Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Stochastik, Teil 2 (Gespräch) aus der Analysis. Alles lässt sich ohne großen Rechenaufwand lösen — Terme angeben, am Tafelwerk ablesen, aus einem Graphen herauslesen. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
Werkzeug zum Nachschlagen: Die wiederkehrenden Stochastik-Werkzeuge (Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Erwartungswert, kumulierte Wahrscheinlichkeiten) stehen kompakt im Werkzeugkasten Stochastik. Die Analysis-Werkzeuge findest du in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Funktionsuntersuchung, Integral-Grundlagen und Stammfunktion & Hauptsatz.
Teil 1 — Vortrag (Stochastik): Kugeln aus der Urne
In einer Urne befinden sich sechs blaue und vier weiße Kugeln. Betrachtet wird das Zufallsexperiment, bei dem aus der Urne mehrmals nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen gezogen wird.
a) Das Zufallsexperiment wird dreimal nacheinander durchgeführt. Gib für die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse jeweils einen Term an: \( A \): „Alle Kugeln sind blau." — \( B \): „Genau zwei der gezogenen Kugeln sind blau."
Das Zufallsexperiment wird nun 15 Mal nacheinander durchgeführt. Die Zufallsgröße \( Y \) gibt die Anzahl der dabei gezogenen blauen Kugeln an.
b) Begründe, dass \( Y \) binomialverteilt ist. Bestimme den Erwartungswert von \( Y \) und erläutere dessen Bedeutung für das durchgeführte Zufallsexperiment. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 5 und höchstens 10 blaue Kugeln gezogen werden.
c) Die drei Histogramme (1), (2), (3) stellen Binomialverteilungen von Zufallsgrößen bei 15-maliger Durchführung des entsprechenden Bernoulli-Experiments dar. Untersuche, welches Diagramm die Verteilung von \( Y \) darstellt. Untersuche für die beiden anderen Diagramme, welche Aussagen jeweils über die zugehörige Trefferwahrscheinlichkeit möglich sind.
So ist die Urne besetzt — die „Trefferwahrscheinlichkeit" für blau ist \( p = \tfrac{6}{10} = 0{,}6 \).
Und das sind die drei Histogramme aus der Aufgabe — jedes zeigt eine Binomialverteilung bei \( n=15 \) Versuchen, aber mit unterschiedlicher Trefferwahrscheinlichkeit \( p \). Schau sie dir an und überlege selbst, welches zu \( Y \) gehört, bevor du die Lösung aufklappst.
Teilaufgabe a) — Terme für \( A \) und \( B \)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Trefferwahrscheinlichkeit für blau: \( p = \tfrac{6}{10} = 0{,}6 \); für weiß \( 1-p = 0{,}4 \). Weil mit Zurücklegen gezogen wird, ist jeder der drei Züge gleich und unabhängig.
Ereignis \( A \) — „Alle drei blau". Drei Mal blau hintereinander, jedes Mal mit Wahrscheinlichkeit \( 0{,}6 \). Die Einzelwahrscheinlichkeiten werden multipliziert:
\[ P(A) = 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}6^3. \]
Ereignis \( B \) — „Genau zwei blau". Hier sind zwei Kugeln blau und eine weiß — aber in verschiedenen Reihenfolgen (blau-blau-weiß, blau-weiß-blau, weiß-blau-blau). Jede einzelne Reihenfolge hat die Wahrscheinlichkeit \( 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 \); die Anzahl der Reihenfolgen ist der Binomialkoeffizient \( \binom{3}{2} = 3 \):
\[ P(B) = \binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2 \cdot 0{,}4. \]
Haltung dahinter: „mit Zurücklegen", „mal" statt „plus", und der Binomialkoeffizient (ganz von vorn)
Drei Bausteine, der Reihe nach.
Was heißt „mit Zurücklegen"? Nach jedem Zug legt man die Kugel zurück und mischt. Dadurch ist die Urne vor jedem Zug wieder genau gleich voll: immer 6 blau, 4 weiß. Die Wahrscheinlichkeit für blau bleibt deshalb bei jedem Zug \( 0{,}6 \) — sie ändert sich nicht. (Ohne Zurücklegen würde sich die Urne leeren und die Wahrscheinlichkeit von Zug zu Zug verändern; das ist hier ausdrücklich nicht der Fall.)
Warum multipliziert man? Eine feste Reihenfolge von Ergebnissen ist ein „und": erst blau und dann blau und dann blau. Bei unabhängigen Zufallsschritten gilt die Pfadregel: Entlang eines Pfades (einer festen Reihenfolge) werden die Einzelwahrscheinlichkeiten multipliziert. Anschaulich: Jeder weitere Zug macht den gemeinsamen Treffer seltener, also kleiner — und Multiplizieren mit einer Zahl unter 1 macht kleiner.
Was ist der Binomialkoeffizient \( \binom{3}{2} \)? Er zählt, auf wie viele Arten man aus 3 Zügen die 2 „blauen" auswählen kann — also wie viele verschiedene Reihenfolgen es für „genau zwei blau" gibt. Man liest ihn „3 über 2". Hier sind es 3 Möglichkeiten. Genau diese 3 gleich wahrscheinlichen Pfade addieren sich, deshalb steht der Faktor 3 (= \( \binom{3}{2} \)) vor dem Term.
… ganz langsam (mit Zahlen)
- \( P(A) = 0{,}6^3 = 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot 0{,}6 \). Erst \( 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36 \), dann \( 0{,}36 \cdot 0{,}6 = 0{,}216 \). Also \( P(A) = 0{,}216 \).
- Für \( B \): ein einzelner Pfad ist \( 0{,}6^2 \cdot 0{,}4 = 0{,}36 \cdot 0{,}4 = 0{,}144 \). Es gibt \( \binom{3}{2} = 3 \) solche Pfade. Zusammen: \( 3 \cdot 0{,}144 = 0{,}432 \). Also \( P(B) = 0{,}432 \).
In der mündlichen Prüfung ist nur der Term verlangt — die ausgerechnete Zahl ist eine schöne Zugabe, kein Muss.
Typische Falle
Bei \( B \) den Faktor \( \binom{3}{2}=3 \) vergessen und nur \( 0{,}6^2\cdot 0{,}4 = 0{,}144 \) hinschreiben. Das ist die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reihenfolge (z. B. blau-blau-weiß), aber „genau zwei blau" lässt drei Reihenfolgen zu. Ohne den Zählfaktor ist die Lösung zu klein und unvollständig.
Teilaufgabe b) — Binomialverteilung, Erwartungswert, \( P(5 \le Y \le 10) \)
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Begründung, dass \( Y \) binomialverteilt ist. Das Experiment ist eine Bernoulli-Kette der Länge \( n=15 \):
- Jeder Zug hat nur zwei interessierende Ausgänge — „blau" (Treffer) oder „nicht blau" (Niete).
- Wegen des Zurücklegens sind die 15 Züge unabhängig voneinander, und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt konstant bei \( p=0{,}6 \).
\( Y \) zählt die Treffer (blaue Kugeln) in diesen 15 Versuchen. Die Trefferzahl einer Bernoulli-Kette ist binomialverteilt: \( Y \sim B(15;\,0{,}6) \), mit
\[ P(Y=k) = \binom{15}{k}\, 0{,}6^{\,k}\, 0{,}4^{\,15-k}. \]
Erwartungswert. Für die Binomialverteilung gilt \( E(Y) = n\cdot p \):
\[ E(Y) = 15 \cdot 0{,}6 = 9. \]
Bedeutung. Führt man die ganze 15er-Kette sehr oft durch, sind im Mittel (auf lange Sicht) 9 von 15 gezogenen Kugeln blau.
Wahrscheinlichkeit \( P(5 \le Y \le 10) \) („mindestens 5 und höchstens 10"). Man rechnet sie über kumulierte (aufsummierte) Wahrscheinlichkeiten aus dem Tafelwerk / GTR:
\[ P(5 \le Y \le 10) = P(Y \le 10) - P(Y \le 4) \approx 0{,}783 - 0{,}009 \approx 0{,}773. \]
Haltung dahinter: Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Erwartungswert und der „minus"-Trick (ganz von vorn)
Vier Begriffe, einer nach dem anderen.
Bernoulli-Experiment. Ein Zufallsversuch mit genau zwei Ausgängen, die man „Treffer" und „Niete" nennt. Hier: Eine Kugel ziehen — „blau" = Treffer, „weiß" = Niete. (Münzwurf, „Lampe defekt ja/nein", „Tor ja/nein" sind weitere Beispiele.)
Bernoulli-Kette. Denselben Bernoulli-Versuch \( n \)-mal wiederholen, unabhängig und mit gleichbleibender Trefferwahrscheinlichkeit \( p \). Das „mit Zurücklegen" ist genau das, was die Unabhängigkeit und das konstante \( p \) sichert — ohne Zurücklegen wäre es keine Bernoulli-Kette.
Binomialverteilung. Die Zufallsgröße „Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette" heißt binomialverteilt. Ihre Formel \( P(Y=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \) ist genau das, was wir in Teil a) für \( n=3 \) per Hand gebaut haben — \( \binom{n}{k} \) zählt die Reihenfolgen, \( p^k \) sind die Treffer, \( (1-p)^{n-k} \) die Nieten.
Erwartungswert \( E(Y) \). Der „Mittelwert auf lange Sicht". Anschaulich: Wenn jeder einzelne Zug mit Wahrscheinlichkeit \( 0{,}6 \) blau ist, erwartet man bei 15 Zügen ungefähr \( 15 \cdot 0{,}6 = 9 \) blaue — wie „60 % von 15". Daher die einfache Formel \( E(Y)=n\cdot p \).
Der „minus"-Trick bei \( P(5 \le Y \le 10) \) — warum \( P(Y\le4) \) und nicht \( P(Y\le5) \)?
Im Tafelwerk stehen nur kumulierte Werte \( P(Y \le k) \), also „k oder weniger Treffer". Ein Bereich „von 5 bis 10" baut man daraus als Differenz: „alles bis 10" minus „alles, was unterhalb von 5 liegt".
Der heikle Punkt ist die untere Grenze. „Mindestens 5" heißt: die 5 gehört dazu. Abziehen darf man deshalb nur, was echt kleiner als 5 ist, also \( Y \le 4 \):
\[ P(5 \le Y \le 10) = \underbrace{P(Y \le 10)}_{\text{alles bis 10}} - \underbrace{P(Y \le 4)}_{\text{alles unter 5}}. \]
Würde man \( P(Y \le 5) \) abziehen, hätte man die 5 mit weggeschnitten — der Wert wäre falsch (zu klein). Merksatz: untere Grenze einschließen heißt „eins darunter" abziehen.
… ganz langsam (mit Zahlen)
\( E(Y) = 15 \cdot 0{,}6 \): das ist \( 15 \cdot 0{,}6 = 9{,}0 = 9 \). Aus dem Tafelwerk für \( B(15;0{,}6) \): \( P(Y \le 10) \approx 0{,}783 \) und \( P(Y \le 4) \approx 0{,}009 \). Differenz: \( 0{,}783 - 0{,}009 = 0{,}774 \approx 0{,}773 \). Es ist also mit knapp 77 % Wahrscheinlichkeit so, dass zwischen 5 und 10 blaue Kugeln gezogen werden — die wahrscheinlichsten Fälle liegen rund um den Erwartungswert 9.
Teilaufgabe c) — Histogramme zuordnen
AB II / AB III
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Welches Diagramm gehört zu \( Y \)? Für \( Y \sim B(15;0{,}6) \) ist \( E(Y) = 9 \) — eine ganze Zahl. Bei einer Binomialverteilung liegt der höchste Balken (der wahrscheinlichste Wert) bei einer ganzzahligen Erwartung genau am Erwartungswert, hier also bei \( k=9 \).
\[ \Rightarrow \text{Diagramm } \mathbf{(2)} \text{ zeigt die Verteilung von } Y. \]
Was lässt sich über die beiden anderen sagen?
- Diagramm (1) ist achsensymmetrisch (spiegelgleich um die Mitte \( k = 7{,}5 \)). Eine Binomialverteilung ist nur dann symmetrisch, wenn Treffer und Niete gleich wahrscheinlich sind: \[ \Rightarrow p = 0{,}5. \]
- Diagramm (3) hat seinen Schwerpunkt weiter rechts; der höchste Balken liegt etwa bei \( 10 \) bis \( 11 \), der Erwartungswert \( \mu = 15p \) also zwischen 10 und 12: \[ 10 \lt 15p \lt 12 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{2}{3} \lt p \lt \tfrac{4}{5}. \]
Haltung dahinter: Was verrät die Form eines Histogramms über \( p \)? (ganz von vorn)
Ein Histogramm zeichnet für jede mögliche Trefferzahl \( k \) einen Balken, dessen Höhe die Wahrscheinlichkeit \( P(Y=k) \) ist. Die Form trägt zwei Informationen, die man direkt ablesen kann:
1. Die Lage des höchsten Balkens verrät den Erwartungswert. Der höchste Balken (der wahrscheinlichste Wert, „Modalwert") liegt immer dicht beim Erwartungswert \( \mu = n\cdot p \). Steht er bei \( k=9 \), ist \( \mu \approx 9 \), also \( p \approx \tfrac{9}{15} = 0{,}6 \). Steht er weiter rechts, ist \( p \) größer; weiter links, kleiner. So ordnet man (2) dem \( Y \) zu — der Gipfel sitzt auf der 9.
2. Symmetrie tritt nur bei \( p=0{,}5 \) auf. Bei \( p=0{,}5 \) sind Treffer und Niete gleich wahrscheinlich, deshalb ist die Verteilung spiegelgleich um die Mitte \( n/2 = 7{,}5 \). Sobald \( p \neq 0{,}5 \), kippt die Verteilung zur einen Seite (Schiefe). Ein perfekt symmetrisches Bild ⇒ \( p=0{,}5 \).
… ganz langsam: woher \( \tfrac{2}{3} \) und \( \tfrac{4}{5} \) bei Diagramm (3)?
Man liest aus (3) ab, dass der Erwartungswert zwischen 10 und 12 liegen muss (höchster Balken um 10–11). Der Erwartungswert ist \( \mu = 15p \). Aus \( 10 \lt 15p \lt 12 \) löst man nach \( p \) auf, indem man alle drei Teile durch 15 teilt:
\[ \frac{10}{15} \lt p \lt \frac{12}{15} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{3} \lt p \lt \frac{4}{5}, \]
denn \( \tfrac{10}{15} = \tfrac{2}{3} \approx 0{,}667 \) und \( \tfrac{12}{15} = \tfrac{4}{5} = 0{,}8 \). Man kann also nur einen Bereich für \( p \) angeben, keinen einzelnen Wert — das Histogramm legt \( p \) nicht eindeutig fest, sondern grenzt es ein.
Typische Falle
Diagramm (1) mit der Verteilung von \( Y \) verwechseln, weil beide einen Gipfel „in der Mitte" haben. Der Unterschied steckt in der genauen Lage: der Gipfel von \( Y \) sitzt auf 9, der Gipfel bei \( p=0{,}5 \) auf 7/8 (Mitte). Und: Aus einem schiefen Histogramm lässt sich \( p \) nur als Bereich angeben — wer dort einen exakten Wert behauptet, überinterpretiert das Bild.
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) \( P(A)=0{,}6^3\ (=0{,}216) \); \( P(B)=\binom{3}{2}\cdot 0{,}6^2\cdot 0{,}4\ (=0{,}432) \)
- b) \( Y\sim B(15;0{,}6) \) (Bernoulli-Kette, unabhängig wegen Zurücklegen); \( E(Y)=15\cdot0{,}6=9 \) („im Mittel 9 von 15 blau"); \( P(5\le Y\le 10)=P(Y\le10)-P(Y\le4)\approx 0{,}773 \)
- c) \( Y \to \) Diagramm (2) (Gipfel bei \( k=9 \), weil \( E(Y)=9 \) ganzzahlig); (1) \( p=0{,}5 \) (symmetrisch); (3) \( \tfrac{2}{3} \lt p \lt \tfrac{4}{5} \)
Teil 2 — Gespräch (Analysis): Vom Graphen der Ableitung auf \( f \) schließen
Input. Gegeben ist ausschnittsweise der Graph der Ableitungsfunktion \( f' \) einer ganzrationalen Funktion \( f \) (siehe Abbildung unten). Im Gespräch denkbare Aspekte:
(AB I) Bestimmen von \( f'(1) \); Bedeutung von \( f'(1)=2 \) für den Graphen von \( f \); Nullstellen von \( f' \). (AB II) Bedeutung der Nullstellen von \( f' \) für \( f \); Monotonieverhalten von \( f \); Näherungswert für \( f''(1) \) und dessen Bedeutung; Krümmungsverhalten von \( f \); Skizze von \( f \) mit \( f(0)=0{,}6 \) und \( f(2)=3 \) samt Inhalt der Fläche, die \( f' \) im Intervall \( [0;2] \) mit der \( x \)-Achse einschließt; Begründung, ob \( f(-1) \lt f(0) \), \( f(-1)=f(0) \) oder \( f(-1) \gt f(0) \). (AB III) Minimaler Grad einer Stammfunktion \( F \) von \( f \); ein möglicher Funktionsterm von \( f' \).
Der eine Gedanke, der alles trägt: Im Bild ist \( f' \) gezeichnet, nicht \( f \). Jeder Höhenwert der gezeichneten Kurve ist also eine Steigung von \( f \). „\( f' \) liegt bei \( x=1 \) auf Höhe 2" bedeutet: „\( f \) steigt bei \( x=1 \) mit Steigung 2." Halte diesen Übersetzungs-Schritt während der ganzen Aufgabe fest. Werkzeuge dazu im Kapitel Funktionsuntersuchung.
Hier ist der Graph von \( f' \) reproduziert. Der orange Punkt markiert \( f'(1)=2 \), die roten Punkte die Nullstellen.
AB I — \( f'(1) \), Bedeutung, Nullstellen von \( f' \)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( f'(1) \) ablesen. Man geht bei \( x=1 \) senkrecht hoch bis zur gezeichneten Kurve und liest die Höhe ab:
\[ f'(1) = 2. \]
Bedeutung von \( f'(1)=2 \) für den Graphen von \( f \). \( f' \) ist die Steigung von \( f \). Also: An der Stelle \( x=1 \) hat der Graph von \( f \) die Steigung 2 — die Tangente dort steigt um 2 Höheneinheiten pro 1 Einheit nach rechts; \( f \) ist an dieser Stelle wachsend und ziemlich steil.
Nullstellen von \( f' \). Das sind die Stellen, an denen die gezeichnete \( f' \)-Kurve die \( x \)-Achse schneidet oder berührt:
\[ x = -1, \qquad x = 0, \qquad x = 2. \]
(Bei \( x=2 \) berührt die Kurve die Achse nur — dazu mehr im nächsten Abschnitt.)
Haltung dahinter: „Das Bild ist die Ableitung" — was heißt das überhaupt? (ganz von vorn)
Der wichtigste und am leichtesten zu verwechselnde Punkt der ganzen Aufgabe.
Ableitung = Steigung. Die Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) gibt an jeder Stelle an, wie steil \( f \) dort ist — wie eine Steigungsanzeige am Berg. Ein positiver \( f' \)-Wert heißt „\( f \) geht bergauf", ein negativer „\( f \) geht bergab", null heißt „waagrecht".
Was zeigt das Bild? Hier ist die Steigungsanzeige selbst als Kurve gezeichnet, also \( f' \) — \( f \) sieht man nicht. Wenn die \( f' \)-Kurve bei \( x=1 \) auf Höhe 2 liegt, dann ist das die Aussage über die Steigung von \( f \): „\( f \) steigt dort mit Tempo 2". Höhe der \( f' \)-Kurve = Steigung von \( f \).
Warum sind die Nullstellen von \( f' \) wichtig? Eine Nullstelle von \( f' \) ist eine Stelle, an der die Steigung von \( f \) null ist — wo \( f \) also eine waagrechte Tangente hat. Solche Stellen sind die Kandidaten für Hochpunkte, Tiefpunkte oder Sattelpunkte von \( f \). Deshalb sucht man sie zuerst.
… ganz langsam (so liest man Höhe und Nullstellen ab)
- Höhe ablesen \( f'(1) \): Finger bei \( x=1 \) auf die Achse, senkrecht hoch bis zur Kurve, dann waagrecht nach links zur \( y \)-Achse — dort steht 2. Also \( f'(1)=2 \).
- Nullstellen: Augen auf die \( x \)-Achse, schauen, wo die Kurve sie trifft. Links schneidet sie bei \( -1 \) (von oben nach unten), dann bei \( 0 \) (von unten nach oben), und bei \( 2 \) berührt sie die Achse nur (kommt von oben herunter, tippt die Achse an, geht wieder hoch).
Typische Falle
\( f \) und \( f' \) verwechseln. \( f'(1)=2 \) ist kein Punkt des Graphen von \( f \) (nicht „\( f \) ist 2 bei \( x=1 \)"), sondern die Steigung von \( f \) dort. Und die im Bild sichtbaren Hoch-/Tiefpunkte gehören zu \( f' \), nicht zu \( f \). Wer das vertauscht, beantwortet die halbe Aufgabe falsch.
AB II — Nullstellen-Bedeutung, Monotonie, \( f''(1) \), Krümmung, Skizze + Fläche, Vergleich
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Bedeutung der Nullstellen von \( f' \) für \( f \) (Extrempunkte). An einer Nullstelle von \( f' \) hat \( f \) eine waagrechte Tangente. Ob dort ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt liegt, entscheidet der Vorzeichenwechsel von \( f' \):
- \( x=-1 \): \( f' \) wechselt von \( + \) nach \( - \) (links der \( -1 \) ist die Kurve oben, rechts davon unter der Achse) → \( f \) steigt erst, dann fällt → Hochpunkt von \( f \).
- \( x=0 \): \( f' \) wechselt von \( - \) nach \( + \) → \( f \) fällt erst, dann steigt → Tiefpunkt von \( f \).
- \( x=2 \): \( f' \) berührt die Achse nur und bleibt positiv (kein Vorzeichenwechsel) → kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt (Terrassenpunkt): waagrechte Tangente, aber \( f \) steigt davor und danach weiter.
Monotonieverhalten von \( f \). \( f \) steigt, wo \( f' \gt 0 \); \( f \) fällt, wo \( f' \lt 0 \). Aus dem Bild:
- \( f' \gt 0 \) für \( x \lt -1 \) → \( f \) streng wachsend auf \( (-\infty;-1] \).
- \( f' \lt 0 \) für \( -1 \lt x \lt 0 \) → \( f \) streng fallend auf \( [-1;0] \).
- \( f' \gt 0 \) für \( 0 \lt x \lt 2 \) und \( x \gt 2 \) → \( f \) streng wachsend auf \( [0;\infty) \) (bei \( x=2 \) kurz waagrecht, dann weiter steigend).
Näherungswert für \( f''(1) \) und Bedeutung. \( f'' \) ist die Ableitung von \( f' \), also die Steigung der \( f' \)-Kurve. In der Aufgabenskizze liegt der Scheitel (höchste Stelle) der mittleren Beule nahe \( x=1 \); dort verläuft die Tangente an \( f' \) fast waagrecht. Aus dem Graphen liest man deshalb ab:
\[ f''(1) \approx 0. \]
(Der orange Punkt \( (1\,|\,2) \) markiert nur den Wert \( f'(1)=2 \) — wie hoch die Kurve bei \( x=1 \) liegt —, nicht den Scheitel. Im hier reproduzierten exakten Term \( f'(x)=x(x+1)(x-2)^2 \) sitzt der Scheitel ein kleines Stück weiter links, bei \( x\approx0{,}84 \); für die Prüfung zählt der abgelesene Näherungswert \( f''(1)\approx0 \).)
Bedeutung: Ein Scheitel von \( f' \) nahe \( x=1 \) bedeutet, dass die Steigung von \( f \) dort am größten ist. \( f \) hat bei \( x\approx 1 \) einen Wendepunkt und steigt dort am steilsten.
Krümmungsverhalten von \( f \). Die Krümmung von \( f \) hängt am Vorzeichen von \( f'' \), also daran, ob die \( f' \)-Kurve steigt oder fällt:
- \( f' \) fällt von links oben bis zum Tief der Kurve (etwa \( x\approx -0{,}5 \)) → \( f'' \lt 0 \) → \( f \) rechtsgekrümmt.
- \( f' \) steigt vom Tief bis zum Gipfel (etwa \( x\approx 1 \)) → \( f'' \gt 0 \) → \( f \) linksgekrümmt.
- \( f' \) fällt vom Gipfel bis zur Berührung bei \( x=2 \) → \( f'' \lt 0 \) → \( f \) rechtsgekrümmt.
- \( f' \) steigt ab \( x=2 \) → \( f'' \gt 0 \) → \( f \) linksgekrümmt.
An den Übergängen (\( x\approx-0{,}5 \), \( x\approx1 \), \( x=2 \)) liegen die Wendepunkte von \( f \) — genau dort, wo \( f' \) seine Hoch-/Tiefpunkte hat.
Inhalt der Fläche zwischen \( f' \) und der \( x \)-Achse auf \( [0;2] \). Auf \( [0;2] \) liegt die \( f' \)-Kurve ganz über (bzw. auf) der \( x \)-Achse (\( f'\ge 0 \)). Die Fläche ist deshalb das Integral von \( f' \) über \( [0;2] \), und nach dem Hauptsatz ist das Integral der Ableitung gleich der Änderung von \( f \):
\[ A = \int_0^2 f'(x)\,dx = f(2) - f(0) = 3 - 0{,}6 = 2{,}4. \]
Die eingeschlossene Fläche misst also \( 2{,}4 \) Flächeneinheiten — ohne dass man eine Stammfunktion von \( f' \) ausrechnen muss.
Skizze des Graphen von \( f \) mit \( f(0)=0{,}6 \) und \( f(2)=3 \). Aus allem oben ergibt sich die Form von \( f \):
- Hochpunkt bei \( x=-1 \), dann fallend bis zum Tiefpunkt \( (0\,|\,0{,}6) \),
- danach steigend durch den steilsten Punkt (Wendepunkt um \( x\approx1 \)) bis zum Sattelpunkt \( (2\,|\,3) \) mit waagrechter Tangente,
- ab \( x=2 \) weiter steigend.
Vergleich \( f(-1) \) und \( f(0) \). Zwischen \( x=-1 \) und \( x=0 \) ist \( f' \lt 0 \), also ist \( f \) auf \( [-1;0] \) streng fallend. Damit liegt der linke Wert höher:
\[ f(-1) \gt f(0). \]
Haltung dahinter: Vorzeichen → Monotonie → Extrempunkte (ganz von vorn)
Eine zusammenhängende Kette, die fast alle Teilfragen oben erklärt.
Vorzeichen von \( f' \) ⇒ Auf/Ab von \( f \). Steigung positiv = bergauf, negativ = bergab. Man liest also nur, wo die \( f' \)-Kurve über und wo sie unter der Achse liegt, und übersetzt: über der Achse → \( f \) steigt; unter der Achse → \( f \) fällt. Das ist das Monotonieverhalten.
Vorzeichenwechsel** von \( f' \) ⇒ Art des Extrempunkts.** An einer waagrechten Tangente (\( f'=0 \)) schaut man, wie das Vorzeichen wechselt:
- von \( + \) zu \( - \): erst hoch, dann runter → Hochpunkt („Bergkuppe").
- von \( - \) zu \( + \): erst runter, dann hoch → Tiefpunkt („Tal").
- kein Wechsel (z. B. \( + \) bleibt \( + \), die Kurve berührt nur): die Steigung wird kurz null und bleibt sonst gleich gerichtet → Sattelpunkt (waagrechtes „Treppchen" in einem steigenden Hang).
Genau die Berührung bei \( x=2 \) ist so ein Fall: \( f' \) tippt die Achse an und bleibt positiv — deshalb Sattelpunkt, kein Extrempunkt.
Steigt/fällt \( f' \) ⇒ Krümmung von \( f \). Eine Stufe höher: \( f'' \) ist die Steigung von \( f' \). Wo die \( f' \)-Kurve steigt, ist \( f'' \gt 0 \) und \( f \) macht eine Linkskurve (linksgekrümmt, „lächelnde" Schale); wo sie fällt, ist \( f'' \lt 0 \) und \( f \) macht eine Rechtskurve (rechtsgekrümmt, „traurige" Haube). Die Wendepunkte von \( f \) sitzen dort, wo \( f' \) am höchsten/tiefsten ist.
… ganz langsam: warum ist die Fläche \( = f(2)-f(0) \)?
Das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, in einem Satz: „Das Integral der Ableitung über ein Intervall ist gleich, wie viel sich die Funktion auf dem Intervall insgesamt geändert hat." Bild Tachometer/Wegstrecke: \( f' \) ist die Geschwindigkeit, \( f \) der zurückgelegte Weg. Die Fläche unter der Geschwindigkeitskurve von \( 0 \) bis \( 2 \) ist der in dieser Zeit zurückgelegte Weg — also \( f(2)-f(0) \).
Hier: \( f(2)=3 \), \( f(0)=0{,}6 \), Änderung \( = 3-0{,}6 = 2{,}4 \). Weil \( f' \) auf \( [0;2] \) nirgends unter die Achse geht (\( f'\ge0 \)), ist diese Änderung zugleich der echte Flächeninhalt: \( A = 2{,}4 \). Hätte \( f' \) im Intervall einen Teil unter der Achse, müsste man wie bei einer Flächenaufgabe an den Nullstellen trennen — hier ist das nicht nötig.
Typische Falle
Beim Sattelpunkt bei \( x=2 \) trotzdem einen Extrempunkt von \( f \) behaupten. Die Tangente ist zwar waagrecht (\( f'(2)=0 \)), aber ohne Vorzeichenwechsel von \( f' \) ist es kein Hoch- oder Tiefpunkt. Zweite Falle: \( f''(1) \) und \( f'(1) \) verwechseln — \( f'(1)=2 \) (Höhe der Kurve), \( f''(1)\approx0 \) (Steigung der Kurve am Gipfel).
Transparenz zu den \( \approx \)-Werten: \( f''(1)\approx 0 \) und die genaue Lage der Wendepunkte (\( x\approx-0{,}5 \), \( x\approx1 \)) sind aus dem Graphen abgelesen und damit Näherungen — die Aufgabe verlangt für \( f''(1) \) ausdrücklich nur einen Näherungswert. Die exakten Werte hingen vom genauen Funktionsterm ab; die gegebenen Größen \( f(0)=0{,}6 \) und \( f(2)=3 \) und damit die Fläche \( 2{,}4 \) sind dagegen exakt.
AB III — Minimaler Grad von \( F \), möglicher Term von \( f' \)
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
Minimaler Grad einer Stammfunktion \( F \) von \( f \). Man zählt von unten nach oben — jede Integration („Aufleiten") erhöht den Grad um 1:
- Die gezeichnete \( f' \)-Kurve hat drei Hoch-/Tiefpunkte (bzw. vier Nullstellen mit Vielfachheit). Eine ganzrationale Funktion mit drei Extremstellen hat mindestens Grad 4 → \( f' \) hat mindestens Grad 4.
- \( f \) ist eine Stammfunktion von \( f' \) → mindestens Grad 5.
- \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \) → mindestens Grad 6.
\[ \Rightarrow \text{Minimaler Grad von } F \text{ ist } \mathbf{6}. \]
Ein möglicher Funktionsterm von \( f' \). Aus den Nullstellen baut man Linearfaktoren; die Berührung bei \( x=2 \) liefert einen doppelten Faktor:
\[ f'(x) = a\cdot x\,(x+1)\,(x-2)^2. \]
Den Vorfaktor \( a \) bestimmt man mit \( f'(1)=2 \):
\[ f'(1) = a\cdot 1 \cdot 2 \cdot (1-2)^2 = a\cdot 2 = 2 \;\;\Longrightarrow\;\; a=1. \]
Also ein möglicher Term:
\[ f'(x) = x\,(x+1)\,(x-2)^2 = x^4 - 3x^3 + 4x. \]
Probe: \( f'(1)=1\cdot2\cdot1=2 \) ✓; Nullstellen \( -1,\ 0,\ 2 \) (doppelt) ✓; beide Ränder laufen nach oben (Grad 4, positiver Leitkoeffizient) ✓.
Haltung dahinter: Aufleiten erhöht den Grad — und warum die Berührung einen doppelten Faktor gibt
Warum erhöht Integrieren den Grad? Aufleiten ist Ableiten rückwärts. Ableiten senkt den Grad um 1 (aus \( x^4 \) wird \( 4x^3 \)). Also hebt das Rückwärts-Verfahren den Grad um 1 (aus etwas vom Grad 4 wird beim Aufleiten Grad 5). Zweimal aufleiten von \( f' \) (Grad 4) → \( f \) (Grad 5) → \( F \) (Grad 6). Daher die 6.
Warum „mindestens" Grad 4 für \( f' \)? Eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n \) kann höchstens \( n-1 \) Extrempunkte und höchstens \( n \) Nullstellen haben. Drei Extrempunkte erzwingen also \( n-1\ge 3 \), d. h. \( n\ge 4 \). Mehr als das Bild zeigt, darf man nicht annehmen — deshalb minimal 4.
Warum doppelter Faktor bei der Berührung? Eine Nullstelle, an der die Kurve die Achse nur berührt (nicht durchschneidet), ist eine Nullstelle gerader Vielfachheit — der einfachste Fall ist die doppelte Nullstelle, also \( (x-2)^2 \). Ein einfacher Faktor \( (x-2) \) würde die Achse durchschneiden (Vorzeichenwechsel); das passt nicht zum Bild. Eine einfache Nullstelle (Schnitt) wie bei \( -1 \) und \( 0 \) liefert dagegen den einfachen Faktor.
Schöne Bestätigung: der Term passt zu allen gegebenen Daten
Leitet man \( f'(x)=x^4-3x^3+4x \) auf, erhält man mit \( f(0)=0{,}6 \) den Term \( f(x)=\tfrac{1}{5}x^5-\tfrac{3}{4}x^4+2x^2+0{,}6 \). Daraus: \( f(2)=\tfrac{32}{5}-12+8+0{,}6=3 \) ✓ (der gegebene Wert), \( f(-1)=1{,}65 \gt 0{,}6=f(0) \) ✓ (passt zur Monotonie), und \( \int_0^2 f'(x)\,dx = f(2)-f(0)=2{,}4 \) ✓. Der gewählte mögliche Term ist also mit allen Angaben der Aufgabe verträglich. Das Bild ist eine Skizze; verlangt war nur ein passender Term, der die ablesbaren Merkmale (Nullstellen, \( f'(1)=2 \), Form) trifft.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Aspekt, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Stochastik) aufklappen
- a) Terme. Erwartet: \( P(A)=0{,}6^3 \) und \( P(B)=\binom{3}{2}\cdot0{,}6^2\cdot0{,}4 \). Rückfrage: „Warum steht bei \( B \) der Faktor 3 (bzw. \( \binom{3}{2} \)) davor?" (Antwort: drei mögliche Reihenfolgen.) Rote Flagge: nur \( 0{,}6^2\cdot0{,}4 \) ohne den Zählfaktor.
- b) Binomial / Erwartungswert / Bereich. Erwartet: Bernoulli-Kette (zwei Ausgänge, unabhängig wegen Zurücklegen, konstantes \( p=0{,}6 \)); \( E(Y)=15\cdot0{,}6=9 \) mit Deutung „im Mittel 9 von 15 blau"; \( P(5\le Y\le10)=P(Y\le10)-P(Y\le4)\approx0{,}773 \). Rückfrage: „Warum ziehen Sie \( P(Y\le4) \) ab und nicht \( P(Y\le5) \)?" (Antwort: die 5 gehört dazu.) Rote Flagge: \( -P(Y\le5) \).
- c) Histogramme. Erwartet: (2) ist \( Y \), weil \( E(Y)=9 \) ganzzahlig → höchster Balken bei \( k=9 \); (1) \( p=0{,}5 \) (achsensymmetrisch); (3) \( \tfrac{2}{3} \lt p \lt \tfrac{4}{5} \). Rückfrage: „Woran sieht man am Histogramm, wie groß \( p \) ist?" (Antwort: an der Lage des höchsten Balkens / am Erwartungswert.) Rote Flagge: für (3) einen einzelnen \( p \)-Wert behaupten.
Leitfaden Teil 2 (Analysis) aufklappen
- AB I. Erwartet: \( f'(1)=2 \) abgelesen; Bedeutung = Steigung des Graphen von \( f \) bei \( x=1 \); Nullstellen \( -1,\ 0,\ 2 \). Rückfrage: „Zeigt das Bild \( f \) oder \( f' \)?" Rote Flagge: \( f \) und \( f' \) verwechseln (z. B. „\( f \) hat bei \( x=1 \) den Wert 2").
- AB II. Erwartet: Nullstellen von \( f' \) → Hochpunkt bei \( -1 \), Tiefpunkt bei \( 0 \), Sattelpunkt bei \( 2 \) (über den Vorzeichenwechsel begründet); Monotonie über das Vorzeichen von \( f' \); \( f''(1)\approx0 \) (Gipfel von \( f' \)) → Wendepunkt/steilster Anstieg von \( f \); Krümmung über Steigen/Fallen von \( f' \); Fläche \( =\int_0^2 f' = f(2)-f(0)=2{,}4 \); Vergleich \( f(-1) \gt f(0) \) (weil \( f \) auf \( [-1;0] \) fällt). Rückfragen: „Warum ist \( x=2 \) kein Extrempunkt?" · „Wie kommen Sie ohne Stammfunktion auf die Fläche 2,4?" Rote Flagge: Fläche über eine mühsame Stammfunktion von \( f' \) statt über \( f(2)-f(0) \).
- AB III. Erwartet: minimaler Grad von \( F \) ist 6 (\( f' \) Grad 4 → \( f \) Grad 5 → \( F \) Grad 6); möglicher Term \( f'(x)=x(x+1)(x-2)^2 \). Rückfrage: „Warum ist der Faktor \( (x-2) \) quadriert?" (Antwort: Berührung = doppelte Nullstelle.) Hinweis für dich: Andere Terme sind erlaubt, solange Nullstellen und \( f'(1)=2 \) stimmen — es ist ein möglicher Term gefragt.
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Warum steht bei „genau zwei blau" ein Binomialkoeffizient vor dem Term, bei „alle blau" aber nicht?
- Welche drei Eigenschaften machen aus dem Ziehen mit Zurücklegen eine Bernoulli-Kette, und warum ist das Zurücklegen entscheidend?
- Wie liest du aus einem Binomial-Histogramm die Trefferwahrscheinlichkeit \( p \) ab?
- Das Bild zeigt \( f' \): Wie kommst du von den Nullstellen von \( f' \) auf die Hoch-, Tief- und Sattelpunkte von \( f \)?
- Warum ist die Fläche zwischen \( f' \) und der \( x \)-Achse auf \( [0;2] \) genau \( f(2)-f(0) \)?
- Warum hat eine Stammfunktion \( F \) von \( f \) mindestens den Grad 6?