m}^3 \) zu. Der Endbestand ist Anfangsbestand plus Zufluss:
\[ B(4) = 5 + \tfrac{8}{3} = \tfrac{15}{3} + \tfrac{8}{3} = \tfrac{23}{3} \approx 7{,}67\ \mathrm{m}^3 . \]
Haltung dahinter: warum F(0)=0 hier mühelos ist und wie man Brüche bändigt
Weil \( F(t) \) nur Potenzen von \( t \) ohne konstantes Glied enthält, ist \( F(0)=0 \) — die untere Grenze fällt weg. Bruch-Strategie rechnerfrei: alles auf den gemeinsamen Nenner \( 3 \) bringen (\( 8 = \tfrac{24}{3} \), \( 5 = \tfrac{15}{3} \)), dann nur noch Zähler addieren. Wer das diszipliniert macht, vermeidet die häufigsten Flüchtigkeitsfehler.
Annahme dahinter: warum darf hier „Bestand = Start + Integral" gerechnet werden?
Das gilt, weil die Rate auf \( [0;4] \) nicht negativ ist (\( f(t)\ge 0 \), siehe Graph): es fließt nur zu, nie ab. Dann ist das Integral gleich der tatsächlich hinzugekommenen Wassermenge. Bei einer Rate mit negativen Abschnitten (Abfluss) zählt das Integral die Bilanz aus Zu- und Abfluss — das ist genau das Thema im Gespräch unten.
Der Graph der Zuflussrate (zur Anschauung)
Die schraffierte Fläche unter der Kurve ist die in den vier Stunden zugeflossene Wassermenge \( \int_0^4 f\,dt = \tfrac{8}{3} \). Der markierte Punkt ist das Maximum der Rate bei \( (2 \mid 1) \).
Wie du diesen Graphen in der Prüfung in einem Satz beschreibst
„Die Zuflussrate startet bei \( 0 \), steigt bis zum Maximum \( 1\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \) nach \( 2 \) Stunden und fällt dann symmetrisch wieder auf \( 0 \) ab; die Fläche unter der Kurve ist die gesamte zugeflossene Wassermenge." Solche Verbindung von Graph und Sachzusammenhang bringt im mündlichen Teil viele Punkte.
Prüfungsteil 2: Das Gespräch (Rückfragen) AB II–III
Im Gespräch wird tiefer gebohrt. Versuche bei jeder Frage zuerst eine eigene Antwort, bevor du aufklappst.
(d) Wie groß war die durchschnittliche Zuflussrate in den vier Stunden? AB II
(e) Ab Stunde \( 0 \) öffnet sich zusätzlich ein Abfluss mit der Rate \( g(t) = \tfrac12 t \). In welchem Zeitraum steigt der Wasserstand trotzdem noch, und um wie viel netto in dieser Phase? AB III
(f) Begriffsfrage: Worin unterscheidet sich das Integral \( \int_0^4 f\,dt \) vom Wert \( f(4) \)? Erkläre an diesem Beispiel. AB II
Lösung (d): Durchschnittliche Rate (Mittelwert eines Integrals)
Der Mittelwert einer Funktion über \( [a;b] \) ist das Integral geteilt durch die Länge des Intervalls:
\[ \bar f = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)\,dt = \frac{1}{4-0}\cdot\tfrac{8}{3} = \tfrac{8}{12} = \tfrac{2}{3} . \]
Die durchschnittliche Zuflussrate war also \( \tfrac{2}{3}\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \approx 0{,}67\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \).
Haltung dahinter: was der Mittelwert anschaulich bedeutet
Der Mittelwert \( \tfrac23 \) ist die Höhe eines Rechtecks über \( [0;4] \), das dieselbe Fläche (also dieselbe Wassermenge) hat wie die Kurve: \( \tfrac23 \cdot 4 = \tfrac{8}{3} \). Du „verteilst" den schwankenden Zufluss gedanklich gleichmäßig über die Zeit. Den Term \( \tfrac{8}{3} \) aus Teil (c) darfst du hier wiederverwenden — in der Prüfung ruhig sagen: „Ich nutze das Ergebnis von vorhin."
Lösung (e): Netto-Zuwachs bei zusätzlichem Abfluss
Jetzt fließt zu mit \( f(t) \) und ab mit \( g(t) = \tfrac12 t \). Die Netto-Änderungsrate des Bestands ist die Differenz:
\[ n(t) = f(t) - g(t) = \left(-\tfrac14 t^2 + t\right) - \tfrac12 t = -\tfrac14 t^2 + \tfrac12 t . \]
Der Wasserstand steigt, solange \( n(t) > 0 \). Nullstellen von \( n \) durch Ausklammern:
\[ -\tfrac14 t^2 + \tfrac12 t = t\left(-\tfrac14 t + \tfrac12\right) = 0 \;\Rightarrow\; t = 0 \ \text{oder}\ t = 2 . \]
Zwischen \( 0 \) und \( 2 \) ist \( n(t) > 0 \) (z. B. \( n(1) = -\tfrac14 + \tfrac12 = \tfrac14 > 0 \)), danach negativ. Der Wasserstand steigt also im Zeitraum \( 0 \le t \le 2 \). Der Netto-Zuwachs in dieser Phase ist das Integral von \( n \):
\[ \int_0^2 n(t)\,dt = \Big[\, -\tfrac{1}{12}t^3 + \tfrac14 t^2 \,\Big]_0^2 = -\tfrac{1}{12}\cdot 8 + \tfrac14\cdot 4 = -\tfrac{2}{3} + 1 = \tfrac{1}{3} . \]
In den ersten zwei Stunden kommt also netto \( \tfrac13\ \mathrm{m}^3 \approx 0{,}33\ \mathrm{m}^3 \) hinzu.
Haltung dahinter: Differenz der Raten — und warum hier ein Vorzeichenwechsel lauert
Bei zwei gleichzeitig wirkenden Raten ist die Bilanzrate die Differenz \( n=f-g \). Steigen/Fallen des Bestands hängt am Vorzeichen von \( n \), nicht von \( f \) allein. Typische Falle: einfach \( \int_0^4 n\,dt \) bilden — dann mischen sich Steig- und Fallphase und die Frage „in welchem Zeitraum steigt es?" bleibt unbeantwortet. Erst die Nullstelle \( t=2 \) (der Umschaltpunkt) finden, dann gezielt über \( [0;2] \) integrieren.
Geometrisch: das ist die Fläche zwischen den beiden Kurven f und g auf [0;2]
Weil auf \( [0;2] \) gilt \( f(t) \ge g(t) \), ist \( \int_0^2 (f-g)\,dt \) genau der Flächeninhalt zwischen den beiden Kurven in diesem Bereich — die Standardformel „obere minus untere Funktion, dann integrieren". Das verbindet das Sachthema „Bestand" mit dem rein geometrischen „Fläche zwischen Graphen". Der AB-III-Charakter steckt im Erkennen dieser Verbindung.
Lösung (f): Integral vs. Funktionswert — der entscheidende Begriffsunterschied
Beides sind völlig verschiedene Dinge, auch in der Einheit:
- \( f(4) = -\tfrac14\cdot 16 + 4 = -4 + 4 = 0 \) ist die Rate zum Zeitpunkt \( t=4 \), also wie schnell gerade Wasser zufließt: hier \( 0\ \mathrm{m}^3/\mathrm{h} \). Das ist ein Momentanwert.
- \( \int_0^4 f\,dt = \tfrac{8}{3} \) ist die über vier Stunden aufsummierte Menge, also wie viel Wasser insgesamt dazugekommen ist: \( \tfrac{8}{3}\ \mathrm{m}^3 \). Das ist eine Menge.
Kurz: \( f(4) \) ist eine Geschwindigkeit (m³ pro Stunde), das Integral eine Menge (m³). Dass \( f(4)=0 \) ist und der Tank trotzdem voller ist als am Anfang, zeigt es deutlich: gerade kein Zufluss mehr, aber vorher ist viel zusammengekommen.
Haltung dahinter: warum diese Frage so gern gestellt wird
Das Verwechseln von Bestand, Änderungsrate und aufintegrierter Änderung ist der häufigste konzeptionelle Fehler im Abitur. Wer den Unterschied an einem Sachbeispiel mit Einheiten erklären kann (m³ vs. m³/h), zeigt echtes Verständnis — das ist genau die Sorte AB-II-Begründung, die im mündlichen Teil zählt.
Erwartungshorizont (so bewertet die Lehrkraft)
Diese Übersicht zeigt dir, worauf es ankommt — nicht nur das Ergebnis, sondern die Begründung. Hak nach dem Üben ungeschönt ab, was du frei sprechen konntest.
| Teil | Erwartete Leistung | Ergebnis | AB |
|---|---|---|---|
| (a) | Ausklammern, Satz vom Nullprodukt, Deutung der Nullstellen im Sachkontext | \( t=0,\ t=4 \) | I |
| (b) | \( f'=0 \), hinreichende Prüfung (\( f''<0 \)), Wert angeben | \( t=2,\ f(2)=1 \) | II |
| (c) | Stammfunktion, Hauptsatz, Trennung Startwert + Zuflussmenge | \( \tfrac{8}{3} \); \( B(4)=\tfrac{23}{3} \) | II |
| (d) | Mittelwertformel \( \tfrac{1}{b-a}\int \), Ergebnis aus (c) wiederverwenden | \( \tfrac{2}{3} \) | II |
| (e) | Netto-Rate \( f-g \), Umschalt-Nullstelle, gezielt integrieren | steigt auf \( [0;2] \); \( +\tfrac{1}{3} \) | III |
| (f) | Rate (Momentanwert) vs. Integral (Menge), mit Einheiten erklären | \( f(4)=0 \) vs. \( \tfrac{8}{3}\,\mathrm{m}^3 \) | II |
Dein Selbstcheck: Konntest du bei (c) klar sagen, warum du integrierst (Rate → Menge) und bei (f) den Unterschied in Einheiten benennen? Wenn ja, sitzt der Kern der Integralrechnung fürs mündliche Basisfach. Wo es noch hakt: nimm es laut auf einer Sprachnachricht auf — daraus baut das Lernbuch dir die passende Übung.
Hinweis zum Prüfungsstatus dieser Aufgabe
Der Schwerpunkt Integral- und Bestandsrechnung ist Kernstoff der Analysis und für das Basisfach gesichert relevant gesichert. Teil (e) (Differenz zweier Raten, Fläche zwischen Kurven mit Sachdeutung) liegt vom Anspruch im Bereich AB III und ist im Basisfach eher am oberen Rand Anspruch AB III — im Basisfach selten in dieser Tiefe; mit Lehrkraft prüfen. Übe es trotzdem: das Denken in Netto-Raten festigt das Verständnis für (c) und (f).