Diese Simulation läuft im echten Format deiner mündlichen Prüfung: erst eine zusammenhängende Vortragsaufgabe (etwa 10 Minuten, die du in der Vorbereitungszeit durcharbeitest und dann frei präsentierst), danach ein Prüfungsgespräch mit Impulsfragen. Alles ist rechnerfrei zu lösen — genau wie in beiden Teilen deiner Prüfung. Arbeite zuerst selbst, bevor du die Lösungswege aufklappst.
So nutzt du die Seite: Decke die Lösungen zu, sprich deinen Vortrag laut durch (am besten als Sprachnachricht), und vergleiche erst danach mit dem Erwartungshorizont. Lautes Sprechen ist die halbe Prüfung.
Vortragsaufgabe (~10 Min, zusammenhängend)
Gegeben ist die Funktion
\[ f(x) = \tfrac{1}{4}x^3 - \tfrac{3}{4}x. \]
Bearbeite die folgenden Teilaufgaben zusammenhängend und erkläre dabei laut, was du tust und warum. Das laute Begründen ist in der mündlichen Prüfung genauso wichtig wie das Ergebnis.
a) AB I Untersuche \( f \) auf Symmetrie und bestimme die Nullstellen.
b) AB I Bestimme die erste und zweite Ableitung von \( f \).
c) AB II Bestimme die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen und weise ihre Art nach.
d) AB II Bestimme den Wendepunkt und begründe, warum dort wirklich eine Wendestelle vorliegt.
e) AB II Berechne den Wert \( \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \) und deute das Vorzeichen des Ergebnisses geometrisch.
Erwartungshorizont a) — Symmetrie und Nullstellen
Lösungsweg a) aufklappen
Symmetrie. In \( f(x) = \tfrac14 x^3 - \tfrac34 x \) kommen nur ungerade Potenzen von \( x \) vor. Damit gilt \( f(-x) = -f(x) \), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Haltung dahinter: warum reicht der Blick auf die Potenzen?
Ich prüfe Symmetrie zuerst, weil sie mir Arbeit spart: Eine Punktsymmetrie zum Ursprung halbiert die Untersuchung — was ich rechts von der \( y \)-Achse finde (z. B. einen Tiefpunkt), hat links sein gespiegeltes Gegenstück (einen Hochpunkt). Die typische Falle ist, Symmetrie zu „raten". Sauber ist das Argument über die Definition: Ersetze ich \( x \) durch \( -x \), wird \( (-x)^3 = -x^3 \) und \( (-x) = -x \), also \( f(-x) = -\tfrac14 x^3 + \tfrac34 x = -f(x) \) — das ist Punktsymmetrie zum Ursprung. Nur ungerade Exponenten \( \Rightarrow \) punktsymmetrisch; nur gerade \( \Rightarrow \) achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse.
Nullstellen. Setze \( f(x) = 0 \):
\[ \tfrac14 x^3 - \tfrac34 x = \tfrac14 x\,(x^2 - 3) = 0. \]
Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: \( x = 0 \) oder \( x^2 = 3 \), also \( x = 0,\ x = \sqrt{3},\ x = -\sqrt{3} \).
Haltung dahinter: erst ausklammern, dann Satz vom Nullprodukt
Bevor ich „irgendeine" Lösungsformel ansetze, klammere ich den gemeinsamen Faktor \( x \) aus. Das ist der rechnerfreie Standardweg bei ganzrationalen Funktionen ohne konstantes Glied: Eine Nullstelle ist sofort \( x = 0 \), der Rest ist nur noch eine quadratische (hier sogar reine) Gleichung. Die typische Falle ist, durch \( x \) zu teilen — dann verliert man die Nullstelle \( x = 0 \). Deshalb nie dividieren, sondern ausklammern und den Satz vom Nullprodukt anwenden.
Erwartungshorizont b) — Ableitungen
Lösungsweg b) aufklappen
Mit der Potenzregel \( (x^n)' = n\,x^{n-1} \), Faktor- und Summenregel:
\[ f'(x) = \tfrac14 \cdot 3x^2 - \tfrac34 = \tfrac34 x^2 - \tfrac34 = \tfrac34\,(x^2 - 1), \] \[ f''(x) = \tfrac34 \cdot 2x = \tfrac32 x. \]
Haltung dahinter: gleich ausklammern lohnt sich
Ich schreibe \( f'(x) = \tfrac34(x^2-1) \) bewusst in der ausgeklammerten Form. Der Vorfaktor \( \tfrac34 \) ist nie null, also entscheidet allein \( x^2 - 1 = 0 \) über die Nullstellen von \( f' \) — das macht die nächste Teilaufgabe rechnerfrei. Wer den Vorfaktor mitschleppt, rechnet unnötig kompliziert.
Erwartungshorizont c) — Hoch- und Tiefpunkte
Lösungsweg c) aufklappen
Schritt 1 — notwendige Bedingung \( f'(x) = 0 \). Aus \( \tfrac34(x^2-1) = 0 \) folgt \( x^2 = 1 \), also \( x = -1 \) oder \( x = 1 \). Das sind die Kandidaten für Extremstellen.
Schritt 2 — hinreichende Bedingung über \( f'' \). Setze die Kandidaten in \( f''(x) = \tfrac32 x \) ein:
\[ f''(-1) = -\tfrac32 < 0 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt}, \qquad f''(1) = \tfrac32 > 0 \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt}. \]
Schritt 3 — \( y \)-Werte über \( f \).
\[ f(-1) = \tfrac14(-1) - \tfrac34(-1) = -\tfrac14 + \tfrac34 = \tfrac12, \qquad f(1) = \tfrac14 - \tfrac34 = -\tfrac12. \]
Ergebnis: Hochpunkt \( H\!\left(-1 \,\middle|\, \tfrac12\right) \), Tiefpunkt \( T\!\left(1 \,\middle|\, -\tfrac12\right) \). Das passt zur Punktsymmetrie aus a): \( T \) ist die Spiegelung von \( H \) am Ursprung.
Haltung dahinter: notwendig vs. hinreichend — warum zwei Schritte?
\( f'(x) = 0 \) ist nur notwendig: An einer Extremstelle ist die Tangente waagerecht, aber eine waagerechte Tangente allein garantiert kein Extremum (siehe den Sattelpunkt-Einwand im Prüfungsgespräch). Erst die hinreichende Bedingung sichert die Art ab. Ich nehme hier das \( f'' \)-Kriterium, weil \( f''(x) = \tfrac32 x \) so einfach ist, dass das Einsetzen rechnerfrei gelingt: Vorzeichen von \( f'' \) negativ \( \Rightarrow \) Linkskrümmung von oben, also Maximum; positiv \( \Rightarrow \) Minimum.
Alternative: Vorzeichenwechsel von \( f' \) (falls \( f''=0 \) wäre)
Wäre an einem Kandidaten \( f'' = 0 \), liefert das \( f'' \)-Kriterium keine Aussage. Dann prüfe ich den Vorzeichenwechsel von \( f' \): \( + \to - \) bedeutet Hochpunkt, \( - \to + \) Tiefpunkt, kein Wechsel bedeutet Sattelpunkt. Dieses Kriterium funktioniert immer und ist die sichere Rückfallebene.
Erwartungshorizont d) — Wendepunkt
Lösungsweg d) aufklappen
Notwendige Bedingung \( f''(x) = 0 \): \( \tfrac32 x = 0 \Rightarrow x = 0 \).
Hinreichende Bedingung — Krümmungswechsel. Ich prüfe \( f''' \): aus \( f''(x) = \tfrac32 x \) folgt \( f'''(x) = \tfrac32 \neq 0 \). Da die dritte Ableitung an der Stelle \( x=0 \) ungleich null ist, wechselt die Krümmung dort tatsächlich — es liegt eine Wendestelle vor.
\( y \)-Wert: \( f(0) = 0 \). Also Wendepunkt \( W(0 \mid 0) \) — wegen der Punktsymmetrie genau das Symmetriezentrum.
Haltung dahinter: was ist ein Wendepunkt anschaulich?
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der der Graph von einer Rechts- in eine Linkskrümmung (oder umgekehrt) wechselt — anschaulich der Punkt, an dem du beim Autofahren das Lenkrad von „nach rechts eingeschlagen" auf „nach links eingeschlagen" drehst. Mathematisch ist das ein Vorzeichenwechsel von \( f'' \). Die typische Falle ist, bei \( f''(x_0) = 0 \) sofort „Wendepunkt" zu sagen — das ist nur notwendig. Den Wechsel muss man nachweisen, hier über \( f'''(0) \neq 0 \).
Erwartungshorizont e) — Integral und geometrische Deutung
Lösungsweg e) aufklappen
Stammfunktion über die Potenzregel \( \int x^n\,dx = \tfrac{1}{n+1}x^{n+1} \):
\[ F(x) = \tfrac14 \cdot \tfrac14 x^4 - \tfrac34 \cdot \tfrac12 x^2 = \tfrac{1}{16}x^4 - \tfrac38 x^2. \]
Hauptsatz \( \int_a^b f = F(b) - F(a) \):
\[ \int_0^2 f(x)\,dx = F(2) - F(0) = \left(\tfrac{1}{16}\cdot 16 - \tfrac38 \cdot 4\right) - 0 = 1 - \tfrac{3}{2} = -\tfrac12. \]
Geometrische Deutung. Das Ergebnis \( -\tfrac12 \) ist negativ, weil der Graph auf dem größten Teil des Intervalls \( [0,\,2] \) unterhalb der \( x \)-Achse liegt (zwischen \( x=0 \) und \( x=\sqrt3 \approx 1{,}73 \)). Das Integral misst den orientierten Flächeninhalt: Flächen unter der Achse zählen negativ. Über \( [\sqrt3,\,2] \) liegt der Graph wieder oberhalb und liefert einen kleinen positiven Beitrag, der den negativen aber nicht ausgleicht — in der Summe bleibt es negativ.
Haltung dahinter: orientierter Flächeninhalt vs. „echte" Fläche
Die typische Falle ist, das Integral mit dem Flächeninhalt gleichzusetzen. Das Integral ist der orientierte Flächeninhalt: Was unter der \( x \)-Achse liegt, geht negativ ein. Wäre nach dem tatsächlichen Flächeninhalt zwischen Graph und Achse gefragt, müsste ich an den Nullstellen aufteilen und die Beträge addieren: \( A = \left|\int_0^{\sqrt3} f\right| + \int_{\sqrt3}^{2} f \). Genau diesen Unterschied fragen Prüfende gern als Rückfrage ab.
Annahme/Voraussetzung: warum darf ich den Hauptsatz anwenden?
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung setzt voraus, dass \( f \) auf \( [0,2] \) stetig ist. Ganzrationale Funktionen (Polynome) sind auf ganz \( \mathbb{R} \) stetig und sogar beliebig oft differenzierbar — die Voraussetzung ist also automatisch erfüllt, und ich darf das Integral über die Differenz der Stammfunktion an den Rändern berechnen.
Der Graph zu \( f \)
So sieht der Graph aus — mit Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt und den drei Nullstellen. Vergleiche ihn mit deinen Ergebnissen.
Prüfungsgespräch (Impulsfragen, Musterantworten, Rückfragen)
Im zweiten Teil stellt die Lehrkraft kurze Impulse. Erwartet wird freies, begründetes Sprechen — keine langen Rechnungen. Übe, jede Antwort in zwei, drei Sätzen klar auf den Punkt zu bringen.
Impuls 1 AB I
„Sie haben \( f'(x) = 0 \) gesetzt, um die Extremstellen zu finden. Warum reicht das allein nicht?"
Musterantwort
„\( f'(x) = 0 \) ist nur die notwendige Bedingung — sie sagt, dass die Tangente waagerecht ist. Das gilt aber auch an einem Sattelpunkt, an dem gar kein Extremum vorliegt. Deshalb brauche ich zusätzlich eine hinreichende Bedingung, etwa das Vorzeichen von \( f'' \) oder den Vorzeichenwechsel von \( f' \), um die Art des Punktes wirklich abzusichern."
Mögliche Rückfrage der Prüfenden
„Nennen Sie ein konkretes Beispiel für eine waagerechte Tangente ohne Extremum."
Antwort: \( g(x) = x^3 \) bei \( x = 0 \). Dort ist \( g'(0) = 0 \), aber die Funktion ist streng steigend — es liegt ein Sattelpunkt vor, kein Hoch- oder Tiefpunkt.
Impuls 2 AB I
„Was sagt Ihnen die Punktsymmetrie über Hoch- und Tiefpunkt, ohne dass Sie beide einzeln ausrechnen?"
Musterantwort
„Bei Punktsymmetrie zum Ursprung wird jeder Punkt \( (x \mid y) \) auf \( (-x \mid -y) \) gespiegelt. Ein Hochpunkt links der \( y \)-Achse hat also zwingend einen gespiegelten Tiefpunkt rechts davon — mit entgegengesetzten Koordinaten. Hätte ich nur \( T(1 \mid -\tfrac12) \) berechnet, wüsste ich sofort, dass der Hochpunkt bei \( (-1 \mid \tfrac12) \) liegt."
Impuls 3 AB II
„Sie haben \( \int_0^2 f\,dx = -\tfrac12 \) erhalten. Ein Flächeninhalt kann doch nicht negativ sein — wie passt das zusammen?"
Musterantwort
„Das Integral ist nicht der Flächeninhalt, sondern der orientierte Flächeninhalt. Flächenstücke unterhalb der \( x \)-Achse gehen negativ ein. Zwischen \( 0 \) und \( \sqrt{3} \) verläuft der Graph unter der Achse, deshalb überwiegt der negative Anteil, und das Integral wird negativ. Den tatsächlichen Flächeninhalt bekäme ich, indem ich an der Nullstelle \( \sqrt{3} \) aufteile und die Beträge der Teilintegrale addiere."
Mögliche Rückfrage der Prüfenden
„Wie würden Sie diesen tatsächlichen Flächeninhalt ansetzen — nur den Ansatz, nicht ausrechnen?"
Antwort: \( \displaystyle A = \left| \int_0^{\sqrt3} f(x)\,dx \right| + \int_{\sqrt3}^{2} f(x)\,dx \) — also die Beträge der Teilstücke addieren, mit der Nullstelle \( \sqrt{3} \) als Trennstelle.
Impuls 4 AB III
„Begründen Sie ohne Rechnung, warum \( f \) genau drei Nullstellen hat und nicht mehr."
Musterantwort
„\( f \) ist ein Polynom dritten Grades, hat also höchstens drei Nullstellen. Aus der Faktorisierung \( \tfrac14 x(x^2-3) \) lese ich drei verschiedene reelle Nullstellen ab: \( 0,\ \sqrt3,\ -\sqrt3 \). Anschaulich passt das zur Form: Der Graph kommt von unten links, steigt zum Hochpunkt, fällt durch den Wendepunkt zum Tiefpunkt und steigt wieder — er kreuzt die \( x \)-Achse genau dreimal."
Haltung dahinter: Grad begrenzt die Nullstellenzahl
Der Fundamentalsatz der Algebra liefert die obere Schranke: Ein Polynom vom Grad \( n \) hat höchstens \( n \) reelle Nullstellen. Diese Schranke mit der konkreten Faktorisierung und der Kurvenform zu verbinden, ist typisch AB III — es verlangt das Vernetzen mehrerer Konzepte statt eines Rechenschritts.
Impuls 5 AB II
„Bestimmen Sie die Steigung des Graphen im Wendepunkt und sagen Sie, was sie bedeutet."
Musterantwort
„Die Steigung im Wendepunkt ist \( f'(0) = \tfrac34(0^2 - 1) = -\tfrac34 \). Sie ist negativ, der Graph fällt dort. Der Wendepunkt ist außerdem die Stelle mit der stärksten Steigungsänderung in diesem Bereich — die Tangente dort heißt Wendetangente und ist die am steilsten fallende Tangente zwischen Hoch- und Tiefpunkt."
Relevanz dieser Simulation
AB I/II klar im Kanon Die Vortragsaufgabe deckt den Kern des Basisfachs ab: Symmetrie, Nullstellen, Ableitungen, Extrem- und Wendepunkte, bestimmtes Integral mit geometrischer Deutung. Das ist Standardstoff der Analysis und prüfungsrelevant.
AB III nur als Bonus Impuls 4 (Anzahl der Nullstellen über den Grad) ist bewusst AB III. Im Basisfach liegt der Schwerpunkt auf AB I/II; AB-III-Fragen kommen seltener und eher als vertiefende Rückfrage. Nimm sie als Übung mit, aber lass dich davon nicht verunsichern — der sichere Umgang mit AB I/II trägt die Prüfung.