Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Geometrie, Teil 2 (Gespräch) aus der Analysis. Alles ist rechnerfrei zu lösen. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
Werkzeug zum Nachschlagen: Die wiederkehrenden Vektor- und Geometrie-Werkzeuge (Punkte, Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geraden- und Ebenengleichung) stehen kompakt im Werkzeugkasten Geometrie (Anker u. a. #skalarprodukt, #kreuzprodukt). Die Analysis-Werkzeuge findest du in den Kapiteln Funktionsuntersuchung, Integral-Grundlagen und Stammfunktion & Hauptsatz.
Teil 1 — Vortrag (Geometrie): Punkte und Ebenen einer Geraden
Die Punkte \( A(2\,|\,1\,|\,0) \) und \( B(4\,|\,0\,|\,2) \) liegen auf der Geraden \( g \).
a) Prüfe, ob der Punkt \( C(0\,|\,2\,|\,-2) \) auf der Geraden \( g \) liegt.
b) Zeige, dass die Gerade \( g \) in der Ebene \( E:\ x_1 + 2x_2 = 4 \) liegt. Ermittle außerdem die Gleichung einer weiteren Ebene, die ebenfalls die Gerade \( g \) enthält.
c) Bestimme die Koordinaten eines Punktes \( D \), der auf der Geraden \( g \) liegt und vom Punkt \( A \) den Abstand \( 9 \) hat.
d) Beschreibe ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten eines Punktes \( P \) bestimmen kann, der mit den beiden Punkten \( A \) und \( B \) ein gleichseitiges Dreieck bildet.
Vorab, in einem Satz, was ein Koordinatensystem im Raum ist: Jeder Punkt im Raum braucht drei Zahlen — \( (x_1 \mid x_2 \mid x_3) \) —, weil es „rechts/links", „vorne/hinten" und „oben/unten" gibt. \( B(4\,|\,0\,|\,2) \) heißt: 4 Schritte in \( x_1 \)-Richtung, 0 in \( x_2 \), 2 in \( x_3 \). Eine Gerade ist eine unendlich lange, schnurgerade Linie durch diesen Raum.
So liegen die Punkte und die Gerade \( g \) im Koordinatensystem (schematisch):
Teilaufgabe a) — Punktprobe: Liegt \( C \) auf \( g \)?
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Schritt 1 — Richtungsvektor der Geraden. Die Gerade läuft durch \( A \) und \( B \). Ihr Richtungsvektor (der Pfeil, in den die Gerade zeigt) ist „Ziel minus Start":
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}4\\0\\2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}. \]
Schritt 2 — Pfeil von \( C \) nach \( A \). Wir prüfen, ob man von \( C \) aus genau in dieser Richtung zu \( A \) (und damit auf die Gerade) kommt:
\[ \overrightarrow{CA} = A - C = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}. \]
Schritt 3 — Vergleich. Es ist \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} \): der Pfeil von \( C \) nach \( A \) ist genau der Richtungsvektor der Geraden. Damit liegt \( C \) auf derselben Geraden — eine Schrittlänge „vor" \( A \).
Ergebnis: \( C \) liegt auf \( g \), denn \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \).
Haltung dahinter: Was ist eine Gerade, ein Richtungsvektor — und was bedeutet „Punktprobe"? (ganz von vorn)
Erst die Bausteine, ganz langsam.
Punkt und Vektor. Ein Punkt ist ein Ort im Raum, festgelegt durch drei Zahlen \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \). Ein Vektor ist ein Pfeil — eine Bewegung mit Richtung und Länge, geschrieben als Spalte mit drei Zahlen. Den Pfeil von einem Punkt \( P \) zu einem Punkt \( Q \) schreibt man \( \overrightarrow{PQ} \) und rechnet ihn als „Ziel minus Start": \( Q - P \). Man zieht dafür die Koordinaten einzeln voneinander ab.
Gerade in Parameterform. Eine Gerade beschreibt man durch einen Startpunkt (Ortsvektor) und einen Richtungsvektor (in welche Richtung die Linie zeigt):
\[ g:\quad \vec x = \underbrace{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}_{A,\ \text{Stützpunkt}} \;+\; t\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}}_{\overrightarrow{AB},\ \text{Richtung}}. \]
Das \( t \) ist eine frei wählbare Zahl (der Parameter). Für jedes \( t \) bekommt man einen Punkt der Geraden: \( t=0 \) liefert \( A \), \( t=1 \) liefert \( B \). Bild: \( A \) ist der Bahnhof, der Richtungsvektor ist „eine Fahrt", und \( t \) sagt, wie viele Fahrten man von \( A \) aus macht (auch rückwärts mit negativem \( t \)).
Punktprobe. „Punktprobe" heißt: nachprüfen, ob ein gegebener Punkt wirklich auf der Geraden sitzt. Man fragt: Gibt es ein \( t \), für das die Geradenformel genau diesen Punkt ausspuckt? Hier ist es besonders bequem: Der Pfeil von \( C \) zu \( A \) ist identisch mit dem Richtungsvektor. Das heißt, von \( C \) aus erreicht man \( A \) mit genau einem „Richtungsschritt" — also ist \( C \) der Geradenpunkt mit \( t = -1 \) (man geht von \( A \) einen Schritt zurück). Probe: \( A + (-1)\cdot\overrightarrow{AB} = (2,1,0) - (2,-1,2) = (0,2,-2) = C \). ✓
Ganz langsam (mit Zahlen): warum ist „Ziel minus Start" richtig?
\( \overrightarrow{CA} = A - C \) rechnet man Zeile für Zeile:
- Zeile: \( 2 - 0 = 2 \).
- Zeile: \( 1 - 2 = -1 \).
- Zeile: \( 0 - (-2) = 0 + 2 = 2 \) — Achtung: „minus minus zwei" wird „plus zwei".
Ergebnis \( (2,\,-1,\,2) \). Vergleich mit \( \overrightarrow{AB} = (2,-1,2) \): Zeile für Zeile gleich. Wären auch nur eine Zahl verschieden, läge \( C \) nicht auf \( g \). Hier stimmt alles, also liegt \( C \) auf der Geraden.
Typische Falle
Man darf nicht nur eine Koordinate vergleichen. \( C \) liegt nur dann auf \( g \), wenn der Pfeil \( \overrightarrow{CA} \) in allen drei Zeilen ein Vielfaches des Richtungsvektors ist (hier sogar das \( 1 \)-fache). Stimmt eine einzige Zeile nicht zum selben Faktor, liegt der Punkt daneben. In der Prüfung also immer alle drei Zeilen nennen.
Teilaufgabe b) — Gerade in einer Ebene zeigen und eine weitere Ebene finden
AB I AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Teil 1 — \( g \) liegt in \( E:\ x_1 + 2x_2 = 4 \). Eine Gerade liegt vollständig in einer Ebene, wenn schon zwei ihrer Punkte in der Ebene liegen. Wir setzen \( A \) und \( B \) in die Ebenengleichung ein:
\[ A(2\,|\,1\,|\,0):\quad 2 + 2\cdot 1 = 4 \;\checkmark \qquad B(4\,|\,0\,|\,2):\quad 4 + 2\cdot 0 = 4 \;\checkmark \]
Beide Punkte erfüllen die Gleichung. Da \( A \) und \( B \) in \( E \) liegen, liegt die gesamte Gerade \( g \) (sie geht durch \( A \) und \( B \)) in \( E \).
Ergebnis: Weil \( A \) und \( B \) die Gleichung \( x_1+2x_2=4 \) erfüllen, liegt \( g \) in \( E \).
Teil 2 — eine weitere Ebene durch \( g \). Durch eine Gerade gibt es unendlich viele Ebenen (wie unendlich viele Buchseiten an einem Buchrücken). Eine bequeme Beschreibung ist die Parameterform: man nimmt die Gerade und spannt mit einem zweiten Richtungsvektor eine Ebene auf. Wir wählen \( \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \):
\[ F:\quad \vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} + u\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix},\qquad t,u\in\mathbb{R}. \]
Das ist eine gültige neue Ebene, weil \( \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \)
- nicht parallel zu \( \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} \) ist (sonst würde keine Fläche aufgespannt, sondern wieder nur die Gerade), und
- nicht orthogonal zum Normalenvektor \( \vec n_E = \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} \) von \( E \) ist — der Test ist das Skalarprodukt: \( \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} = 1+2+0 = 3 \neq 0 \). Weil das nicht \( 0 \) ist, „sticht" der neue Vektor aus \( E \) heraus, also ist \( F \neq E \).
Ergebnis: \( F:\ \vec x = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \) ist eine weitere Ebene durch \( g \).
Haltung dahinter: Was ist eine Ebene, ein Normalenvektor — und warum reichen zwei Punkte? (ganz von vorn)
Ebene. Eine Ebene ist eine vollkommen flache, unendlich ausgedehnte Fläche — wie eine unendlich große, ideal glatte Tischplatte. Eine Koordinatengleichung der Form \( n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d \) beschreibt genau die Punkte, die auf der Ebene liegen: setzt man einen Ebenenpunkt ein, kommt die Zahl \( d \) heraus; setzt man einen Punkt daneben ein, kommt etwas anderes heraus. Bei \( E \) fehlt \( x_3 \) — das heißt nur, dass \( x_3 \) frei ist (die Ebene steht „senkrecht" und enthält die ganze Höhenrichtung).
Warum reichen zwei Punkte für „Gerade liegt in Ebene"? Durch zwei Punkte geht genau eine Gerade. Liegen diese zwei Punkte in der flachen Ebene, dann kann die geradlinige Verbindung zwischen ihnen nicht aus der Ebene „herausbeulen" — sie bleibt komplett drin. Also genügt es, \( A \) und \( B \) einzusetzen; alle anderen Geradenpunkte liegen dann automatisch mit drin.
Normalenvektor. Der Normalenvektor \( \vec n \) ist ein Pfeil, der senkrecht auf der Ebene steht — wie ein Fahnenmast gerade aus dem Boden. Seine drei Zahlen sind genau die Vorfaktoren vor \( x_1, x_2, x_3 \) in der Ebenengleichung. Bei \( E:\ x_1 + 2x_2 = 4 \) liest man also direkt ab: \( \vec n_E = (1,\,2,\,0) \).
Skalarprodukt: der „Senkrecht-Test" — wozu, und wie?
Das Skalarprodukt zweier Pfeile ist eine Zahl: man multipliziert die Vektoren zeilenweise und addiert. Sein wichtigster Nutzen: Es ist genau dann \( 0 \), wenn die beiden Pfeile senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen.
Wir brauchen es hier umgekehrt: Damit unsere zweite Ebene \( F \) wirklich neu ist (also nicht zufällig wieder \( E \)), darf der Spannvektor \( (1,1,1) \) nicht in \( E \) liegen. „In \( E \) liegen" würde bedeuten: senkrecht zum Mast \( \vec n_E \). Wir rechnen das Skalarprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} = 1\cdot 1 + 1\cdot 2 + 1\cdot 0 = 3. \]
Das ist nicht \( 0 \), also steht \( (1,1,1) \) nicht senkrecht auf dem Mast, liegt also nicht in \( E \) — es ragt heraus. Damit ist \( F \) eine andere Ebene als \( E \), enthält die Gerade aber trotzdem (für \( u=0 \) bleibt genau \( g \) übrig). Mehr zum Skalarprodukt im Werkzeugkasten Geometrie.
Alternative: dieselbe „weitere Ebene" als Koordinatengleichung
Wer lieber eine Gleichung \( n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \) nennt, sucht einen Normalenvektor, der senkrecht zum Richtungsvektor \( \overrightarrow{AB}=(2,-1,2) \) steht (damit die Ebene die Gerade enthält) und nicht parallel zu \( \vec n_E=(1,2,0) \) ist (damit es eine andere Ebene ist). Zum Beispiel \( \vec n = (2,2,-1) \): Test \( (2,2,-1)\cdot(2,-1,2) = 4-2-2 = 0 \) ✓. Einsetzen von \( A \): \( 2\cdot2 + 2\cdot1 - 0 = 6 \). Also
\[ F:\quad 2x_1 + 2x_2 - x_3 = 6. \]
Probe mit \( B(4|0|2): 8+0-2 = 6 \) ✓. Beide Formen — Parameterform oder diese Gleichung — sind korrekte Antworten.
Teilaufgabe c) — Punkt \( D \) auf \( g \) mit Abstand \( 9 \) von \( A \)
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Schritt 1 — Länge des Richtungsvektors. Wie weit kommt man mit einem Richtungsschritt? Das ist der Betrag (die Länge) von \( \overrightarrow{AB} \):
\[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3. \]
Ein Schritt entlang der Geraden ist also \( 3 \) lang.
Schritt 2 — wie viele Schritte für Abstand \( 9 \)? Wir wollen Abstand \( 9 \). Da jeder Schritt \( 3 \) misst, brauchen wir \( \dfrac{9}{3} = 3 \) Schritte. Also \( t = 3 \) (man kann auch \( t = -3 \) nehmen — das gäbe einen zweiten Punkt auf der anderen Seite von \( A \)).
Schritt 3 — Punkt ausrechnen.
\[ \overrightarrow{OD} = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix} + 3\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+6\\1-3\\0+6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\-2\\6\end{pmatrix}. \]
Ergebnis: \( D(8\,|\,-2\,|\,6) \). (Der zweite mögliche Punkt wäre \( D'(-4\,|\,4\,|\,-6) \) für \( t=-3 \).)
Haltung dahinter: Was ist der „Betrag" eines Vektors, und warum löst er die Aufgabe? (ganz von vorn)
Abstand und Betrag. Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der Strecke dazwischen. Die Länge eines Pfeils \( |\vec v| \) (auch „Betrag" genannt) bekommt man mit dem Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen: jede der drei Zahlen quadrieren, addieren, Wurzel ziehen:
\[ \left|\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}. \]
Hier wird \( \sqrt{4+1+4}=\sqrt 9 = 3 \) — eine seltene runde Zahl, das macht die Aufgabe angenehm.
Die Idee der Lösung. Auf der Geraden bewegt man sich in Vielfachen des Richtungsvektors. Ein Vielfaches \( t\cdot\overrightarrow{AB} \) ist \( |t| \) mal so lang wie ein Schritt, also \( |t|\cdot 3 \). Soll der Abstand \( 9 \) sein, muss \( |t|\cdot 3 = 9 \), also \( |t| = 3 \). Mit \( t=3 \) geht man drei volle Schritte von \( A \) weg und landet bei \( D \).
Ganz langsam (mit Zahlen): die Multiplikation \( 3\cdot\overrightarrow{AB} \)
„Einen Vektor mit einer Zahl multiplizieren" heißt: jede Zeile mit der Zahl multiplizieren.
\[ 3\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 2\\ 3\cdot(-1)\\ 3\cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\-3\\6\end{pmatrix}. \]
Dann zu \( A \) addieren — auch das geht zeilenweise: \( 2+6=8 \), \( 1+(-3)=1-3=-2 \), \( 0+6=6 \). Ergebnis \( (8,-2,6) \).
Probe: \( \overrightarrow{AD} = D - A = (6,-3,6) \), Länge \( \sqrt{36+9+36} = \sqrt{81} = 9 \). ✓ Genau der geforderte Abstand.
Typische Falle
Man darf den Faktor nicht „nach Gefühl" wählen. Wer \( D = A + 9\cdot\overrightarrow{AB} \) bildet, bekommt Abstand \( 9\cdot 3 = 27 \), nicht \( 9 \). Erst die Länge eines Schritts bestimmen, dann die Anzahl der Schritte ausrechnen (\( 9 \div 3 = 3 \)). Hätte \( |\overrightarrow{AB}| \) keine runde Länge, müsste man durch genau diese Länge teilen.
Teilaufgabe d) — Verfahren: Punkt \( P \) mit gleichseitigem Dreieck \( ABP \)
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
Gefragt ist hier ein Verfahren (eine beschriebene Vorgehensweise), kein einzelnes Zahlenergebnis. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleich lange Seiten: \( |\overline{AB}| = |\overline{AP}| = |\overline{BP}| \). Wir kennen \( |\overline{AB}| = 3 \) (aus Teil c). Das Verfahren in drei Schritten:
Schritt 1 — Mittelpunkt von \( \overline{AB} \) bestimmen. Der Mittelpunkt \( M \) ist der Durchschnitt der Endpunkte:
\[ M = \tfrac12\,(A + B) = \tfrac12\big((2,1,0)+(4,0,2)\big) = (3\,|\,0{,}5\,|\,1). \]
Schritt 2 — eine zu \( \overrightarrow{AB} \) senkrechte Richtung \( \vec v \) wählen. \( \vec v \) muss \( \overrightarrow{AB}\cdot\vec v = 0 \) erfüllen, z. B. \( \vec v = (1,0,-1) \), denn \( (2,-1,2)\cdot(1,0,-1) = 2+0-2 = 0 \). Damit steht man im rechten Winkel zur Strecke \( \overline{AB} \).
Schritt 3 — \( P \) auf der „Mittelsenkrechten" \( g' \) so wählen, dass \( |\overline{AP}| = |\overline{AB}| \). Man legt die Hilfsgerade
\[ g':\quad \vec x = \overrightarrow{OM} + t\cdot\vec v \]
durch \( M \) und bestimmt das \( t \), für das der Punkt von \( A \) den Abstand \( 3 \) hat. Weil jeder Punkt auf \( g' \) von \( A \) und \( B \) gleich weit entfernt ist, ist mit \( |\overline{AP}| = 3 \) automatisch auch \( |\overline{BP}| = 3 \) — also gleichseitig.
Verfahren als Antwort: Mittelpunkt \( M \) von \( \overline{AB} \) bestimmen → zu \( \overrightarrow{AB} \) senkrechten Vektor \( \vec v \) wählen → \( P \) auf \( g':\ \vec x = \overrightarrow{OM} + t\,\vec v \) so bestimmen, dass \( |\overline{AP}| = |\overline{AB}| \).
So sieht das gesuchte Dreieck aus (Prinzip-Skizze):
Haltung dahinter: Warum die Mittelsenkrechte, und warum genügt \( |\overline{AP}| = |\overline{AB}| \)? (ganz von vorn)
Gleichseitig vs. gleichschenklig. „Gleichschenklig" heißt zwei gleich lange Seiten, „gleichseitig" heißt alle drei gleich lang. Wir bauen das Dreieck in zwei Etappen: zuerst die beiden Schenkel \( \overline{AP} \) und \( \overline{BP} \) automatisch gleich machen, dann die Länge auf \( |\overline{AB}| \) eichen.
Mittelsenkrechte (Mittelpunkt + senkrechte Richtung). Die Mittelsenkrechte von \( \overline{AB} \) ist die Linie, die genau durch die Mitte \( M \) geht und im rechten Winkel zur Strecke steht. Ihr Geheimnis: Jeder Punkt auf ihr hat zu \( A \) denselben Abstand wie zu \( B \). Bild: Wenn du genau zwischen zwei Bäumen stehst und seitlich exakt im rechten Winkel weggehst, bleibst du immer von beiden Bäumen gleich weit entfernt. Setzt man \( P \) also auf diese Linie, ist \( |\overline{AP}| = |\overline{BP}| \) geschenkt — egal wie weit draußen.
Die letzte Eichung. Jetzt fehlt nur noch, dass diese gemeinsame Länge gerade \( |\overline{AB}| \) trifft. Deshalb schiebt man \( P \) auf der Mittelsenkrechten so lange nach außen, bis \( |\overline{AP}| = |\overline{AB}| = 3 \). Dann sind alle drei Seiten gleich → gleichseitig.
Ganz langsam (mit Zahlen): einen senkrechten Vektor finden und das Dreieck schließen
Senkrechte Richtung über das Skalarprodukt. Gesucht ist \( \vec v \) mit \( \overrightarrow{AB}\cdot\vec v = 0 \). Mit \( \overrightarrow{AB} = (2,-1,2) \) probiert man eine einfache Wahl \( \vec v = (1,0,-1) \):
\[ (2,-1,2)\cdot(1,0,-1) = 2\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot(-1) = 2 + 0 - 2 = 0. \;\checkmark \]
Das \( 0 \) bestätigt: \( \vec v \) steht senkrecht auf \( \overrightarrow{AB} \).
Wie weit hinaus? In einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge \( 3 \) ist die Höhe \( h = \tfrac{\sqrt 3}{2}\cdot 3 = \tfrac{3}{2}\sqrt 3 \approx 2{,}6 \). So weit muss \( P \) von \( M \) entfernt sein. Man wählt \( t \) also so, dass \( |t\cdot\vec v| = \tfrac{3}{2}\sqrt 3 \). Wegen \( |\vec v| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt 2 \) ergibt das \( t = \dfrac{3\sqrt 3}{2\sqrt 2} \approx 1{,}84 \) (oder das negative \( t \) für den gespiegelten Punkt). Einsetzen liefert einen konkreten Punkt, z. B. \( P \approx (4{,}84\,|\,0{,}5\,|\,-0{,}84) \). Probe: \( |\overline{AP}| \approx 3 \) und \( |\overline{BP}| \approx 3 \). ✓
Dass die Koordinaten keine glatten Zahlen sind, ist normal: Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks enthält immer \( \sqrt 3 \). In der mündlichen Prüfung reicht das beschriebene Verfahren — genau das verlangt der Aufgabentext.
Feinheit: im Raum gibt es unendlich viele solche \( P \)
Auf einem Blatt Papier (2D) liegen \( P \) und sein Spiegelbild fest — zwei Lösungen. Im Raum (3D) gibt es unendlich viele senkrechte Richtungen \( \vec v \); die passenden \( P \) bilden einen ganzen Kreis um \( \overline{AB} \). Das Verfahren wählt mit einem festen \( \vec v \) eine Richtung daraus aus — das ist völlig in Ordnung, weil nur ein passender Punkt gefragt ist. Wer mag, nennt das im Gespräch als Zusatz: „Es gibt unendlich viele, ich wähle eine Richtung."
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) \( C \) liegt auf \( g \), denn \( \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AB} = (2,-1,2) \) (Parameter \( t=-1 \)).
- b) \( A,B \) erfüllen \( x_1+2x_2=4 \) → \( g \subset E \). Weitere Ebene \( F:\ \vec x = (2,1,0) + t(2,-1,2) + u(1,1,1) \) (oder \( 2x_1+2x_2-x_3=6 \)).
- c) \( |\overrightarrow{AB}|=3 \), \( t=3 \): \( D(8\,|\,-2\,|\,6) \).
- d) Mittelpunkt \( M \) → senkrechter Vektor \( \vec v \) → \( P \) auf \( g'=\overrightarrow{OM}+t\vec v \) mit \( |\overline{AP}|=|\overline{AB}| \).
Teil 2 — Gespräch (Analysis): Zuflussrate und Wasservolumen
Input. Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(t) = -2t^2 + 12t \). In dem Intervall, in welchem \( f(t) \ge 0 \) ist, beschreibt \( f \) die momentane Zuflussrate von Wasser in ein Becken (\( t \) in Stunden; \( f(t) \) in Liter pro Stunde). Zu Beginn enthält das Becken \( 20 \) Liter Wasser.
Denkbare Aspekte: (AB I) Nullstellen und Extrempunkt des Graphen von \( f \) ermitteln; eine Skizze des Graphen erstellen. (AB II) Das in der ersten Stunde zugeflossene Wasservolumen ermitteln. — Zusätzlich: ein konstanter Abfluss von \( 10 \) Liter pro Stunde seit Beginn. Dann: graphisch die Zeitpunkte des minimalen und maximalen Wasservolumens bestimmen; rechnerisch das Wasservolumen nach \( 3 \) Stunden bestimmen; das Wasservolumen in Abhängigkeit von der Zeit beschreiben. (AB III) Ab \( t=4 \) soll die konstante Abflussrate so geändert werden, dass das Becken zum Zeitpunkt \( t=6 \) leer ist — die Vorgehensweise zur Bestimmung der nötigen Abflussrate erläutern.
Vorab, in einem Satz, was „Zuflussrate" bedeutet: \( f(t) \) ist nicht die Wassermenge, sondern das Tempo des Zuflusses zu einem Zeitpunkt — wie der Tacho im Auto (Geschwindigkeit), nicht der Kilometerzähler (Strecke). Wie viel Wasser tatsächlich zusammenkommt, ergibt erst das Aufsummieren der Rate über die Zeit (das Integral).
So sieht die Zuflussrate \( f \) aus — mit der Linie \( y=10 \), die später (beim Abfluss) wichtig wird:
AB I — Nullstellen, Extrempunkt, Skizze
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Nullstellen. Wo ist \( f(t) = 0 \)? Man klammert \( t \) aus:
\[ f(t) = -2t^2 + 12t = -2t\,(t - 6). \]
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: \( -2t = 0 \Rightarrow t=0 \) oder \( t-6=0 \Rightarrow t=6 \). Nullstellen: \( t=0 \) und \( t=6 \). Damit ist \( f(t)\ge 0 \) genau auf dem Intervall \( [0;6] \) — das ist der Zeitraum, in dem überhaupt Wasser zufließt.
Extrempunkt. Der höchste Punkt ist dort, wo die Steigung \( 0 \) ist. Die Steigung liefert die Ableitung:
\[ f'(t) = -4t + 12. \]
Nullsetzen: \( -4t + 12 = 0 \Rightarrow t = 3 \). Der Funktionswert dort:
\[ f(3) = -2\cdot 9 + 12\cdot 3 = -18 + 36 = 18. \]
Weil die Parabel wegen des Vorfaktors \( -2 \) nach unten geöffnet ist, ist das ein Hochpunkt.
Ergebnis: Nullstellen \( t=0 \) und \( t=6 \); Hochpunkt \( H(3\,|\,18) \) (maximale Zuflussrate \( 18 \) Liter pro Stunde nach \( 3 \) Stunden).
Skizze. Eine nach unten geöffnete Parabel durch \( (0\,|\,0) \) und \( (6\,|\,0) \) mit Scheitel \( (3\,|\,18) \) — siehe der blaue Graph oben.
Haltung dahinter: Nullstelle, Ableitung, Hochpunkt — was heißt das? (ganz von vorn)
Funktion und Graph. Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift: man steckt eine Zahl \( t \) hinein und bekommt eine Zahl \( f(t) \) heraus. Hier steht \( t \) für die Zeit und \( f(t) \) für das Zufluss-Tempo. Trägt man alle Paare \( (t\mid f(t)) \) ins Koordinatensystem ein, entsteht der Graph — hier eine Parabel (die typische „Bogen"-Kurve von \( t^2 \)-Termen).
Nullstelle. Eine Nullstelle ist eine Stelle, an der der Graph die waagerechte Achse trifft, wo also \( f(t)=0 \) ist. Inhaltlich: Zufluss-Tempo \( 0 \) — bei \( t=0 \) geht's los, bei \( t=6 \) ist der Zufluss versiegt.
Satz vom Nullprodukt. Wir nutzen: Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist. Deshalb klammert man \( t \) aus und liest die Nullstellen direkt aus den beiden Faktoren ab.
Ableitung und Hochpunkt. Die Ableitung \( f'(t) \) gibt an jeder Stelle die Steigung des Graphen an — wie stark er gerade steigt (positiv) oder fällt (negativ). Am höchsten Punkt der Parabel ist der Graph für einen Moment waagerecht, die Steigung also \( 0 \). Darum setzt man \( f'(t)=0 \) und löst nach \( t \) auf. Das Ableiten selbst folgt der Regel „Hochzahl nach vorne, Hochzahl um eins kleiner": aus \( -2t^2 \) wird \( -4t \), aus \( 12t \) wird \( 12 \) (Details: Ableit-Handwerk, Anwendung in Funktionsuntersuchung).
Schneller Trick: der Scheitel liegt mittig zwischen den Nullstellen
Eine Parabel ist symmetrisch. Ihr Scheitel sitzt genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen \( 0 \) und \( 6 \), also bei \( t = \tfrac{0+6}{2} = 3 \). So findet man die Stelle des Hochpunkts auch ohne Ableitung — und kann das Ergebnis \( t=3 \) gegenprüfen.
AB II — Zufluss erste Stunde; mit Abfluss: Min/Max, Volumen nach 3 h, Verlauf
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
(1) Zugeflossenes Volumen in der ersten Stunde. Eine Rate über die Zeit aufsummieren heißt integrieren. Das Volumen der ersten Stunde ist
\[ V_{\text{zu}} = \int_0^1 f(t)\,dt = \int_0^1 \big(-2t^2 + 12t\big)\,dt. \]
Eine Stammfunktion von \( f \) ist \( F(t) = -\tfrac23 t^3 + 6t^2 \) (Ableiten kehrt das wieder um). Mit dem Hauptsatz:
\[ \int_0^1 f(t)\,dt = \Big[-\tfrac23 t^3 + 6t^2\Big]_0^1 = \Big(-\tfrac23 + 6\Big) - 0 = \tfrac{16}{3} \approx 5{,}33. \]
Ergebnis: In der ersten Stunde fließen \( \tfrac{16}{3} \approx 5{,}33 \) Liter zu.
Haltung dahinter: Warum berechnet ein Integral aus einer Rate ein Volumen? (ganz von vorn)
Integral als Aufsummieren. Ein Integral \( \int_a^b f(t)\,dt \) addiert die Funktionswerte zwischen \( a \) und \( b \) auf — anschaulich die Fläche unter dem Graphen. Wenn \( f(t) \) ein Tempo ist (Liter pro Stunde), dann ist „Tempo mal Zeit" eine Menge (Liter). Genau das tut das Integral: Es multipliziert in unendlich vielen hauchdünnen Zeitstreifen „Rate × Zeitdauer" und summiert alles. Bild: Beim Autofahren ist die Fläche unter der Geschwindigkeits-Kurve die gefahrene Strecke — hier ist die Fläche unter der Zufluss-Kurve das zugeflossene Wasser.
Stammfunktion. Eine Stammfunktion \( F \) ist „Ableiten rückwärts": eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f \) ergibt (\( F' = f \)). Regel fürs Hochintegrieren: Hochzahl um eins erhöhen und durch die neue Hochzahl teilen. Aus \( -2t^2 \) wird \( -2\cdot\tfrac{t^3}{3} = -\tfrac23 t^3 \), aus \( 12t \) wird \( 12\cdot\tfrac{t^2}{2} = 6t^2 \). Probe durch Ableiten: \( \big(-\tfrac23 t^3 + 6t^2\big)' = -2t^2 + 12t = f(t) \) ✓ (mehr: Stammfunktion & Hauptsatz).
Ganz langsam (mit Zahlen): die Grenzen einsetzen
Der Hauptsatz sagt: \( \int_a^b f = F(b) - F(a) \) — oben einsetzen minus unten einsetzen.
- Obere Grenze \( t=1 \): \( -\tfrac23\cdot 1^3 + 6\cdot 1^2 = -\tfrac23 + 6 = \tfrac{16}{3} \).
- Untere Grenze \( t=0 \): \( -\tfrac23\cdot 0 + 6\cdot 0 = 0 \).
- Differenz: \( \tfrac{16}{3} - 0 = \tfrac{16}{3} \approx 5{,}33 \).
Zur Kontrolle: \( 6 = \tfrac{18}{3} \), also \( \tfrac{18}{3} - \tfrac{2}{3} = \tfrac{16}{3} \).
Ab jetzt gilt zusätzlich ein konstanter Abfluss von \( 10 \) Liter pro Stunde seit Beginn. Die entscheidende Größe wird die Netto-Rate (Zufluss minus Abfluss):
\[ r(t) = f(t) - 10 = -2t^2 + 12t - 10. \]
Ist \( r(t) \gt 0 \), steigt der Wasserstand; ist \( r(t) \lt 0 \), fällt er.
(2) Graphisch: Zeitpunkte von minimalem und maximalem Wasservolumen. Das Volumen wechselt seine Richtung dort, wo Zufluss = Abfluss, also \( f(t) = 10 \). Im Graphen oben ist das der Schnitt der blauen Kurve mit der grünen Linie \( y=10 \) — abzulesen bei
\[ t = 1 \quad\text{und}\quad t = 5. \]
Vorzeichen der Netto-Rate ablesen:
- \( 0 \le t \lt 1 \): Kurve unter der Linie → Abfluss überwiegt → Volumen fällt.
- \( 1 \lt t \lt 5 \): Kurve über der Linie → Zufluss überwiegt → Volumen steigt.
- \( 5 \lt t \le 6 \): Kurve wieder unter der Linie → Volumen fällt.
Ergebnis: minimales Wasservolumen bei \( t=1 \), maximales bei \( t=5 \).
Haltung dahinter: Warum „Schnittpunkt = Wendepunkt des Wasserstands"?
Der Wasserstand ändert sich mit der Netto-Rate \( r(t) = f(t) - 10 \). Solange mehr zufließt als abfließt (\( f \gt 10 \)), wird es voller; sobald mehr abfließt als zufließt (\( f \lt 10 \)), wird es leerer. Der Umschlagpunkt ist genau dort, wo \( f = 10 \). Bild: ein Eimer mit Loch — solange der Hahn stärker läuft als das Loch leckt, steigt der Pegel; kippt das Verhältnis, sinkt er. Die Stellen \( t=1 \) und \( t=5 \) sind diese Kippmomente: bei \( t=1 \) der Tiefststand, bei \( t=5 \) der Höchststand.
Rechnerische Kontrolle der Ablesung
\( f(t) = 10 \Rightarrow -2t^2+12t-10 = 0 \). Durch \( -2 \) teilen: \( t^2 - 6t + 5 = 0 \). Faktorisiert \( (t-1)(t-5)=0 \), also \( t=1 \) und \( t=5 \) — genau die abgelesenen Werte. Damit ist \( r(t) = -2(t-1)(t-5) \): negativ außerhalb \( [1;5] \), positiv dazwischen.
(3) Rechnerisch: Wasservolumen nach \( 3 \) Stunden. Das Volumen ist der Startwert \( 20 \) plus die aufsummierte Netto-Rate:
\[ V(t) = 20 + \int_0^t \big(f(s) - 10\big)\,ds = 20 + \Big[-\tfrac23 s^3 + 6s^2 - 10s\Big]_0^t = 20 - \tfrac23 t^3 + 6t^2 - 10t. \]
Einsetzen von \( t=3 \):
\[ V(3) = 20 - \tfrac23\cdot 27 + 6\cdot 9 - 10\cdot 3 = 20 - 18 + 54 - 30 = 26. \]
Ergebnis: Nach \( 3 \) Stunden enthält das Becken \( 26 \) Liter.
Haltung dahinter: Was ist eine „Bestandsfunktion", und warum steht die 20 davor? (ganz von vorn)
Rate vs. Bestand. \( f \) (bzw. \( r \)) ist eine Rate (Tempo). Das Volumen \( V(t) \) ist ein Bestand (die tatsächlich vorhandene Menge). Man kommt vom Tempo zum Bestand durch Aufsummieren über die Zeit — also Integrieren. Ein Bankkonto-Bild: \( r(t) \) sind die Ein-/Auszahlungen pro Stunde, \( V(t) \) ist der Kontostand.
Warum der Startwert \( 20 \)? Ein Integral von \( 0 \) bis \( t \) zählt nur die Veränderung seit Beginn. Das Becken war aber nicht leer, sondern hatte schon \( 20 \) Liter. Deshalb addiert man diesen Anfangsbestand dazu — wie das Startguthaben auf dem Konto, bevor die erste Buchung kommt.
Warum \( r = f - 10 \)? Zwei Dinge passieren gleichzeitig: Zufluss \( f(t) \) füllt auf, der feste Abfluss \( 10 \) zieht ab. Die echte Veränderung pro Stunde ist die Differenz. Diese Differenz wird integriert.
Ganz langsam (mit Zahlen): \( V(3) \) Ziffer für Ziffer
\[ V(3) = 20 \;\underbrace{-\tfrac23\cdot 27}_{=-18} \;\underbrace{+\,6\cdot 9}_{=+54} \;\underbrace{-\,10\cdot 3}_{=-30}. \]
- \( \tfrac23\cdot 27 = \tfrac{54}{3} = 18 \), mit Minus also \( -18 \).
- \( 6\cdot 9 = 54 \).
- \( 10\cdot 3 = 30 \), mit Minus also \( -30 \).
- Zusammen: \( 20 - 18 = 2 \); \( 2 + 54 = 56 \); \( 56 - 30 = 26 \).
Also \( V(3) = 26 \) Liter.
Typische Falle
Den Startwert \( 20 \) zu vergessen ist der häufigste Fehler — dann erhielte man \( 6 \) statt \( 26 \). Ebenso falsch ist, nur den Zufluss \( f \) zu integrieren und den Abfluss zu vergessen. Es muss die Netto-Rate \( f-10 \) sein, plus der Anfangsbestand \( 20 \).
(4) Wasservolumen in Abhängigkeit von der Zeit (Beschreibung). Die Bestandsfunktion ist
\[ V(t) = 20 - \tfrac23 t^3 + 6t^2 - 10t, \qquad t \in [0;6]. \]
Ihr Verlauf (siehe Graph unten): Start bei \( V(0)=20 \), Abfall bis zum Tiefststand bei \( t=1 \) mit \( V(1) = \tfrac{46}{3} \approx 15{,}3 \), dann Anstieg bis zum Höchststand bei \( t=5 \) mit \( V(5) = \tfrac{110}{3} \approx 36{,}7 \), danach wieder Abfall auf \( V(6) = 32 \).
Haltung dahinter: Wie liest man so einen Verlauf richtig vor?
Man beschreibt einen Verlauf in Worten der Anschauung: wann der Pegel fällt, wann er steigt, wo die Wendepunkte (Tief- und Höchststand) liegen und welche Werte dort herauskommen. Die „Drehpunkte" sind exakt die Stellen aus Teil (2): bei \( t=1 \) hört das Fallen auf (Minimum), bei \( t=5 \) hört das Steigen auf (Maximum). Inhaltlich: In der ersten Stunde leert das Becken sich leicht (der Zufluss ist noch schwach, der Abfluss von \( 10 \) gewinnt), danach füllt es sich kräftig, weil der Zufluss bis \( 18 \) hochsteigt, und gegen Ende lässt der Zufluss nach, sodass der Abfluss wieder die Oberhand bekommt.
Die Eckwerte mit Zahlen
- \( V(1) = 20 - \tfrac23 + 6 - 10 = 16 - \tfrac23 = \tfrac{46}{3} \approx 15{,}3 \) (Minimum).
- \( V(5) = 20 - \tfrac23\cdot 125 + 6\cdot 25 - 50 = 120 - \tfrac{250}{3} = \tfrac{110}{3} \approx 36{,}7 \) (Maximum).
- \( V(6) = 20 - \tfrac23\cdot 216 + 6\cdot 36 - 60 = 20 - 144 + 216 - 60 = 32 \).
Das Becken läuft also nie über und wird in diesem Zeitraum nie leer — der Tiefststand \( \approx 15{,}3 \) Liter liegt deutlich über \( 0 \).
AB III — Abfluss ab \( t=4 \) so ändern, dass das Becken bei \( t=6 \) leer ist
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
Gefragt ist die Vorgehensweise (mit \( t=4 \) ändert sich die Abflussrate auf einen neuen festen Wert \( a \); bei \( t=6 \) soll das Becken leer sein, also \( V(6)=0 \)). Der Weg in drei Schritten — das Ergebnis wird mitgerechnet.
Schritt 1 — Wasserstand bei \( t=4 \) (noch mit altem Abfluss \( 10 \)). Aus der Bestandsfunktion von oben:
\[ V(4) = 20 - \tfrac23\cdot 64 + 6\cdot 16 - 40 = 76 - \tfrac{128}{3} = \tfrac{100}{3} \approx 33{,}3 \ \text{Liter}. \]
Schritt 2 — Bilanz von \( t=4 \) bis \( t=6 \) aufstellen. In diesen \( 2 \) Stunden kommt der Zufluss \( \int_4^6 f(t)\,dt \) hinzu und der neue Abfluss \( a \) zieht \( a\cdot 2 \) ab. Der Zufluss-Anteil:
\[ \int_4^6 f(t)\,dt = \Big[-\tfrac23 t^3 + 6t^2\Big]_4^6 = \big(-144 + 216\big) - \Big(-\tfrac{128}{3} + 96\Big) = 72 - \tfrac{160}{3} = \tfrac{56}{3} \approx 18{,}7. \]
Schritt 3 — Bedingung \( V(6)=0 \) lösen.
\[ V(6) = \underbrace{\tfrac{100}{3}}_{V(4)} + \underbrace{\tfrac{56}{3}}_{\text{Zufluss}} - 2a = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; \tfrac{156}{3} - 2a = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 52 = 2a \;\;\Longrightarrow\;\; a = 26. \]
Ergebnis: Ab \( t=4 \) muss der Abfluss auf \( 26 \) Liter pro Stunde erhöht werden, damit das Becken bei \( t=6 \) leer ist.
So sieht der Wasserstand mit dieser Umstellung aus (Knick bei \( t=4 \), null bei \( t=6 \)):
Haltung dahinter: Warum diese „Bilanz" das Problem löst (ganz von vorn)
Bilanz-Idee. Wir fragen: Wie viel Wasser ist bei \( t=4 \) da, und wie viel muss in den restlichen \( 2 \) Stunden netto verschwinden, damit am Ende \( 0 \) übrig bleibt? Alles, was bei \( t=4 \) im Becken ist (\( \tfrac{100}{3} \)) plus alles, was bis \( t=6 \) noch zufließt (\( \tfrac{56}{3} \)), muss durch den neuen Abfluss wieder hinaus. Zusammen sind das \( \tfrac{156}{3} = 52 \) Liter in \( 2 \) Stunden → \( 52 \div 2 = 26 \) Liter pro Stunde.
Warum nur der Abfluss konstant ist. Der Zufluss \( f \) bleibt die vorgegebene Kurve; geändert wird nur die feste Abflussrate. Deshalb taucht der Zufluss als Integral auf (er ändert sich mit der Zeit), der Abfluss aber als \( a \cdot \) Zeitdauer (konstantes Tempo mal \( 2 \) Stunden).
Ganz langsam (mit Zahlen): die zweite Integralgrenze
\( \int_4^6 f\,dt = F(6) - F(4) \) mit \( F(t) = -\tfrac23 t^3 + 6t^2 \):
- \( F(6) = -\tfrac23\cdot 216 + 6\cdot 36 = -144 + 216 = 72 \).
- \( F(4) = -\tfrac23\cdot 64 + 6\cdot 16 = -\tfrac{128}{3} + 96 = \tfrac{-128+288}{3} = \tfrac{160}{3} \).
- Differenz: \( 72 - \tfrac{160}{3} = \tfrac{216-160}{3} = \tfrac{56}{3} \approx 18{,}7 \).
Bilanz: \( \tfrac{100}{3} + \tfrac{56}{3} = \tfrac{156}{3} = 52 \). Geteilt durch \( 2 \) Stunden: \( a = 26 \) Liter pro Stunde.
Kontrolle: bleibt das Becken bis \( t=6 \) wirklich gefüllt (nie vorher leer)?
Ab \( t=4 \) ist die neue Netto-Rate \( f(t) - 26 \). Da der Zufluss nie über \( 18 \) steigt, ist \( f(t) - 26 \lt 0 \) für alle \( t \in [4;6] \) — der Pegel fällt durchgehend. Er erreicht \( 0 \) also frühestens am Ende, und unsere Rechnung legt diesen Punkt genau auf \( t=6 \). Das Becken läuft nicht vorzeitig leer; die Lösung ist physikalisch sinnvoll. (Würde \( 26 \) das Becken zu schnell leeren, käme \( V \) schon vor \( t=6 \) bei \( 0 \) an — hier passt es exakt.)
Kurz-Spickzettel Teil 2 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- AB I: Nullstellen \( t=0;\,6 \); Hochpunkt \( (3\,|\,18) \); Parabel nach unten geöffnet.
- AB II (1): \( \int_0^1 f = \tfrac{16}{3} \approx 5{,}33 \) Liter in der ersten Stunde.
- AB II (2): Min bei \( t=1 \), Max bei \( t=5 \) (dort \( f=10 \), Netto-Rate wechselt das Vorzeichen).
- AB II (3): \( V(t) = 20 - \tfrac23 t^3 + 6t^2 - 10t \); \( V(3) = 26 \) Liter.
- AB II (4): Start \( 20 \) → Min \( \approx 15{,}3 \) (t=1) → Max \( \approx 36{,}7 \) (t=5) → \( 32 \) (t=6).
- AB III: \( V(4)=\tfrac{100}{3} \), \( \int_4^6 f = \tfrac{56}{3} \); aus \( \tfrac{156}{3} - 2a = 0 \) folgt \( a = 26 \) Liter pro Stunde.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Teilaufgabe, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Geometrie) aufklappen
- a) Punktprobe. Erwartet: Richtungsvektor \( \overrightarrow{AB}=(2,-1,2) \) bilden und zeigen, dass der Pfeil von \( C \) zu \( A \) das gleiche (ein Vielfaches) ist → \( C \) liegt auf \( g \). Rote Flagge: nur eine Koordinate verglichen. Rückfrage: „Warum müssen alle drei Zeilen passen?"
- b) Ebene. Erwartet: \( A \) und \( B \) in \( x_1+2x_2=4 \) einsetzen (\( 4=4 \), \( 4=4 \)) und daraus „zwei Punkte drin → ganze Gerade drin" folgern. Für die weitere Ebene: einen zweiten Spannvektor (z. B. \( (1,1,1) \)) angeben, der nicht parallel zur Geraden ist. Rückfrage: „Warum reicht es, zwei Punkte zu prüfen?"
- c) Punkt D. Erwartet: \( |\overrightarrow{AB}| = \sqrt 9 = 3 \), also \( 9 = 3\cdot 3 \Rightarrow t=3 \Rightarrow D(8\,|\,-2\,|\,6) \). Rote Flagge: \( 9\cdot\overrightarrow{AB} \) statt \( 3\cdot\overrightarrow{AB} \). Rückfrage: „Wie lang ist ein Schritt entlang der Geraden?"
- d) Verfahren. Erwartet als beschriebener Weg: Mittelpunkt \( M \) von \( \overline{AB} \) → zu \( \overrightarrow{AB} \) senkrechten Vektor wählen → \( P \) auf der Mittelsenkrechten so legen, dass \( |\overline{AP}| = |\overline{AB}| \). Hinweis für dich: Hier ist kein Zahlenergebnis nötig — ein klar beschriebenes Verfahren ist die volle Antwort. Rückfrage: „Warum ist \( P \) auf der Mittelsenkrechten automatisch von \( A \) und \( B \) gleich weit weg?"
Leitfaden Teil 2 (Analysis) aufklappen
- AB I — Nullstellen/Extrempunkt/Skizze. Erwartet: \( t \) ausklammern → Nullstellen \( 0 \) und \( 6 \); Ableitung null setzen → \( t=3 \), \( f(3)=18 \), Hochpunkt; Parabel nach unten. Rückfrage: „Woran sieht man, dass es ein Hoch- und kein Tiefpunkt ist?" (Antwort: Vorfaktor \( -2 \).)
- AB II — Zufluss erste Stunde. Erwartet: Integral \( \int_0^1 f \), Stammfunktion \( -\tfrac23 t^3 + 6t^2 \), Ergebnis \( \tfrac{16}{3}\approx 5{,}33 \) Liter. Rückfrage: „Warum Integral und nicht einfach \( f(1) \) einsetzen?" (Rate vs. Menge.)
- AB II — Min/Max graphisch. Erwartet: Linie \( y=10 \) und Schnittpunkte mit \( f \) bei \( t=1 \) und \( t=5 \); davor/dazwischen/danach das Vorzeichen der Netto-Rate. Min bei \( t=1 \), Max bei \( t=5 \). Rückfrage: „Was bedeutet der Schnittpunkt von Zufluss und Abfluss für den Pegel?"
- AB II — Volumen nach 3 h. Erwartet: \( V(t)=20 - \tfrac23 t^3 + 6t^2 - 10t \), \( V(3)=26 \). Rote Flagge: Startwert \( 20 \) vergessen (gäbe \( 6 \)) oder Abfluss vergessen. Rückfrage: „Woher kommt die \( 20 \) am Anfang?"
- AB II — Verlauf beschreiben. Erwartet: Start \( 20 \), Tief bei \( t=1 \) (\( \approx 15{,}3 \)), Hoch bei \( t=5 \) (\( \approx 36{,}7 \)), Ende \( 32 \). Rückfrage: „Wann leert sich das Becken, wann füllt es sich?"
- AB III — Abfluss anpassen. Erwartet als erläutertes Verfahren: Stand bei \( t=4 \) bestimmen, Zufluss \( \int_4^6 f \) addieren, neuen Abfluss \( a \) über die Bilanz \( V(6)=0 \) lösen → \( a=26 \) Liter pro Stunde. Hinweis für dich: Verlangt ist die Vorgehensweise; nennt die Person zusätzlich \( 26 \), ist das ein starkes Plus. Rückfrage: „Was muss bis \( t=6 \) insgesamt abfließen?"
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Wie prüfst du, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt — und warum reicht eine Koordinate nicht?
- Warum genügt es, zwei Punkte einzusetzen, um zu zeigen, dass eine ganze Gerade in einer Ebene liegt?
- Wie kommst du von „Abstand \( 9 \)" zum richtigen Parameter \( t \) auf der Geraden?
- Warum löst die Mittelsenkrechte die Aufgabe mit dem gleichseitigen Dreieck?
- Was ist der Unterschied zwischen der Zuflussrate \( f(t) \) und dem Wasservolumen \( V(t) \) — und wie kommt man vom einen zum anderen?
- Warum liegen das minimale und maximale Wasservolumen genau dort, wo Zufluss und Abfluss gleich groß sind?