Das ist eine typische mündliche Prüfungsaufgabe zur Analysis. Sie testet, ob du einen Graphen lesen, sicher per Hand ableiten und über Verschiebung und Symmetrie argumentieren kannst — und das alles rechnerfrei. Genau das brauchst du im Gespräch.
Gegeben ist die Funktion \[ f(x) = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 . \] Die Abbildung zeigt den Graphen von \( f \) (rot) und einen zweiten Graphen \( g \) (blau), der durch Verschiebung aus \( f \) entsteht.
So gehst du eine solche Aufgabe an: erst lesen, dann rechnen, dann begründen. Sage in der Prüfung jeden Schritt laut mit — die Prüfenden bewerten deinen Gedankengang, nicht nur das Ergebnis.
Relevanz: Die Aufgabe nutzt eine Funktion vierten Grades. Die Techniken (Ableiten per Potenzregel, Graph lesen, Verschiebung, Symmetrie) sind voll Basisfach-relevant; der hohe Funktionsgrad ist im Basisfach eher selten — die Methode ist das Lernziel. Mit Lehrkraft prüfen.
a) Zwei markante Eigenschaften benennen AB I
Schon ohne Rechnung kannst du aus dem roten Graphen zwei sichere Aussagen über \( f \) ablesen:
- Symmetrie zur \( y \)-Achse (\( f \) ist eine gerade Funktion): Der Graph links und rechts der \( y \)-Achse ist spiegelbildlich.
- Zwei Tiefpunkte und ein Hochpunkt dazwischen: Bei \( T_1(-2\mid -4) \) und \( T_2(2\mid -4) \) liegt jeweils ein Tiefpunkt, bei \( H(0\mid 0) \) ein Hochpunkt (lokales Maximum). Man nennt eine solche Form „W-Form".
Haltung: Woran erkenne ich die Achsensymmetrie — und warum stimmt sie hier?
In der Prüfung darfst du Achsensymmetrie zur \( y \)-Achse behaupten, wenn \( f(-x) = f(x) \) für alle \( x \) gilt. Das prüfst du am Funktionsterm, nicht am Bild: \[ f(-x) = \tfrac{1}{4}(-x)^4 - 2(-x)^2 = \tfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 = f(x). \]
Warum macht das gerade die geraden Hochzahlen?
\( (-x)^4 = x^4 \) und \( (-x)^2 = x^2 \), weil eine gerade Anzahl von Minuszeichen sich aufhebt. Stünde im Term auch eine ungerade Potenz wie \( x^3 \) oder \( x^1 \), wäre die Symmetrie zerstört. Faustregel: nur gerade Hochzahlen \( \Rightarrow \) achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse.
Typische Falle: „Der Graph sieht symmetrisch aus" ist als Begründung zu wenig. Argumentiere über den Term \( f(-x)=f(x) \) — das Bild ist nur der Anlass, nicht der Beweis.
Haltung: Warum darf ich die Tiefpunkte hier auch ohne Rechnung nennen?
Aus der Abbildung liest du die ungefähre Lage ab; die genauen Stellen kommen aus \( f'(x)=0 \) (siehe Teil c-Box). Für eine mündliche Eigenschafts-Nennung in AB I genügt: „zwei Tiefpunkte, ein Hochpunkt, achsensymmetrisch". Wenn du Werte angibst, solltest du sie kurz absichern können — darum lohnt es sich, \( f'(x)=x^3-4x \) im Kopf zu haben (Nullstellen \( x=0 \) und \( x=\pm 2 \)).
b) f(4) und f'(4) bestimmen AB I
Funktionswert. Setze \( x=4 \) ein: \[ f(4) = \tfrac{1}{4}\cdot 4^4 - 2\cdot 4^2 = \tfrac{1}{4}\cdot 256 - 2\cdot 16 = 64 - 32 = 32 . \]
Haltung: rechnerfrei mit Potenzen umgehen
\( 4^4 = 4^2\cdot 4^2 = 16\cdot 16 = 256 \). Den Faktor \( \tfrac14 \) ziehst du als Division durch \( 4 \) durch: \( 256:4 = 64 \). Dann \( 4^2 = 16 \), also \( 2\cdot 16 = 32 \). So bleibt jeder Zwischenschritt eine kleine Kopfrechnung — genau das ist der Sinn der hilfsmittelfreien Prüfung.
Ableitung. Zuerst die Ableitungsfunktion bilden, dann \( x=4 \) einsetzen: \[ f'(x) = \tfrac{1}{4}\cdot 4x^3 - 2\cdot 2x = x^3 - 4x , \qquad f'(4) = 4^3 - 4\cdot 4 = 64 - 16 = 48 . \]
Haltung: erst die Ableitungsfunktion, dann einsetzen
Leite summandenweise mit der Potenzregel ab: aus \( x^n \) wird \( n\,x^{n-1} \).
Schritt für Schritt
- \( \tfrac14 x^4 \;\to\; \tfrac14\cdot 4\,x^{3} = x^3 \) — der Vorfaktor \( \tfrac14 \) und die herabgezogene \( 4 \) kürzen sich zu \( 1 \).
- \( -2x^2 \;\to\; -2\cdot 2\,x^{1} = -4x \).
- Konstante gäbe es hier keine; eine reine Zahl fiele beim Ableiten weg.
Ergebnis: \( f'(x) = x^3 - 4x \).
Typische Falle: nicht \( x=4 \) schon in \( f \) einsetzen und das Ergebnis ableiten — dann leitest du eine Zahl ab und bekommst \( 0 \). Erst die Funktion ableiten, dann den Wert einsetzen.
Die Steigung des Graphen von \( f \) an der Stelle \( x=4 \) ist also \( 48 \) — der Graph steigt dort sehr steil an. AB I
c) Ist f''(0) = 0 wahr oder falsch? AB II
Die Behauptung lautet \( f''(0)=0 \). Wir prüfen sie, indem wir die zweite Ableitung bestimmen und \( x=0 \) einsetzen: \[ f'(x) = x^3 - 4x \;\Rightarrow\; f''(x) = 3x^2 - 4 , \qquad f''(0) = 3\cdot 0 - 4 = -4 . \]
Wegen \( f''(0) = -4 \neq 0 \) ist die Behauptung falsch.
Haltung: Was würde f''(0)=0 überhaupt bedeuten — und warum ist es hier nicht so?
\( f''(x)=0 \) ist das notwendige Kriterium für eine Wendestelle (dort, wo die Krümmung das Vorzeichen wechselt). Die Behauptung unterstellt also, bei \( x=0 \) liege ein Wendepunkt. Das passt nicht zum Bild: Bei \( x=0 \) hat \( f \) einen Hochpunkt, keine Wende.
Warum bestätigt f''(0)=-4 den Hochpunkt?
Bei \( x=0 \) ist \( f'(0) = 0^3 - 4\cdot 0 = 0 \) (waagrechte Tangente, notwendige Bedingung für einen Extrempunkt erfüllt). Das Vorzeichen von \( f'' \) entscheidet über die Art: \( f''(0) = -4 < 0 \) bedeutet Linkskrümmung nach unten, also einen Hochpunkt. Genau das zeigt der rote Graph bei \( (0\mid 0) \).
Typische Falle: Eine waagrechte Tangente (\( f'(0)=0 \)) mit einer Wendestelle verwechseln. \( f'=0 \) heißt „Extremkandidat", \( f''=0 \) heißt „Wendekandidat". Hier liegt der erste Fall vor.
Haltung: Wo liegen die echten Wendestellen von f?
Setze \( f''(x)=0 \): \( 3x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = \tfrac{4}{3} \Rightarrow x = \pm\tfrac{2}{\sqrt3} \approx \pm 1{,}15 \). Die Wendestellen liegen also zwischen Hochpunkt und Tiefpunkten, nicht bei \( x=0 \) — das untermauert noch einmal, warum \( f''(0)=0 \) falsch ist.
d) Funktionsgleichung von g (Verschiebung) AB II
Der blaue Graph \( g \) hat dieselbe Form wie der rote Graph \( f \), liegt aber weiter rechts: Sein mittlerer Hochpunkt sitzt bei \( x=6 \) statt bei \( x=0 \). \( g \) entsteht aus \( f \) durch eine Verschiebung um \( 6 \) nach rechts (in positive \( x \)-Richtung), ohne Stauchung und ohne vertikale Verschiebung. Damit gilt: \[ g(x) = f(x-6) = \tfrac{1}{4}(x-6)^4 - 2(x-6)^2 . \]
Haltung: Warum „x − 6" und nicht „x + 6"?
Eine Verschiebung um \( a \) nach rechts ersetzt im Funktionsterm jedes \( x \) durch \( x-a \). Das fühlt sich „verkehrt herum" an, ist aber logisch: Damit \( g \) an der Stelle \( x=6 \) denselben Wert wie \( f \) bei \( 0 \) annimmt, muss das Argument \( x-6 \) zu \( 0 \) werden — also \( g(6) = f(6-6) = f(0) = 0 \). Stimmt mit dem blauen Hochpunkt überein.
Gegenprobe an den Tiefpunkten
\( f \) hat Tiefpunkte bei \( x=\pm 2 \). Verschoben um \( 6 \) erwarten wir \( g \)-Tiefpunkte bei \( x = -2+6 = 4 \) und \( x = 2+6 = 8 \). Tatsächlich: \( g(4) = f(-2) = -4 \) und \( g(8) = f(2) = -4 \). Passt zum blauen Graphen. AB II
Typische Falle: das Vorzeichen der Verschiebung vertauschen. Merksatz: „rechts wirkt nach links" — Verschiebung nach rechts \( \Rightarrow x-a \), nach links \( \Rightarrow x+a \).
Wie kommst du auf gerade 6 — woher die Verschiebungsweite?
Lies zwei einander entsprechende markante Punkte ab: der Hochpunkt von \( f \) liegt bei \( x=0 \), der von \( g \) bei \( x=6 \). Die Differenz \( 6-0 = 6 \) ist die Verschiebungsweite. In der Prüfung nennst du den Punkt, an dem du die \( 6 \) abgelesen hast — das macht deine Antwort nachvollziehbar. Ausmultiplizieren musst du \( (x-6)^4 \) nicht; die Form \( f(x-6) \) ist als Funktionsgleichung vollständig und für Teil e) sogar die nützlichere.
e) Integrale: Bedeutung und ∫ von g ohne Stammfunktion AB III
Gegeben ist \[ \int_{-2}^{2} f(x)\,dx \approx -7{,}47 . \]
Graphische Bedeutung. Das bestimmte Integral ist der orientierte Flächeninhalt zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \)-Achse über dem Intervall \( [-2,\,2] \). Auf diesem ganzen Intervall verläuft der rote Graph unterhalb der \( x \)-Achse — nur im Punkt \( x=0 \) berührt er sie (dort liegt der Hochpunkt \( (0\mid 0) \)). \( f \) ist nämlich zwischen seinen Nullstellen \( x=0 \) und \( x=\pm 2\sqrt2 \approx \pm 2{,}83 \) negativ, und \( [-2,\,2] \) liegt ganz in diesem Bereich. Eine Fläche unterhalb der Achse zählt mit negativem Vorzeichen — deshalb ist der Wert negativ. Der Betrag \( 7{,}47 \) ist der tatsächliche Flächeninhalt dieser Fläche zwischen Kurve und Achse.
Haltung: Was heißt „orientiert" genau?
„Orientiert" bedeutet: Flächenstücke über der \( x \)-Achse zählen positiv, Flächenstücke darunter negativ. Das Integral summiert beides mit Vorzeichen. Hier liegt das ganze Stück unter der Achse, also ist die Summe rein negativ. Würdest du den reinen Flächeninhalt angeben wollen, nähmst du den Betrag: \( 7{,}47 \).
Kurzcheck: Liegt f auf [−2, 2] wirklich unter der Achse?
\( f(x) = \tfrac14 x^4 - 2x^2 = x^2\big(\tfrac14 x^2 - 2\big) \). Der Faktor \( x^2 \ge 0 \). Der Faktor \( \tfrac14 x^2 - 2 \) ist negativ, solange \( x^2 < 8 \), also für \( |x| < 2\sqrt2\approx 2{,}83 \). Auf \( [-2,2] \) ist das erfüllt — daher \( f(x) \le 0 \) dort, und das Integral ist negativ. (Auf \( [-2,2] \) ist \( f \) nur an der Stelle \( x=0 \) gleich \( 0 \); die Nullstellen \( x=\pm 2\sqrt2 \) liegen außerhalb dieses Intervalls.)
Zweites Integral ohne Stammfunktion von g. Gesucht ist \( \displaystyle\int_{4}^{8} g(x)\,dx \). Statt eine Stammfunktion von \( g \) zu suchen, nutzt du, dass \( g \) nur die verschobene Funktion \( f \) ist: \[ \int_{4}^{8} g(x)\,dx = \int_{4}^{8} f(x-6)\,dx = \int_{-2}^{2} f(u)\,du \approx -7{,}47 . \]
Haltung: Warum darf ich einfach die Grenzen mitverschieben?
\( g \) ist gegenüber \( f \) um \( 6 \) nach rechts verschoben. Verschiebt man Funktion und Integrationsgrenzen um denselben Betrag, bleibt die eingeschlossene Fläche unverändert — sie liegt nur an einer anderen Stelle der \( x \)-Achse, hat aber exakt dieselbe Form und Größe.
Sauber begründet mit Substitution \( u = x-6 \)
Setze \( u = x-6 \), dann \( du = dx \). Die Grenzen wandern mit: aus \( x=4 \) wird \( u=4-6=-2 \), aus \( x=8 \) wird \( u=8-6=2 \). Damit \[ \int_{4}^{8} f(x-6)\,dx = \int_{-2}^{2} f(u)\,du \approx -7{,}47 . \] Das ist genau das gegebene Integral aus dem ersten Teil — du musst nichts neu berechnen und keine Stammfunktion von \( g \) bilden. AB III
Anschaulich am Bild
Das Stück der blauen Kurve über \( [4,8] \) ist eine 1:1-Kopie des roten Kurvenstücks über \( [-2,2] \), nur um \( 6 \) nach rechts geschoben. Es schließt mit der \( x \)-Achse dieselbe Fläche ein und liegt ebenfalls vollständig unterhalb der Achse. Gleiche Fläche, gleiches Vorzeichen \( \Rightarrow \) gleicher Integralwert \( \approx -7{,}47 \).
Typische Falle: hier eine waagrechte (vertikale) Verschiebung vermuten und Flächen umrechnen wollen. Es ist eine reine Rechtsverschiebung — die Fläche ändert sich dabei nicht, nur ihr Ort. Genau deshalb ist die Stammfunktion überflüssig.
Merke für die Prüfung: Wenn ein Integral „ohne Stammfunktion" gefragt ist, suche nach einer Struktur: Symmetrie, Verschiebung oder eine bereits bekannte Fläche. Das spart Rechnung und zeigt, dass du den Zusammenhang verstanden hast — genau das wird in AB III belohnt.