Dieses Kapitel dreht das Ableiten um: Statt von einer Funktion zur Steigung zu gehen, suchst du jetzt die Funktion, deren Steigung du schon kennst. Das ist die Stammfunktion. Daraus folgt der Hauptsatz — das Werkzeug, mit dem aus einer Änderungsrate ein Bestand und aus einer Funktion eine Fläche wird. Alles hier rechnest du von Hand. Geh es ruhig durch, ein Schritt nach dem anderen.
Was eine Stammfunktion ist
Eine Funktion \( F \) heißt Stammfunktion von \( f \), wenn das Ableiten von \( F \) genau \( f \) zurückgibt:
\[ F'(x) = f(x). \]
Du machst also das Ableiten rückwärts. Wenn du \( f(x) = 2x \) siehst, fragst du: „Welche Funktion hat als Ableitung \( 2x \)?" — Antwort: \( F(x) = x^2 \), denn \( (x^2)' = 2x \). AB I
Haltung: Warum gibt es nie nur eine Stammfunktion?
Eine Konstante fällt beim Ableiten weg: \( (x^2 + 5)' = 2x \) und \( (x^2 - 1)' = 2x \) — beide haben dieselbe Ableitung. Deshalb hat jedes \( f \) unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante \( C \) unterscheiden:
\[ F(x) = x^2 + C. \]
Tiefer: Woher weiß man, dass es genau nur die Konstante ist?
Hätten zwei Stammfunktionen \( F_1, F_2 \) dieselbe Ableitung \( f \), dann hat ihre Differenz \( D = F_1 - F_2 \) überall die Ableitung \( D' = f - f = 0 \). Eine Funktion mit überall verschwindender Steigung ändert sich nicht — sie ist konstant. Also \( F_1 - F_2 = C \). Das ist die Begründung dafür, dass das „\( +C \)" wirklich alle Möglichkeiten erfasst.
Typische Falle. In der mündlichen Prüfung vergisst man gern das „\( +C \)". Bei einer unbestimmten Stammfunktion gehört es dazu. Sobald du aber mit dem Hauptsatz ein bestimmtes Integral \( \int_a^b \) ausrechnest, kürzt sich \( C \) wieder weg (siehe unten) — dort darfst du es weglassen.
Die Regeln zum Rückwärts-Ableiten
Du brauchst nur wenige Regeln. Jede ist das Spiegelbild einer Ableitungsregel — prüfe sie immer durch Wiederableiten. AB I
| Regel | Stammfunktion von \( f(x) \) | Probe \( F'(x) \) |
|---|---|---|
| Potenz | \( f(x)=x^n \Rightarrow F(x)=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1} \) (für \( n\neq -1 \)) | \( \dfrac{n+1}{n+1}x^{n}=x^n \) |
| Faktor | \( f(x)=c\cdot g(x) \Rightarrow F(x)=c\cdot G(x) \) | \( c\cdot G'(x)=c\,g(x) \) |
| Summe | \( f=g+h \Rightarrow F=G+H \) | \( G'+H'=g+h \) |
| Konstante | \( f(x)=c \Rightarrow F(x)=c\,x \) | \( (c\,x)'=c \) |
Haltung: Warum funktioniert die Potenzregel — und warum gerade \( n+1 \)?
Beim Ableiten von \( x^{m} \) kommt der Exponent nach vorne und sinkt um 1: \( (x^m)' = m\,x^{m-1} \). Rückwärts musst du den Exponenten also um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen, um den Faktor wieder loszuwerden. Aus \( x^n \) wird \( x^{n+1} \), und das Teilen durch \( n+1 \) macht die Probe glatt:
\[ \left(\tfrac{1}{n+1}x^{n+1}\right)' = \tfrac{1}{n+1}\cdot (n+1)\, x^{n} = x^{n}. \]
Warum ist \( n=-1 \) verboten?
Bei \( n=-1 \) stünde im Nenner \( n+1 = 0 \) — das ist nicht definiert. Die Stammfunktion von \( \tfrac{1}{x} \) ist \( \ln|x| \) und gehört zur Funktion \( f(x)=\tfrac1x \). Relevanz: \( \tfrac1x \) offiziell Leistungsfach, im Basisfach unsicher [97 %] — mit Lehrkraft prüfen
Beispiel komplett rechnen: \( f(x)=4x^3-6x+5 \)
Geh Summand für Summand vor (Summen- und Faktorregel). Erhöhe je den Exponenten um 1 und teile durch den neuen Exponenten:
\[ F(x) = 4\cdot\tfrac{1}{4}x^{4} \;-\; 6\cdot\tfrac{1}{2}x^{2} \;+\; 5x \;+\; C = x^{4} - 3x^{2} + 5x + C. \]
Probe (immer machen!): \( F'(x) = 4x^3 - 6x + 5 = f(x) \). Passt. AB I
Lineare Substitution (innere lineare Funktion)
Steht im Inneren nicht nur \( x \), sondern \( ax+b \) (linear), gilt: erst die äußere Stammfunktion bilden, dann durch die innere Steigung \( a \) teilen.
\[ \text{Ist } F'=f, \text{ dann hat } f(ax+b) \text{ die Stammfunktion } \tfrac{1}{a}\,F(ax+b). \]
Haltung: Woher kommt der Faktor \( \tfrac1a \)? (Kettenregel rückwärts)
Leitest du \( F(ax+b) \) ab, liefert die Kettenregel einen Extrafaktor \( a \) (die Ableitung der inneren Funktion):
\[ \frac{d}{dx}\,F(ax+b) = F'(ax+b)\cdot a = a\cdot f(ax+b). \]
Dieser unerwünschte Faktor \( a \) muss wieder weg — deshalb steht beim Aufleiten ein \( \tfrac1a \) davor. Das funktioniert nur, weil die innere Steigung konstant ist (lineare innere Funktion); bei einer nichtlinearen inneren Funktion reicht ein Vorfaktor nicht.
Beispiel: \( f(x)=(2x+1)^3 \)
Äußere Stammfunktion von \( u^3 \) ist \( \tfrac14 u^4 \). Innere Steigung \( a=2 \), also Faktor \( \tfrac12 \):
\[ F(x) = \tfrac12\cdot\tfrac14 (2x+1)^4 = \tfrac18 (2x+1)^4 + C. \]
Probe: \( F'(x) = \tfrac18\cdot 4(2x+1)^3\cdot 2 = (2x+1)^3 = f(x). \) Passt. AB II
Der Hauptsatz — und was er bedeutet
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbindet Stammfunktion und Integral. Kennst du eine Stammfunktion \( F \) von \( f \), so ist das bestimmte Integral einfach die Differenz der Randwerte:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a). \]
Schreibweise mit eckiger Klammer: \( \big[\,F(x)\,\big]_a^b = F(b)-F(a) \).
Haltung: Warum darf \( C \) hier weggelassen werden?
Setzt du \( F(x)+C \) ein, hebt es sich auf:
\[ \big(F(b)+C\big) - \big(F(a)+C\big) = F(b)-F(a). \]
Die Konstante kürzt sich raus — deshalb nimmst du beim bestimmten Integral irgendeine bequeme Stammfunktion (meist die ohne \( C \)). AB I
Anwendung 1: Bestandsänderung aus einer Rate
Ist \( f \) eine Änderungsrate (z. B. Zufluss pro Minute, Geschwindigkeit pro Sekunde), dann ist \( \int_a^b f\,dx \) die Gesamtänderung des Bestands zwischen \( a \) und \( b \). Das ist die Brücke von „wie schnell ändert es sich" zu „wie viel hat sich insgesamt geändert".
Beispiel rechnen: Zuflussrate \( f(t)=3t^2-2 \) (in Liter/Minute)
Gesucht: Wie viel Wasser kommt zwischen Minute \( t=1 \) und \( t=2 \) hinzu? Das ist \( \int_1^2 (3t^2-2)\,dt \).
Schritt 1 — Stammfunktion: \( F(t) = t^3 - 2t \). (Probe: \( F'(t)=3t^2-2 \). Passt.)
Schritt 2 — Hauptsatz, Randwerte einsetzen:
\[ \int_1^2 (3t^2-2)\,dt = \big[\,t^3-2t\,\big]_1^2 = \big(2^3-2\cdot2\big) - \big(1^3-2\cdot1\big) = (8-4)-(1-2) = 4-(-1) = 5. \]
Es kommen also \( 5 \) Liter hinzu. AB II
Falle: Vorzeichen beim unteren Randwert
Der häufigste Fehler ist das Vorzeichen bei \( -F(a) \). Hier ist \( F(1) = 1-2 = -1 \), und \( F(2)-F(1) = 4 - (-1) = +5 \) — das Minus vor einer negativen Zahl wird zum Plus. Setze die Randwerte darum immer geklammert ein und ziehe erst danach zusammen.
Anwendung 2: Orientierte Fläche
Geometrisch ist \( \int_a^b f\,dx \) die orientierte Fläche zwischen dem Graphen von \( f \) und der \( x \)-Achse: Flächenstücke oberhalb der Achse zählen positiv, Stücke unterhalb negativ.
Wichtig fürs Abi. „Orientierte Fläche" und „tatsächlicher Flächeninhalt" sind nicht dasselbe. Liegt ein Teil des Graphen unter der Achse, musst du für den echten Inhalt zuerst die Nullstellen suchen, abschnittweise integrieren und die Beträge addieren — sonst löschen sich positive und negative Anteile aus.
Haltung: Warum kann ein Integral null sein, obwohl Fläche da ist?
Bei einer punktsymmetrischen Funktion wie \( f(x)=x^3 \) über \( [-1,1] \) ist die Fläche links unten genauso groß wie rechts oben, nur mit umgekehrtem Vorzeichen:
\[ \int_{-1}^{1} x^3\,dx = \Big[\tfrac14 x^4\Big]_{-1}^{1} = \tfrac14 - \tfrac14 = 0. \]
Das Integral ist null, obwohl unter dem Graphen sichtbar Fläche liegt — die orientierten Anteile heben sich auf. Für den echten Flächeninhalt rechnest du \( 2\cdot\int_0^1 x^3\,dx = 2\cdot\tfrac14 = \tfrac12 \). AB II
Zusammenhang der Graphen: \( F \), \( f \), \( f' \)
Drei Funktionen, eine Kette: \( F \xrightarrow{\text{ableiten}} f \xrightarrow{\text{ableiten}} f' \). Jeder Pfeil ist „ableiten", jeder Pfeil rückwärts ist „aufleiten". Daraus liest du die Graphen ineinander, ohne zu rechnen. AB II
| Am Graphen von \( f \) … | … sagt die Ableitung \( f' \) | … sagt die Stammfunktion \( F \) |
|---|---|---|
| \( f \) hat Hoch-/Tiefpunkt (waagerechte Tangente) | \( f' \) hat dort eine Nullstelle | \( F \) hat dort einen Wendepunkt |
| \( f \) steigt | \( f' > 0 \) (oberhalb der Achse) | \( F \) ist linksgekrümmt |
| \( f \) fällt | \( f' < 0 \) (unterhalb der Achse) | \( F \) ist rechtsgekrümmt |
| \( f \) hat Wendepunkt (steilste/flachste Stelle) | \( f' \) hat dort einen Hoch-/Tiefpunkt | — |
Haltung: Vom Graphen von \( f' \) auf \( f \) schließen — die Leserichtung
In der Prüfung bekommst du oft nur den Graphen der Ableitung \( f' \) und sollst Aussagen über \( f \) treffen. Lies dann Vorzeichen und Nullstellen von \( f' \):
- Wo \( f' \) oberhalb der Achse liegt (\( f'>0 \)), steigt \( f \).
- Wo \( f' \) unterhalb liegt (\( f'<0 \)), fällt \( f \).
- Wo \( f' \) die Achse mit Vorzeichenwechsel schneidet, hat \( f \) eine Extremstelle: von \( + \) nach \( - \) ein Hochpunkt, von \( - \) nach \( + \) ein Tiefpunkt.
- Wo \( f' \) selbst einen Extrempunkt hat, hat \( f \) einen Wendepunkt.
Falle: Funktionswert von \( f' \) ist nicht der Funktionswert von \( f \)
\( f'(x_0) \) ist die Steigung von \( f \) an der Stelle \( x_0 \), nicht der Höhenwert von \( f \). Aus dem Graphen von \( f' \) bekommst du die Form von \( f \) (steigen/fallen/Krümmung), aber nicht die absolute Höhe — dafür fehlt eine Information (genau das „\( +C \)" der Stammfunktion).
Ein Beispiel zum Mitlesen
Nimm \( f(x) = \tfrac13 x^3 - x \). Dann ist die Ableitung \( f'(x) = x^2 - 1 \) und eine Stammfunktion \( F(x) = \tfrac{1}{12}x^4 - \tfrac12 x^2 \). Schau im Diagramm, wie die drei zusammenhängen:
Blau: \( f \) · Orange: \( f'=x^2-1 \) · Gestrichelt: \( F \). Achte auf die Stellen \( x=-1 \) und \( x=1 \): Dort schneidet \( f' \) (orange) die \( x \)-Achse — und genau dort hat \( f \) (blau) seinen Hoch- bzw. Tiefpunkt.
Lies es am Graphen ab (selbst prüfen)
- Links von \( x=-1 \) liegt \( f' \) (orange) oberhalb der Achse → \( f \) (blau) steigt dort.
- Zwischen \( x=-1 \) und \( x=1 \) liegt \( f' \) unterhalb der Achse → \( f \) fällt dort.
- Bei \( x=-1 \): \( f' \) wechselt von \( + \) nach \( - \) → \( f \) hat den Hochpunkt \( \left(-1,\tfrac23\right) \).
- Bei \( x=1 \): \( f' \) wechselt von \( - \) nach \( + \) → \( f \) hat den Tiefpunkt \( \left(1,-\tfrac23\right) \).
Probe der Werte (rechnerfrei)
\( f(-1) = \tfrac13(-1)^3 - (-1) = -\tfrac13 + 1 = \tfrac23 \) und \( f(1) = \tfrac13\cdot 1^3 - 1 = -\tfrac23 \). Die markierten Punkte stimmen. Und \( f'(\pm1) = (\pm1)^2 - 1 = 0 \) — waagerechte Tangenten an genau diesen Stellen.
In drei Sätzen für die Prüfung
Wenn du im Prüfungsgespräch das Wesentliche sagen sollst, reicht das hier — frei und in eigenen Worten:
- Eine Stammfunktion \( F \) ist eine Funktion mit \( F'=f \); sie entsteht durch Ableiten rückwärts und ist nur bis auf eine Konstante \( +C \) bestimmt.
- Der Hauptsatz sagt \( \int_a^b f = F(b)-F(a) \): das Integral ist die Differenz der Stammfunktion an den Rändern — als Bestandsänderung gelesen oder als orientierte Fläche.
- Die Kette \( F \to f \to f' \) ist „ableiten"; eine Nullstelle von \( f' \) mit Vorzeichenwechsel bedeutet eine Extremstelle von \( f \).