Zuerst ganz langsam, was hier gefragt ist. Eine Funktion ist eine Rechenvorschrift: Man steckt eine Zahl \( x \) hinein und bekommt eine Zahl \( y \) heraus. Trägt man alle Paare \( (x \mid y) \) in ein Koordinatensystem ein, entsteht eine Linie — der Graph. Es gibt verschiedene „Sorten" von Rechenvorschriften, und jede Sorte erzeugt eine typische Form von Linie. Genau diese Formen soll man hier wiedererkennen. Die drei Sorten:

• Ganzrationale Funktion (Polynom). Hier wird \( x \) nur mit sich selbst multipliziert und mit Zahlen verrechnet, z. B. \( x^2 \), \( x^3 \), \( 5x - 4 \). Die höchste Potenz heißt Grad. Solche Graphen sind „weiche" Kurven mit ein paar Hügeln und Tälern, die an den Rändern (ganz links und ganz rechts) immer steil nach oben oder unten weglaufen — sie „explodieren" nach außen. Ein \( x^3 \) hat bis zu drei Stellen, an denen er die \( x \)-Achse kreuzt (Nullstellen). Abbildung II hat genau diese Gestalt: mehrere Kreuzungen, ein Tal, ein Hügel, an den Rändern weg ins Unendliche.

• Exponentialfunktion. Hier steht \( x \) oben im Exponenten, z. B. \( 2^x \) oder \( e^{x} \). Die Variable sitzt also „hochgestellt". Das Besondere: So eine Funktion ist (bei positivem Vorfaktor) immer positiv — der Graph bleibt komplett oberhalb der \( x \)-Achse und berührt sie nie. Auf der einen Seite schmiegt er sich ganz flach an die Achse an (kommt ihr beliebig nah, erreicht sie aber nie), auf der anderen Seite schießt er steil hoch. Abbildung I macht genau das: bleibt über der Achse, fällt nach rechts immer flacher, schießt nach links hoch.

• Trigonometrische Funktion (Sinus/Kosinus). Diese Funktionen kommen vom Kreis und beschreiben Schwingungen. Ihr Kennzeichen: Der Graph wiederholt sich in immer gleichen Abständen — rauf, runter, rauf, runter, endlos, immer zwischen einem festen oberen und unteren Wert. Abbildung III ist diese Wellenlinie.

Das ist der Kern dieser Aufgabe, deshalb wirklich langsam.

Was ist ein Faktor? Wenn man Dinge multipliziert, heißt jedes der multiplizierten Stücke ein Faktor. In \( 3 \cdot 5 \) sind \( 3 \) und \( 5 \) die Faktoren. In \( (x-2)\cdot(x-3)\cdot(x+4) \) sind die drei Klammern die Faktoren.

Die eine Regel, auf der alles beruht — der „Satz vom Nullprodukt": Ein Produkt (eine Multiplikation) ist genau dann null, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Beispiel: \( 7 \cdot 0 \cdot 4 = 0 \) — sobald irgendwo eine Null mitmultipliziert wird, ist das ganze Ergebnis null. Umgekehrt: Wenn keiner der Faktoren null ist, kann das Produkt nicht null sein.

Wie hilft das beim Funktionsterm? Wir wissen aus dem Bild: Bei \( x = 2 \) ist der Funktionswert null (dort kreuzt der Graph die Achse). Damit unsere Formel an dieser Stelle wirklich null wird, bauen wir den Faktor \( (x-2) \) ein — denn setzt man \( x = 2 \) ein, wird \( (2-2) = 0 \), und nach der Regel oben ist dann das ganze Produkt null. Genauso:

• Nullstelle bei \( x = 3 \) → Faktor \( (x-3) \), denn bei \( x=3 \) ist \( (3-3)=0 \).
• Nullstelle bei \( x = -4 \) → Faktor \( (x+4) \), denn bei \( x=-4 \) ist \( (-4+4)=0 \).

Merkregel: Nullstelle bei \( x_0 \) → Faktor \( (x - x_0) \). Aufpassen beim Vorzeichen: Die Nullstelle \( -4 \) liefert \( (x-(-4)) = (x+4) \) — aus „minus minus vier" wird „plus vier".

Drei Nullstellen ergeben also drei Klammern, multipliziert. Weil man drei \( x \)-Klammern multipliziert, ist die höchste Potenz \( x^3 \) — ein Polynom dritten Grades, genau passend zur Form im Bild.

Man muss diese Terme nicht herleiten — aber es hilft zu wissen, wie aus einer einfachen Grundfunktion durch kleine Eingriffe eine neue wird. Es gibt vier typische Eingriffe:

• Vor die Funktion ein Minus (z. B. \( -\sin x \)): Spiegelung an der \( x \)-Achse — der Graph wird nach unten geklappt, jeder Punkt oben wird gleich weit nach unten gesetzt.
• Ein Faktor vor der Funktion (z. B. \( 2\sin x \)): Streckung in die Höhe — alle Werte werden verdoppelt, die Wellen werden doppelt so hoch.
• Eine Zahl dazuaddiert (z. B. \( \sin x + 1 \)): Verschiebung nach oben — der ganze Graph rutscht um \( 1 \) hoch.
• Ein Minus beim \( x \) im Inneren (z. B. \( e^{-x} \)): Spiegelung an der senkrechten \( y \)-Achse — links und rechts werden vertauscht. Deshalb fällt \( e^{-x} \) nach rechts, während \( e^{x} \) nach rechts steigt.

So liest man \( g(x) = -2\sin(x)+1 \): nimm die Sinuswelle, klapp sie nach unten (Minus), mach sie doppelt so hoch (Faktor 2), schieb sie um 1 nach oben (+1).

Langsam von vorn. Ein Integral \( \int_a^b f(x)\,dx \) ist eine Maschine, die die Fläche zwischen dem Graphen und der \( x \)-Achse zwischen zwei senkrechten Grenzen \( a \) (links) und \( b \) (rechts) zusammenrechnet. Man kann es sich als „unendlich viele hauchdünne senkrechte Streifen unter der Kurve, alle aufaddiert" vorstellen.

Der Haken: Das Integral zählt Fläche mit Vorzeichen — man nennt das orientierten Flächeninhalt.

• Liegt der Graph über der \( x \)-Achse, sind die Streifen „positiv hoch" → das Integral wird positiv.
• Liegt der Graph unter der \( x \)-Achse, zeigen die Streifen nach unten → sie zählen negativ.

Ein gutes Bild ist ein Bankkonto: Fläche über der Achse = Einzahlungen (+), Fläche unter der Achse = Abhebungen (−). Das Integral nennt am Ende nur den Kontostand, also die Differenz — nicht die Summe der bewegten Beträge.

Für einen echten Flächeninhalt (ein Stück Papier, das man ausschneiden und wiegen könnte) will man aber, dass jedes Stück positiv zählt. Deshalb:

1. An jeder Nullstelle trennen (dort wechselt der Graph die Seite).
2. Jedes Teilstück einzeln integrieren.
3. Von jedem Teilstück den Betrag nehmen (das Minuszeichen vor dem unteren Stück macht genau das) und alles addieren.

Hier liegt der Graph zwischen \( -4 \) und \( 2 \) unter der Achse — deshalb das Minus vor diesem Integral, das den negativen Wert ins Positive dreht. Zwischen \( 2 \) und \( 3 \) liegt er über der Achse — dieses Integral ist schon positiv und bleibt, wie es ist.

Drei Begriffe der Reihe nach.

Ableiten misst die Steigung eines Graphen — wie stark er an einer Stelle steigt oder fällt. Aus einer Funktion \( f \) macht man ihre Ableitung \( f' \).

Eine Stammfunktion ist das Ableiten rückwärts. Gesucht ist eine Funktion \( I \), deren Ableitung wieder unser \( i \) ergibt: \( I' = i \). Man „un-leitet" also ab. Das braucht man, weil Integrale (Flächen) über Stammfunktionen berechnet werden.

Warum ist \( e^{-x} \) eine Stammfunktion von \( -e^{-x} \)? Wir prüfen es, indem wir \( e^{-x} \) ableiten und schauen, ob \( -e^{-x} \) herauskommt. Dafür braucht man die Kettenregel (siehe nächster Kasten). Sie liefert \( (e^{-x})' = -e^{-x} \). Genau unser \( i \) — also stimmt es. Probe durch Ableiten ist hier der sicherste Weg: Wenn das Rückwärts-Ergebnis vorwärts wieder zum Start führt, war es richtig.

Bei einer offenen Aufgabe ist nicht eine Lösung gemeint, sondern irgendeine, die die Bedingung erfüllt. Das ist eine Erleichterung: Man darf sich die einfachste Funktion bauen, die passt.

Überlegung: Wir brauchen eine negative Fläche (\( -8 \)). Eine Gerade, die durch den Ursprung geht und nach rechts fällt — also \( j(x) = -x \) — liegt rechts von \( 0 \) komplett unter der Achse und erzeugt dort eine negative Fläche. Jetzt muss man nur noch die rechte Grenze \( c \) so wählen, dass genau \( -8 \) herauskommt; \( c=4 \) trifft es exakt.

Sicherer Reflex: durch Einsetzen gegenprüfen (das \( \checkmark \) oben). Man rechnet das Integral mit den gewählten Werten aus und schaut, ob wirklich \( -8 \) herauskommt. Andere Lösungen sind genauso richtig — z. B. \( j(x)=-2x,\ b=0,\ c=\sqrt{8} \). Wichtig nur: \( j \) darf nicht konstant sein (eine waagerechte Gerade), denn das war ausdrücklich gefordert; deshalb ist \( j(x)=-x \) die saubere Wahl. (Stammfunktion-Regeln: Stammfunktion & Hauptsatz.)

Schritt für Schritt, ohne Vorwissen.

Punkt und Vektor. Ein Punkt ist ein Ort im Raum, angegeben durch drei Zahlen \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \). Ein Vektor ist ein Pfeil — eine Bewegung von einem Punkt zu einem anderen, mit Richtung und Länge. Den Pfeil vom Punkt \( B \) zum Punkt \( C \) schreibt man \( \overrightarrow{BC} \) und rechnet ihn als „Ziel minus Start" aus: \( C - B \). Beispiel: \( \overrightarrow{BC} = (3,3,0) - (3,0,0) = (0,3,0) \) — also „3 Schritte in \( x_2 \)-Richtung".

Ebene. Eine Ebene ist eine vollkommen flache, unendlich ausgedehnte Fläche (wie eine unendliche Tischplatte). Eine Seitenfläche der Pyramide liegt in so einer Ebene. Eine Koordinatengleichung der Ebene ist eine Regel der Form \( n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d \), die genau die Punkte beschreibt, die auf der Ebene liegen — setzt man einen Ebenenpunkt ein, stimmt die Gleichung; setzt man einen Punkt daneben ein, stimmt sie nicht.

Normalenvektor. Das ist ein Pfeil, der senkrecht auf der Ebene steht — wie ein Fahnenmast, der gerade aus dem Boden ragt. Sein Nutzen: Die drei Zahlen des Normalenvektors sind genau die Koeffizienten \( n_1, n_2, n_3 \) in der Ebenengleichung. Kennt man den Normalenvektor und einen Punkt der Ebene, hat man die ganze Gleichung.

„Senkrechte" Pyramide. Stell dir einen Zeltmast vor, der genau in der Mitte des quadratischen Zeltbodens gerade nach oben steht. Die Zeltspitze ist dann lotrecht über der Bodenmitte. Genau das meint „senkrechte Pyramide". Deshalb hat \( S \) dieselben \( x_1 \)- und \( x_2 \)-Werte wie die Mitte \( M \) (nämlich \( 1{,}5 \) und \( 1{,}5 \)) und obendrauf die Höhe \( 4 \) in \( x_3 \)-Richtung.

Mittelpunkt als Durchschnitt. Den Mittelpunkt einer Strecke findet man, indem man die beiden Endpunkte addiert und halbiert (der „Durchschnitt" zweier Orte liegt genau dazwischen). Beim Quadrat nimmt man zwei gegenüberliegende Ecken, hier \( A \) und \( C \): \( \tfrac12(A+C) \).

Volumenformel \( V=\tfrac13\,G\,h \). Eine Pyramide füllt genau ein Drittel des Quaders (der „Schachtel") aus, der dieselbe Grundfläche \( G \) und dieselbe Höhe \( h \) hat. Daher das \( \tfrac13 \). Hier: Grundfläche \( G = 3\cdot 3 = 9 \) (Quadrat mit Seite 3), Höhe \( h=4 \), also \( V = \tfrac13 \cdot 9 \cdot 4 = 12 \).

Gleichschenklig heißt: Ein Dreieck hat zwei gleich lange Seiten (die „Schenkel"). Es genügt also zu zeigen, dass zwei Seiten dieselbe Länge haben.

Länge eines Pfeils im Raum. Die Länge \( |\overrightarrow{SB}| \) eines Vektors ist der Abstand zwischen Start und Ziel. Man bekommt sie mit dem Satz des Pythagoras, nur in drei Dimensionen: Man quadriert jede der drei Zahlen, addiert sie und zieht die Wurzel:

\[ |\;(a,b,c)\;| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}. \]

Für \( \overrightarrow{SB} = (1{,}5,\,-1{,}5,\,-4) \): \( 1{,}5^2 = 2{,}25 \), \( (-1{,}5)^2 = 2{,}25 \) (Minus mal Minus wird Plus!), \( (-4)^2 = 16 \). Summe \( 2{,}25+2{,}25+16 = 20{,}5 \), also Länge \( \sqrt{20{,}5} \). Für \( \overrightarrow{SC} \) kommt durch das gleiche Rechnen exakt dasselbe heraus — die beiden Seiten sind gleich lang.

Die Oberfläche ist die Summe aller Flächen, die den Körper „außen" begrenzen — wie viel Papier man bräuchte, um die Pyramide einzupacken. Eine quadratische Pyramide hat fünf Außenflächen: unten das Quadrat (Grundfläche \( G \)) und ringsum vier gleiche Dreiecke.

Die Fläche eines Dreiecks ist \( \tfrac12 \cdot \text{Grundseite} \cdot \text{Höhe} \). Die Grundseite ist eine Quadratkante (\( =3 \)). Die Höhe des Dreiecks \( h_s \) ist nicht die Pyramidenhöhe, sondern die Strecke von der Spitze \( S \) senkrecht hinunter zur Mitte der Grundkante. Diese misst man wieder als Pfeillänge (Pythagoras): von \( S(1{,}5|1{,}5|4) \) zur Kantenmitte \( M_{BC}(3|1{,}5|0) \) ergibt \( \sqrt{18{,}25} \). Vier solche Dreiecke plus das Quadrat ergeben \( O = 9 + 6\sqrt{18{,}25} \).

Winkel zwischen zwei Flächen misst man dort, wo sie zusammenstoßen — wie weit man die eine Fläche „aufklappen" muss, um zur anderen zu kommen (wie der Öffnungswinkel eines Buchdeckels gegen den Tisch).

Man baut sich ein passendes rechtwinkliges Dreieck: Lote von der Spitze \( S \) senkrecht hinunter zum Grundflächen-Mittelpunkt \( M \) (das ist die Pyramidenhöhe \( h=4 \)) und von \( M \) waagerecht zur Mitte einer Grundkante (Strecke \( 1{,}5 \)). Diese beiden stehen senkrecht aufeinander; die schräge Seitenfläche schließt mit dem Boden genau den Winkel \( \varphi \) an dieser Ecke ein.

Tangens. In einem rechtwinkligen Dreieck verbindet der Tangens den Winkel mit zwei Seiten: \( \tan(\text{Winkel}) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \) — also „gegenüberliegende Seite geteilt durch anliegende Seite". Hier ist die Höhe \( 4 \) gegenüber dem Winkel, die Strecke \( 1{,}5 \) liegt am Winkel an: \( \tan\varphi = \tfrac{4}{1{,}5} = \tfrac{8}{3} \). Den Winkel selbst holt man mit der Umkehrung \( \arctan \) (auf dem Rechner „\( \tan^{-1} \)") zurück: \( \varphi \approx 69{,}4^\circ \). (In der hilfsmittelfreien Prüfung genügt es, \( \tan\varphi = \tfrac{8}{3} \) anzugeben und zu erklären — der Zahlenwert ist Nebensache.)

• Halbieren. Eine Ebene, die durch die Spitze und die Bodenmitte geht, schneidet die Pyramide symmetrisch durch — beide Hälften haben dieselbe Höhe und gleich große Grundstücke, also nach \( V=\tfrac13 G h \) dasselbe Volumen. Bild: einen quadratischen Pudding mittig senkrecht durchschneiden — beide Stücke gleich groß.
• Innen oder außen? Eine Fläche teilt den Raum in zwei Seiten. Setzt man einen Punkt in die Ebenengleichung ein, verrät das Vorzeichen (plus oder minus, größer oder kleiner als \( d \)), auf welcher Seite er liegt. Ein Punkt ist im Inneren, wenn er bei allen fünf Begrenzungsflächen auf derselben Seite liegt wie ein sicher innen liegender Vergleichspunkt.
• Schatten. Licht von einem Punkt strahlt geradlinig. Der Schatten eines Eckpunkts liegt dort, wo der Lichtstrahl von \( L \) durch diesen Eckpunkt auf den Boden trifft. Mathematisch: Gerade durch \( L \) und den Punkt, dann Schnittpunkt mit dem Boden \( x_3=0 \).