Ganz langsam, was hier gefragt ist.

Steigung. Die Steigung sagt, wie steil eine Linie ansteigt oder abfällt. Bei einer Geraden misst man sie mit einem Steigungsdreieck: „Gehe ein Stück nach rechts, schaue, wie viel es dabei nach oben (oder unten) geht." Steigung \( = \dfrac{\text{Höhenänderung}}{\text{Schritt nach rechts}} \). Geht es nach unten, ist die Steigung negativ.

Ableitung \( f'(2) \). Eine krumme Kurve hat an jeder Stelle eine andere Steilheit. Die Ableitung \( f'(2) \) ist genau die Steigung der Kurve an der einen Stelle \( t=2 \). Man bekommt sie, indem man dort die Tangente anlegt — das ist die Gerade, die sich an dieser Stelle genau an die Kurve „anschmiegt" — und deren Steigung mit dem Steigungsdreieck abliest. Hier fällt die Kurve bei \( t=2 \), die Tangente geht abwärts, also ist \( f'(2) \) negativ. Ein Schritt nach rechts, ungefähr ein Schritt nach unten \( \Rightarrow f'(2)\approx -1 \).

Was bedeutet das im Sachzusammenhang? \( f \) ist die Wachstumsrate (wie schnell die Pflanze gerade wächst, in cm pro Tag). \( f'(2)\approx -1 \) heißt: Am zweiten Tag nimmt diese Geschwindigkeit ab — die Pflanze wächst noch, aber von Tag zu Tag langsamer.

Ein Integral \( \displaystyle\int_0^2 f(t)\,dt \) ist eine Maschine, die die Fläche zwischen dem Graphen und der \( t \)-Achse zwischen den senkrechten Grenzen \( t=0 \) (links) und \( t=2 \) (rechts) zusammenrechnet. Man kann es sich als „lauter hauchdünne senkrechte Streifen unter der Kurve, alle aufaddiert" vorstellen.

Weil hier die ganze Kurve über der \( t \)-Achse liegt, ist die Fläche einfach positiv — man muss nicht mit Vorzeichen aufpassen. Man darf sie deshalb direkt abzählen.

Der Schlüssel ist der Unterschied zwischen Geschwindigkeit und zurückgelegtem Weg.

\( f \) ist eine Rate: Sie sagt, wie schnell die Pflanze gerade wächst — in cm pro Tag. Die gesamte Höhenänderung über einen Zeitraum bekommt man, indem man die Rate über die Zeit aufsummiert, und genau das tut das Integral.

Alltagsanalogie Tacho. Stell dir ein Auto vor. Der Tacho zeigt die Geschwindigkeit (km pro Stunde). Die gefahrene Strecke ist nicht der Tachowert selbst, sondern „Geschwindigkeit mal Zeit" — bzw. die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve. Genauso hier: \( f \) ist der „Tacho" des Wachstums (cm pro Tag), und die Fläche unter \( f \) ist die „gefahrene Strecke", also der Höhenzuwachs in cm.

Die Einheiten zeigen es. \( f(t) \) hat die Einheit \( \tfrac{\text{cm}}{\text{Tag}} \), die Zeitspanne hat die Einheit \( \text{Tag} \). Multipliziert man (und ein Integral ist im Kern eine Multiplikation „Höhe mal Breite"), kürzt sich „Tag" weg und es bleibt cm — eine Länge, also eine Höhe. Deshalb ist \( \int_0^2 f\,dt = 4{,}75 \) ein Zuwachs von \( 4{,}75 \) cm.

Hier stapeln sich drei Ebenen aufeinander, deshalb der Reihe nach.

• \( f \) selbst ist die Wachstumsrate (wie schnell die Pflanze wächst).
• \( f' \) ist die Steigung von \( f \) — also wie schnell sich die Wachstumsrate ändert. Ist \( f' \lt 0 \), so sinkt die Rate (die Pflanze verliert an Schwung).
• „Am stärksten abnehmen" heißt: dieses Sinken ist am heftigsten, die Rate stürzt am schnellsten — \( f' \) ist so negativ wie nirgends sonst, hat also ein Minimum.

Und ein Hoch- oder Tiefpunkt einer Funktion liegt dort, wo ihre Ableitung null ist. Die Ableitung von \( f' \) ist \( f'' \). Deshalb: \( f''(t)=0 \) setzen. Der Punkt, den man findet, heißt Wendepunkt von \( f \) — die Stelle, an der die Kurve von „Linkskurve" auf „Rechtskurve" umschaltet und genau dazwischen am steilsten ist.

Stammfunktion. Eine Stammfunktion \( F \) von \( f \) ist „Ableiten rückwärts": Ihre Ableitung ist wieder \( f \), also \( F'=f \). Wenn \( f \) die Wachstumsrate ist, dann ist \( F \) die davon aufsummierte Größe — die angesammelte Höhenzunahme seit dem Start. Bild: \( f \) sind die täglichen Einzahlungen aufs Konto, \( F \) ist der Kontostand.

Differenz von Kontoständen. \( F(t+1) \) ist der Kontostand am Tag \( t+1 \), \( F(t) \) der am Tag \( t \). Die Differenz \( F(t+1)-F(t) \) ist also genau das, was in diesem einen Tag dazugekommen ist — der Zuwachs zwischen \( t \) und \( t+1 \).

Warum eine Fläche? Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verknüpft beides: \( \displaystyle\int_t^{t+1} f\,d\tau = F(t+1)-F(t) \). Das Integral ist die Fläche unter \( f \). Also ist der Tageszuwachs gleich der Fläche unter der Ratenkurve über diesem Tag — und Flächen kann man im Bild abzählen. (Mehr dazu: Stammfunktion & Hauptsatz.)

Zufallsgröße \( X \). Eine Zufallsgröße ist eine Zahl, die vom Zufall abhängt. Hier ist \( X \) die Augenzahl, die nach einem Wurf oben liegt. Vor dem Wurf weiß man sie nicht — man kennt aber die Wahrscheinlichkeiten der möglichen Werte.

Wahrscheinlichkeit. Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß zwischen \( 0 \) (unmöglich) und \( 1 \) (sicher) dafür, wie oft etwas „auf lange Sicht" eintritt. Bei einem fairen Würfel hat jede der \( 6 \) Flächen die Wahrscheinlichkeit \( \tfrac16 \). Weil zwei Flächen die „\( 2 \)" zeigen, ist die Augenzahl \( 2 \) doppelt so wahrscheinlich: \( P(X{=}2)=\tfrac{2}{6} \). Die „\( 5 \)" steht auf keiner Fläche, also \( P(X{=}5)=0 \).

\( P(X \lt 4) \). Das Zeichen „\( \lt \)" heißt echt kleiner. \( X \lt 4 \) trifft auf \( 1, 2, 3 \) zu — die \( 4 \) nicht (dafür bräuchte es „\( \le \)"). Mehrere getrennte Möglichkeiten, von denen eine eintreten soll, addiert man.

Erwartungswert. Der Erwartungswert \( E(X) \) ist der Durchschnittswert auf lange Sicht — was im Mittel pro Wurf herauskommt, wenn man sehr oft würfelt. Man berechnet ihn als „Wert mal Wahrscheinlichkeit, aufsummiert". Häufige Werte zählen stärker. (Werkzeug: Werkzeugkasten Stochastik.)

Der Erwartungswert ist kein Versprechen für den einzelnen Wurf. \( E(X)=3 \) bedeutet nicht, dass man „meistens eine \( 3 \) würfelt". Es ist ein Durchschnitt über sehr viele Würfe: Trägt man nach jedem Wurf den bisherigen Mittelwert auf, so nähert er sich mit wachsender Wurfzahl der \( 3 \). Bild: der Schwerpunkt der Balken — die Stelle, an der die Verteilung „im Gleichgewicht" wäre, wenn die Balken Gewichte auf einem Brett wären.

Fair heißt: Auf lange Sicht gewinnt keine Seite im Mittel — der erwartete Reingewinn der spielenden Person ist \( 0 \). Ist er positiv, lohnt sich das Spiel für die spielende Person; ist er negativ, verliert sie im Schnitt.

Wichtig ist, den Reingewinn zu betrachten, nicht die Auszahlung allein. Der Einsatz von \( 1\,€ \) wird in jedem Fall bezahlt. Gewinnt man, bekommt man \( 3\,€ \) zurück — der Reingewinn ist also \( 3-1=+2\,€ \), nicht \( +3\,€ \). Verliert man, ist der Einsatz weg: \( -1\,€ \).

Augensumme ist die Summe der beiden geworfenen Zahlen. Damit \( 8 \) herauskommt, müssen die beiden Würfe zusammenpassen.

Unabhängigkeit → multiplizieren. Die zwei Würfe beeinflussen sich nicht. Für „erst dies, dann das" multipliziert man die Einzelwahrscheinlichkeiten — wie ein zweistufiger Baum, bei dem man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Astes malnimmt.

Verschiedene Möglichkeiten → addieren. Es gibt mehrere Wege zur \( 8 \), und sie schließen sich gegenseitig aus. Verschiedene Wege werden addiert. Welche Wege gibt es?

• \( 2 \) und \( 6 \): einmal „erst \( 2 \), dann \( 6 \)", einmal „erst \( 6 \), dann \( 2 \)" — das sind zwei verschiedene Reihenfolgen.
• \( 4 \) und \( 4 \): nur eine Möglichkeit (beide Würfe \( 4 \)).

\( 5{+}3 \) oder \( 7{+}1 \) gehen nicht (eine \( 5 \) oder \( 7 \) gibt es nicht), \( 6{+}2 \) ist schon gezählt.

Ein Bernoulli-Versuch ist ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen, die man Treffer und Niete nennt, mit einer festen Treffer-Wahrscheinlichkeit \( p \). Eine Bernoulli-Kette ist derselbe Versuch mehrfach hintereinander, wobei

• die Wiederholungen unabhängig sind (eine beeinflusst die nächste nicht) und
• \( p \) bei jedem Mal gleich bleibt.

Unser Würfel hat eigentlich sechs Ausgänge — für eine Bernoulli-Kette muss man ihn auf zwei Ausgänge „eindampfen", indem man die Würfe in zwei Gruppen einteilt. Beispiele:

• Treffer = „eine \( 2 \)", Niete = „keine \( 2 \)" \( \Rightarrow p=\tfrac13 \).
• Treffer = „gerade Zahl" (\( 2, 2, 4, 6 \)), Niete = „ungerade" (\( 1, 3 \)) \( \Rightarrow p=\tfrac46=\tfrac23 \).
• Treffer = „eine \( 6 \)", Niete = „keine \( 6 \)" \( \Rightarrow p=\tfrac16 \).

Würfelt man dann \( n \)-mal und zählt die Treffer, ist man bei einer Bernoulli-Kette (Trefferzahl binomialverteilt). (Mehr: Werkzeugkasten Stochastik.)

Zwei verschiedene „typische Werte" einer Verteilung:

• Modus = der häufigste Wert (der höchste Balken). Hier: die \( 2 \).
• Erwartungswert = der Durchschnitt auf lange Sicht (der Schwerpunkt). Hier: \( 3 \).

Die beiden müssen nicht zusammenfallen. Noch deutlicher beim normalen Würfel \( 1\)–\(6 \): Dort sind alle Werte gleich häufig (es gibt keinen einzelnen „wahrscheinlichsten"), aber \( E(X)=\tfrac{1+2+3+4+5+6}{6}=3{,}5 \) — und eine „\( 3{,}5 \)" kann man gar nicht würfeln. Ein Erwartungswert muss also nicht einmal ein möglicher Wert sein. Das widerlegt die Aussage endgültig.

Erwartete Trefferzahl. Bei \( 100 \) Würfen und \( p=\tfrac16 \) erwartet man im Mittel \( 100\cdot\tfrac16\approx 16{,}7 \) Sechser. Das ist die „normale" Größenordnung.

Streuung \( \sigma \). Natürlich kommt selten exakt \( 16{,}7 \) heraus — die Trefferzahl schwankt um diesen Wert. Wie stark sie typischerweise schwankt, misst die Standardabweichung \( \sigma=\sqrt{n\,p\,(1-p)} \). Hier \( \sigma=\sqrt{100\cdot\tfrac16\cdot\tfrac56}=\sqrt{\tfrac{500}{36}}\approx 3{,}7 \). Eine Abweichung von ein, zwei \( \sigma \) ist normal.

\( 2\sigma \)-Regel. Als Faustregel liegen rund \( 95\,\% \) aller Ergebnisse im Bereich \( \mu\pm 2\sigma \), hier \( [\,9{,}2;\ 24{,}1\,] \). Werte außerhalb sind selten (zusammen rund \( 5\,\% \)). \( 6 \) liegt außerhalb — und zwar deutlich. Für einen fairen Würfel wäre „nur \( 6 \) Sechser" also ein ungewöhnlich seltenes Ergebnis; deshalb ist der Zweifel an der Fairness berechtigt.