Mathe‑AbiStartBau-CharterDesign-Spec

Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Stochastik, Teil 2 (Gespräch) aus der Analysis. Alles ist rechnerfrei zu lösen. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.

Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.

Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)

Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:

  • Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
  • Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
  • Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
  • Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
  • Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).

Werkzeug zum Nachschlagen: Die wiederkehrenden Stochastik-Werkzeuge (Normalverteilung, Vierfeldertafel, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit, Baumdiagramm) stehen kompakt im Werkzeugkasten Stochastik (Anker u. a. `#normalverteilung`, `#erwartungswert`, `#vierfeldertafel`, `#binomialverteilung`, `#bernoulli-kette`). Die Analysis-Werkzeuge findest du in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Funktionsuntersuchung, Integral-Grundlagen, Stammfunktion & Hauptsatz und Grundfunktionen.

Teil 1 — Vortrag (Stochastik): Normalverteilung und Vierfeldertafel

Die Körpergröße der erwachsenen Männer in einer Stadt ist normalverteilt.

a) Beschreibe die Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße. Gehe dabei auch auf die Begriffe Erwartungswert und Standardabweichung ein.

Ein Mitarbeiter einer Fotoagentur geht durch eine Fußgängerzone und spricht Männer an, ob sie an einem Fotoshooting interessiert sind. Die ideale Körpergröße hierfür liegt zwischen \( 1{,}80\,\text{m} \) und \( 1{,}90\,\text{m} \). Die folgende Vierfeldertafel zeigt das Ergebnis seiner Befragung:

Ideale KörpergrößeKeine ideale KörpergrößeSumme
Interesse am Fotoshooting22 %19 %
Kein Interesse am Fotoshooting
Summe37 %

b) Erläutere die direkt aus dieser Vierfeldertafel ablesbaren Aussagen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mann Interesse am Fotoshooting hat. Aus einer Gruppe mit Männern der idealen Körpergröße wird zufällig ein Mann ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Mann kein Interesse am Fotoshooting hat.

c) Untersuche, ob die Ereignisse \( A \): „Interesse am Fotoshooting" und \( B \): „Ideale Körpergröße" stochastisch unabhängig sind.

In einer Gruppe von zehn Männern haben vier Männer ideale Körpergröße. Aus dieser Gruppe werden drei Männer zufällig ausgewählt.

d) Begründe, dass die Binomialverteilung für Überlegungen zur Anzahl der ausgewählten Männer mit idealer Körpergröße nicht geeignet ist. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei der drei ausgewählten Männer ideale Körpergröße haben.

Teilaufgabe a) — Eigenschaften einer normalverteilten Zufallsgröße

AB II — Standardanforderung

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Eine normalverteilte Zufallsgröße hat diese Eigenschaften:

  • Sie ist eine stetige Zufallsgröße: Sie kann alle reellen Werte in einem Intervall annehmen (jede Körpergröße, auch \( 1{,}8237\ldots\,\text{m} \)), nicht nur einzelne abgezählte Werte.
  • Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten lassen sich über Flächenbetrachtungen an einer Glockenkurve beschreiben: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert in einem Bereich liegt, ist die Fläche unter der Glockenkurve über diesem Bereich.
  • Diese Glockenkurve hat ihren Hochpunkt an der Stelle des Erwartungswerts \( \mu \) und ist achsensymmetrisch zur senkrechten Geraden \( x = \mu \).
  • Die Wendepunkte liegen genau bei \( x_1 = \mu - \sigma \) und \( x_2 = \mu + \sigma \) (also „eine Standardabweichung links und rechts vom Mittelwert").
  • Je größer die Standardabweichung \( \sigma \) ist, umso flacher und breiter wird die Glockenkurve (umso stärker streuen die Werte); je kleiner \( \sigma \), umso schmaler und höher.
Glockenkurve (Normalverteilung): Hochpunkt und Symmetrieachse bei \( x=\mu \), Wendepunkte (grün) bei \( \mu-\sigma \) und \( \mu+\sigma \).
Haltung dahinter: Was ist eine „normalverteilte Zufallsgröße"? (ganz von vorn)

Wir bauen das Wort von hinten auf.

Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße (oder Zufallsvariable) ist eine Zahl, deren Wert vom Zufall abhängt — hier: „die Körpergröße eines zufällig herausgegriffenen Mannes". Vor dem Messen weiß man den Wert nicht, aber man kann sagen, wie wahrscheinlich welche Werte sind.

Stetig gegenüber diskret. Manche Größen springen in festen Stufen — ein Würfel zeigt nur \( 1,2,3,4,5,6 \), nie \( 3{,}7 \). So etwas heißt diskret (abzählbar). Eine Körpergröße dagegen kann jeden Zwischenwert annehmen: \( 1{,}80\,\text{m} \), \( 1{,}803\,\text{m} \), \( 1{,}8031\,\text{m} \) … Eine Größe, die so ein ganzes Intervall lückenlos füllt, heißt stetig. Genau das ist die Körpergröße.

Glockenkurve. Trägt man auf, wie häufig welche Werte vorkommen, ergibt sich bei sehr vielen natürlichen Größen (Körpergröße, Schuhgröße, Messfehler) eine symmetrische Glockenform: In der Mitte (beim Durchschnitt) ist der Berg am höchsten, nach beiden Seiten fällt er gleichmäßig ab. Diese Kurve heißt Glockenkurve oder Gauß-Kurve. Anschaulich: Die allermeisten Männer sind ungefähr durchschnittlich groß, sehr kleine und sehr große sind selten — deshalb der Berg in der Mitte und die dünnen „Schwänze" außen.

Fläche = Wahrscheinlichkeit. Bei einer stetigen Größe liest man Wahrscheinlichkeiten als Fläche unter der Kurve ab. „Wie wahrscheinlich ist eine Größe zwischen \( 1{,}80 \) und \( 1{,}90\,\text{m} \)?" = „Wie groß ist die Fläche unter der Glocke über diesem Streifen?" Die gesamte Fläche unter der Glocke ist immer \( 1 \) (\( =100\,\% \)), denn irgendeinen Wert hat jeder Mann.

Erwartungswert \( \mu \) und Standardabweichung \( \sigma \) — die zwei Stellschrauben

Eine Normalverteilung wird durch genau zwei Zahlen vollständig festgelegt:

  • Erwartungswert \( \mu \) (sprich „mü"): der Mittelwert/Durchschnitt — der Wert, um den herum alles zentriert ist. Er sagt, wo der Berg steht. Anschaulich der „Schwerpunkt" der Verteilung: Würde man die Glockenfläche aus Pappe ausschneiden, balancierte sie genau bei \( x=\mu \). Deshalb liegt dort der Hochpunkt, und deshalb ist die Kurve spiegelsymmetrisch zur senkrechten Geraden \( x=\mu \) (links wie rechts gleich viel).

  • Standardabweichung \( \sigma \) (sprich „sigma"): die typische Streuung — wie weit die Werte im Schnitt vom Mittelwert abweichen. Sie sagt, wie breit der Berg ist. Kleines \( \sigma \) = alle dicht beieinander = schmale, hohe Glocke; großes \( \sigma \) = stark streuend = breite, flache Glocke. (Die Höhe muss mitsinken, weil die Gesamtfläche immer \( 1 \) bleibt — wird die Glocke breiter, muss sie flacher werden.)

Die Wendepunkte verraten \( \sigma \). Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Kurve von einer Rechtskurve in eine Linkskurve übergeht — wo das Gefälle aufhört, steiler zu werden, und anfängt, flacher zu werden. Bei der Glocke liegen diese beiden Stellen exakt eine Standardabweichung neben dem Gipfel: bei \( \mu-\sigma \) und \( \mu+\sigma \). Man kann \( \sigma \) also direkt an der Kurve ablesen: Abstand vom Gipfel bis zum Wendepunkt.

Typische Falle: bei stetigen Größen ist „genau ein Wert" unmöglich

Bei einer stetigen Zufallsgröße ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen, exakten Wert immer \( 0 \): \( P(X = 1{,}80\,\text{m}) = 0 \). Grund: Ein einzelner Punkt hat keine Fläche, und Wahrscheinlichkeit ist hier Fläche. Sinnvoll fragt man immer nach einem Bereich („zwischen \( 1{,}80 \) und \( 1{,}90\,\text{m} \)"). Deshalb ist es auch egal, ob man „kleiner" oder „kleiner gleich" schreibt — die Grenze selbst trägt nichts bei.

Teilaufgabe b) — Ablesbare Aussagen, \( P(A) \) und bedingte Wahrscheinlichkeit

AB I / AB II

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Direkt aus der Tafel ablesbare Aussagen (jede Zelle ist eine Prozentangabe der gesamten Befragten):

  • \( 37\,\% \) der angesprochenen Männer haben die ideale Körpergröße (untere Spaltensumme).
  • \( 22\,\% \) haben die ideale Körpergröße und sind am Fotoshooting interessiert.
  • \( 19\,\% \) haben keine ideale Körpergröße und sind am Fotoshooting interessiert.

Wahrscheinlichkeit für Interesse, \( P(A) \). Man addiert die ganze Zeile „Interesse":

\[ P(A) = 22\,\% + 19\,\% = 41\,\%. \]

Aus den idealgroßen Männern einen ziehen — Wahrscheinlichkeit „kein Interesse". Gesucht ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \( P_B(\overline A) \): „kein Interesse \( (\overline A) \), unter der Bedingung ideale Größe \( (B) \)". Man bleibt in der Spalte \( B \) und teilt den passenden Anteil durch die Spaltensumme:

\[ P_B(\overline A) = \frac{P(\overline A \cap B)}{P(B)} = \frac{37\,\% - 22\,\%}{37\,\%} = \frac{15}{37} \approx 40{,}5\,\%. \]

Dabei ist \( P(\overline A \cap B) = 37\,\% - 22\,\% = 15\,\% \) (Spalte \( B \) ergibt \( 37\,\% \), davon entfallen \( 22\,\% \) auf „Interesse", der Rest auf „kein Interesse"). Die vollständig ausgefüllte Tafel:

Ideale Größe \( B \)Keine ideale Größe \( \overline B \)Summe
Interesse \( A \)22 %19 %41 %
Kein Interesse \( \overline A \)15 %44 %59 %
Summe37 %63 %100 %
Haltung dahinter: Wie liest man eine Vierfeldertafel? (ganz von vorn)

Eine Vierfeldertafel sortiert eine Gruppe nach zwei Ja/Nein-Merkmalen gleichzeitig — hier „Interesse: ja/nein" und „ideale Größe: ja/nein". Daraus entstehen vier Kästchen (Felder), eines für jede Kombination:

Die Zahlen sind Anteile an allen Befragten. „\( 22\,\% \)" heißt: \( 22 \) von je \( 100 \) Angesprochenen sind ideal und interessiert. Dieses „und" ist mathematisch der Schnitt \( A \cap B \) — beide Bedingungen treffen zusammen zu.

Ränder = Summen. Addiert man eine ganze Zeile, bekommt man die Wahrscheinlichkeit nur für das Zeilenmerkmal (z. B. „Interesse insgesamt" \( =41\,\% \), egal welche Größe). Addiert man eine Spalte, bekommt man das Spaltenmerkmal („ideale Größe insgesamt" \( =37\,\% \)). Diese Randwerte heißen Randwahrscheinlichkeiten. Und alle vier Felder zusammen ergeben \( 100\,\% \) — jeder Befragte sitzt in genau einem Feld. Daraus füllt man fehlende Felder per Subtraktion auf (Zeile/Spalte muss aufgehen).

Bedingte Wahrscheinlichkeit ganz langsam: „nur unter den Idealen schauen"

„Aus einer Gruppe mit Männern der idealen Körpergröße wird zufällig einer ausgewählt" — dieser Halbsatz schaltet den Blick um: Es zählen nicht mehr alle Befragten, sondern nur noch die idealgroßen. Diese Teilgruppe ist der neue \( 100\,\% \)-Bezug. Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, geschrieben \( P_B(\overline A) \): „Wahrscheinlichkeit für \( \overline A \), gegeben \( B \)".

Bild: Du legst auf die Tafel eine Schablone, die alles außer der Spalte \( B \) (ideale Größe) abdeckt. Übrig bleiben \( 37\,\% \) — und das sind jetzt deine \( 100\,\% \). Davon haben \( 15\,\% \) kein Interesse. Der Anteil ist also

\[ \frac{15\,\%}{37\,\%} = \frac{15}{37} = 0{,}4054\ldots \approx 40{,}5\,\%. \]

Ziffernweise: \( 15 \) geteilt durch \( 37 \). \( 37 \) passt nicht in \( 15 \) → \( 0,\ldots \). \( 150 : 37 = 4 \) Rest \( 2 \) (denn \( 4\cdot 37 = 148 \)). \( 20 \to 200 : 37 = 5 \) Rest \( 15 \) (\( 5\cdot 37 = 185 \)). Also \( 0{,}405\ldots \approx 40{,}5\,\% \).

Typische Falle: durch die Teilgesamtheit teilen, nicht durch 100 %

Der häufigste Fehler: \( P_B(\overline A) \) mit \( P(\overline A \cap B) = 15\,\% \) zu verwechseln. Die \( 15\,\% \) sind der Anteil an allen Befragten — die Frage will aber den Anteil innerhalb der Idealgroßen. Deshalb muss man durch \( 37\,\% \) (die Teilgesamtheit) teilen, nicht durch \( 100\,\% \). Faustregel: „Aus der Gruppe X wird gezogen" → durch \( P(X) \) teilen.

Teilaufgabe c) — Stochastische Unabhängigkeit

AB II — Standardanforderung

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Zwei Ereignisse \( A \) und \( B \) heißen stochastisch unabhängig, wenn

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B). \]

Man prüft, ob die Gleichung mit den Zahlen der Tafel aufgeht:

\[ P(A) = 41\,\%, \qquad P(B) = 37\,\%, \qquad P(A \cap B) = 22\,\%. \] \[ P(A)\cdot P(B) = 41\,\% \cdot 37\,\% = 15{,}17\,\% \;\neq\; 22\,\% = P(A\cap B). \]

Die beiden Seiten sind verschieden, also sind die Ereignisse nicht stochastisch unabhängig.

Haltung dahinter: Was heißt „unabhängig", und warum dieser Test?

Unabhängig bedeutet anschaulich: Das eine Merkmal verrät nichts über das andere. Wüsste man, dass ein Mann ideal groß ist, und änderte das nichts an der Wahrscheinlichkeit, dass er interessiert ist, wären die Merkmale unabhängig. Sobald das Wissen über das eine die Chance fürs andere verschiebt, sind sie abhängig.

Warum gerade \( P(A)\cdot P(B) \)? Wenn zwei Dinge völlig nichts miteinander zu tun haben, multiplizieren sich ihre Anteile. Stell dir \( 41\,\% \) Interessierte und \( 37\,\% \) Idealgroße vor, zufällig gemischt ohne Zusammenhang: Dann wären unter den Interessierten genauso oft Idealgroße wie in der Gesamtheit, nämlich \( 37\,\% \) — und der gemeinsame Anteil wäre \( 41\,\% \cdot 37\,\% = 15{,}17\,\% \). Die Tafel zeigt aber \( 22\,\% \) ideal-und-interessiert, deutlich mehr als die \( 15{,}17\,\% \) eines reinen Zufallsmischens. Idealgröße und Interesse treten also häufiger zusammen auf, als der Zufall allein erklären würde → es gibt einen Zusammenhang → abhängig.

… ganz langsam (mit Zahlen): \( 41\,\% \cdot 37\,\% \)

Prozent in Dezimalzahlen: \( 41\,\% = 0{,}41 \), \( 37\,\% = 0{,}37 \). Multiplizieren wie ohne Komma: \( 41 \cdot 37 \). Rechne \( 41 \cdot 37 = 41\cdot 30 + 41\cdot 7 = 1230 + 287 = 1517 \). Jetzt die Kommas: zwei Nachkommastellen plus zwei Nachkommastellen = vier Nachkommastellen, also \( 0{,}41 \cdot 0{,}37 = 0{,}1517 = 15{,}17\,\% \). Und \( 15{,}17\,\% \neq 22\,\% \).

Typische Falle: „unabhängig" mit „schließt sich aus" verwechseln

Unabhängig (das eine sagt nichts über das andere) ist etwas völlig anderes als unvereinbar / disjunkt (beides kann nicht zugleich eintreten, \( P(A\cap B)=0 \)). Hier gilt \( P(A\cap B)=22\,\% \neq 0 \) — die Ereignisse treten sehr wohl zusammen auf, sind also nicht disjunkt; getestet wird trotzdem die Produktgleichung, nicht „ist der Schnitt null".

Teilaufgabe d) — Warum keine Binomialverteilung, und \( P(\text{genau }2) \)

AB II / AB III

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Warum die Binomialverteilung hier nicht passt. Eine Binomialverteilung verlangt eine Bernoulli-Kette: gleich viele unabhängige Versuche mit konstanter Trefferwahrscheinlichkeit \( p \) — das ist Ziehen mit Zurücklegen. Hier wird aus nur zehn Männern (vier davon ideal) ohne Zurücklegen gezogen. Mit jedem gezogenen Mann ändert sich die Zusammensetzung der Restgruppe, also auch die Wahrscheinlichkeit für „ideal" beim nächsten Zug (\( \tfrac{4}{10}, \tfrac{3}{9}, \ldots \)). Weil \( p \) nicht konstant ist und die Grundmenge klein ist, ist die Binomialverteilung nicht geeignet.

Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei der drei Gezogenen ideal sind. Man arbeitet mit dem Baumdiagramm / der Pfadregel (Ziehen ohne Zurücklegen). Ein passender Pfad ist z. B. „ideal, ideal, nicht ideal":

\[ \frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}\cdot\frac{6}{8}. \]

Die zwei „ideal" und das eine „nicht ideal" können in drei Reihenfolgen auftreten (das „nicht ideal" kann der 1., 2. oder 3. Zug sein). Alle drei Pfade haben dasselbe Produkt, also:

\[ P(\text{genau }2\text{ ideal}) = 3\cdot\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}\cdot\frac{3}{8} = 3\cdot\frac{72}{720} = 3\cdot 0{,}1 = 0{,}3 = 30\,\%. \]

1. Zug 2. Zug 3. Zug Pfad 3/9 6/8 I I N 4/10 0,1 6/9 3/8 I N I 4/10 0,1 4/9 3/8 N I I 6/10 0,1 0,3 I = ideale Größe (4 von 10) N = keine ideale Größe (6 von 10)
Die drei günstigen Pfade für „genau zwei ideal". Jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit \( \tfrac{4}{10}\cdot\tfrac{3}{9}\cdot\tfrac{6}{8}=0{,}1 \); zusammen \( 3\cdot 0{,}1 = 0{,}3 \).
Haltung dahinter: Bernoulli-Kette, Pfadregel und das „mal 3"

Wann ist es eine Binomialverteilung? Die Binomialverteilung beschreibt eine Bernoulli-Kette: ein Versuch wird \( n \)-mal unter exakt gleichen Bedingungen wiederholt, jeder Versuch hat nur „Treffer/kein Treffer", und die Trefferwahrscheinlichkeit \( p \) bleibt bei jedem Versuch gleich. Das passt zum Ziehen mit Zurücklegen (man legt den gezogenen wieder rein, alles bleibt wie vorher) oder zu sehr großen Mengen, bei denen ein einzelner Zug kaum etwas ändert.

Warum hier nicht? Aus zehn Männern (vier ideal) wird ohne Zurücklegen gezogen. Vor dem ersten Zug ist die Idealquote \( \tfrac{4}{10} \). Hat man einen Idealen gezogen, sind nur noch drei von neun ideal: \( \tfrac{3}{9} \). Die Trefferwahrscheinlichkeit wandert von Zug zu Zug — die Bedingung „konstantes \( p \)" ist verletzt, und außerdem hängen die Züge voneinander ab. Also keine Binomialverteilung. (Die richtige Verteilung beim Ziehen ohne Zurücklegen heißt hypergeometrische Verteilung; man muss den Namen hier nicht nennen, aber wissen, dass man mit dem Baum rechnet.)

Pfadregel — entlang multiplizieren. Ein Baumdiagramm zeichnet die Züge nacheinander als Äste. Erste Pfadregel: Entlang eines Pfades multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten. Für „ideal, ideal, nicht ideal":

    1. Zug ideal: \( \tfrac{4}{10} \) (vier Ideale unter zehn).
    1. Zug ideal: \( \tfrac{3}{9} \) (nur noch drei Ideale unter neun Übrigen).
    1. Zug nicht ideal: \( \tfrac{6}{8} \) (alle sechs Nicht-Idealen sind noch da, acht Übrige).

Produkt: \( \tfrac{4}{10}\cdot\tfrac{3}{9}\cdot\tfrac{6}{8} = \tfrac{72}{720} = \tfrac{1}{10} = 0{,}1 \).

Zweite Pfadregel — verschiedene Pfade addieren. „Genau zwei ideal" passiert nicht nur in der Reihenfolge (ideal, ideal, nicht), sondern auch (ideal, nicht, ideal) und (nicht, ideal, ideal). Das sind drei günstige Pfade. Jeder hat — egal in welcher Reihenfolge man dieselben Brüche multipliziert — dasselbe Produkt \( 0{,}1 \). Die drei Pfade addiert ergeben

\[ 3\cdot 0{,}1 = 0{,}3 = 30\,\%. \]

… ganz langsam (mit Zahlen): \( \tfrac{4}{10}\cdot\tfrac{3}{9}\cdot\tfrac{6}{8} \)

Brüche multipliziert man Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

  • Zähler: \( 4\cdot 3\cdot 6 = 12\cdot 6 = 72 \).
  • Nenner: \( 10\cdot 9\cdot 8 = 90\cdot 8 = 720 \).

Also \( \tfrac{72}{720} \). Kürzen mit \( 72 \): \( 72:72 = 1 \), \( 720:72 = 10 \), also \( \tfrac{1}{10} = 0{,}1 \). Mal drei Pfade: \( 3\cdot 0{,}1 = 0{,}3 \). Gegenprobe mit Abzählen (Kombinationen): „2 aus 4 Idealen" \( \cdot \) „1 aus 6 Nicht-Idealen", geteilt durch „3 aus 10": \( \dfrac{\binom{4}{2}\binom{6}{1}}{\binom{10}{3}} = \dfrac{6\cdot 6}{120} = \dfrac{36}{120} = 0{,}3 \). Gleiches Ergebnis.

Typische Falle: trotzdem mit der Binomialformel rechnen

Wer hier blind die Binomialformel \( \binom{3}{2}p^2(1-p) \) mit \( p=\tfrac{4}{10}=0{,}4 \) ansetzt, bekommt \( 3\cdot 0{,}4^2\cdot 0{,}6 = 3\cdot 0{,}16\cdot 0{,}6 = 0{,}288 = 28{,}8\,\% \) — ein falsches Ergebnis. Es weicht von den korrekten \( 30\,\% \) ab, gerade weil sich \( p \) ohne Zurücklegen verändert. Genau deshalb war in der vorigen Teilaufgabe zu begründen, dass die Binomialverteilung nicht taugt.

Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)

Teil 2 — Gespräch (Analysis): Kosten und Einnahmen beim Impfstoff

Input. Gegeben sind der Graph der Funktion \( K \) mit \( K(x) = (x-2)^3 + 10 \) und der Graph einer zweiten Funktion \( E \). Die Kosten (in \( 1000\ \)Euro) bei der Produktion von \( x \) Gramm eines Impfstoffs werden durch \( K \) beschrieben. Die Einnahmen (in \( 1000\ \)Euro) beim Verkauf von \( x \) Gramm werden durch \( E \) beschrieben. Im Schaubild ist \( E \) eine Gerade durch den Ursprung; die von den beiden Graphen eingeschlossene Fläche ist gefärbt.

Im Gespräch denkbare Aspekte: (AB I) einen der zwei Graphen \( K \) zuordnen · Funktionsgleichung von \( E \) · Graph von \( f(x)=x^3 \) skizzieren · Bedeutung eines Wendepunkts an \( K \) erläutern · Wendepunkt von \( K \) bestimmen · Produktionsmenge bei \( 15\,000\,€ \) Kosten. (AB II) Zusammenhang von \( K \) und \( f(x)=x^3 \) · Rechenweg für die Tangente an \( K \) parallel zu \( E \) · Rechenweg für den Inhalt der gefärbten Fläche · Verlauf von \( K \) und \( E \) im Sachzusammenhang · Bedeutung von \( K(0) \) und \( E(0) \) · grafisch die Gewinnzone · Gleichung der Gewinnfunktion. (AB III) grafisch die Menge mit dem größten Gewinn · \( K \) auf Monotonie untersuchen · zwei Aussagen über die Kostenzunahme beurteilen.

Vorab, in einem Satz, worum es geht: \( x \) zählt Gramm produzierten Impfstoff, \( K(x) \) und \( E(x) \) messen Geld in Tausend Euro. Wo die Einnahmen-Gerade \( E \) über der Kosten-Kurve \( K \) liegt, macht man Gewinn, sonst Verlust. Die Werkzeuge zum Ableiten, Untersuchen und Integrieren stehen in Ableit-Handwerk, Funktionsuntersuchung und Stammfunktion & Hauptsatz.

So liegen die beiden Graphen im Koordinatensystem (Reproduktion des Schaubilds):

Kostenkurve \( K(x)=(x-2)^3+10 \) (blau) und Einnahmen-Gerade \( E(x)=5x \) (orange). Schnittpunkte bei \( x=2 \) und \( x=2+\sqrt5\approx 4{,}24 \). Die grüne gestrichelte Gerade ist die Tangente an \( K \) parallel zu \( E \) (Stelle des größten Gewinns, grüner Punkt).

AB I — Zuordnung, Gleichung von \( E \), \( f(x)=x^3 \), Wendepunkt, Produktionsmenge

AB I — Grundkompetenz

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Zuordnen des Graphen von \( K \). \( K(x)=(x-2)^3+10 \) ist die kubische (S-förmige) Kurve, die bei \( K(0)=(-2)^3+10 = -8+10 = 2 \) auf der \( y \)-Achse startet und im Punkt \( (2\mid 10) \) ihren Schwung wechselt. Die Gerade durch den Ursprung kann nicht \( K \) sein (denn \( K(0)=2\neq 0 \)), sie gehört zu \( E \). Also: die geschwungene Kurve ist \( K \), die Gerade ist \( E \).

Funktionsgleichung von \( E \). \( E \) ist eine Gerade durch den Ursprung, hat also die Form \( E(x)=m\cdot x \) (kein \( y \)-Achsenabschnitt, weil sie durch \( (0\mid 0) \) geht). Die Steigung \( m \) liest man an einem zweiten Punkt ab: Die Gerade geht durch \( (2\mid 10) \) — denselben Punkt, in dem auch \( K \) liegt. Also \( m=\tfrac{10}{2}=5 \) und

\[ E(x) = 5x. \]

Graph von \( f(x)=x^3 \) skizzieren. Die einfachste kubische Funktion: Sie geht durch den Ursprung, ist punktsymmetrisch zum Ursprung (links unten, rechts oben), hat dort eine waagerechte Tangente („Sattelpunkt") und steigt nach beiden Seiten immer steiler. Stützpunkte: \( f(1)=1 \), \( f(2)=8 \), \( f(-1)=-1 \), \( f(-2)=-8 \).

Grundfunktion \( f(x)=x^3 \): punktsymmetrisch zum Ursprung, Sattelpunkt bei \( (0\mid 0) \).

Bedeutung eines Wendepunkts an \( K \) erläutern. Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der die Kurve ihre Krümmungsrichtung wechselt — von einer Rechtskurve in eine Linkskurve (oder umgekehrt). Bei \( K \) ist das der Punkt, ab dem die Kurve aufhört, immer flacher zu steigen, und anfängt, wieder steiler zu steigen. Genau dort ist die Steigung am kleinsten (im Sachzusammenhang: die Kosten wachsen dort am langsamsten).

Wendepunkt von \( K \) bestimmen. Man leitet zweimal ab und setzt die zweite Ableitung null:

\[ K'(x) = 3(x-2)^2, \qquad K''(x) = 6(x-2). \] \[ K''(x) = 0 \;\Longrightarrow\; 6(x-2)=0 \;\Longrightarrow\; x = 2. \]

Wegen \( K'''(x)=6\neq 0 \) ist es wirklich ein Wendepunkt. Der \( y \)-Wert: \( K(2) = (2-2)^3+10 = 10 \). Also Wendepunkt \( W(2\mid 10) \). (Man sieht das auch direkt: \( K \) entsteht aus \( x^3 \), dessen Wendepunkt im Ursprung liegt, durch Verschieben um \( 2 \) nach rechts und \( 10 \) nach oben — der Wendepunkt wandert mit nach \( (2\mid 10) \).)

Produktionsmenge bei \( 15\,000\,€ \) Kosten. Kosten in Tausend Euro: \( 15\,000\,€ \) entspricht \( K(x)=15 \). Lösen:

\[ (x-2)^3 + 10 = 15 \;\Longrightarrow\; (x-2)^3 = 5 \;\Longrightarrow\; x-2 = \sqrt[3]{5} \;\Longrightarrow\; x = 2 + \sqrt[3]{5} \approx 3{,}71. \]

Bei Kosten von \( 15\,000\,€ \) werden also rund \( 3{,}71 \) Gramm produziert.

Haltung dahinter: „Gerade durch den Ursprung" und das Ablesen der Steigung

Eine Gerade hat die Form \( y = m x + b \). Dabei ist \( b \) der \( y \)-Achsenabschnitt (wo sie die senkrechte Achse schneidet) und \( m \) die Steigung (wie viel sie pro Schritt nach rechts nach oben geht). „Durch den Ursprung" heißt: Sie schneidet die \( y \)-Achse bei \( 0 \), also \( b=0 \), und es bleibt \( y=mx \).

Die Steigung \( m \) bekommt man aus einem weiteren Punkt: „Höhenunterschied geteilt durch Schrittweite nach rechts". Von \( (0\mid 0) \) nach \( (2\mid 10) \) sind das \( 10 \) hoch auf \( 2 \) nach rechts: \( m = \tfrac{10}{2} = 5 \). Probe an einem dritten Punkt: \( E(4) = 5\cdot 4 = 20 \) — passt zum Schaubild (die Gerade trifft bei \( x=4 \) die Höhe \( 20 \)).

Warum ist \( (x-2)^3+10 \) ein „verschobenes \( x^3 \)"? (mit Zahlen)

Es gibt zwei einfache Eingriffe an einer Funktion:

  • \( x \) durch \( (x-2) \) ersetzen verschiebt den Graphen um \( 2 \) nach rechts. (Klingt verkehrt herum, ist aber so: Damit der Wert herauskommt, den \( x^3 \) bei \( 0 \) hatte, muss man jetzt \( x=2 \) einsetzen — der ganze Graph rückt nach rechts.)
  • \( +10 \) dahinter schiebt alles um \( 10 \) nach oben.

Aus dem Sattelpunkt \( (0\mid 0) \) von \( x^3 \) wird so der Wendepunkt \( (2\mid 10) \) von \( K \). Daher kennt man die Form sofort, ohne viel zu rechnen.

Die dritte Wurzel ganz langsam: \( (x-2)^3 = 5 \)

Die Gleichung \( (x-2)^3 = 5 \) fragt: „Welche Zahl, dreimal mit sich selbst multipliziert, ergibt \( 5 \)?" Das holt die dritte Wurzel \( \sqrt[3]{\;} \) zurück — sie macht das „hoch 3" rückgängig, so wie die normale Wurzel das „hoch 2" rückgängig macht. Also \( x-2 = \sqrt[3]{5} \). Weil \( 1{,}7^3 = 4{,}913 \) und \( 1{,}71^3 \approx 5{,}00 \), ist \( \sqrt[3]{5}\approx 1{,}71 \), und \( x \approx 2 + 1{,}71 = 3{,}71 \). In der hilfsmittelfreien Prüfung genügt die exakte Form \( x = 2+\sqrt[3]{5} \); die Kommazahl ist Nebensache.

AB II — Zusammenhang mit \( x^3 \), Tangente, Fläche, Verlauf, Gewinnfunktion

AB II — Standardanforderung

Lösung Schritt für Schritt anzeigen

Zusammenhang von \( K \) und \( f(x)=x^3 \). \( K \) entsteht aus \( f \) durch Verschieben: \( 2 \) Einheiten nach rechts (wegen \( (x-2) \) statt \( x \)) und \( 10 \) Einheiten nach oben (wegen \( +10 \)). Form und Krümmung sind identisch, nur die Lage ist verschoben:

\[ K(x) = f(x-2) + 10. \]

Rechenweg für die Tangente an \( K \) parallel zu \( E \). „Parallel zu \( E \)" heißt gleiche Steigung wie \( E \), und \( E \) hat die Steigung \( 5 \). Man setzt die Ableitung von \( K \) gleich \( 5 \):

\[ K'(x) = 3(x-2)^2 = 5 \;\Longrightarrow\; (x-2)^2 = \tfrac{5}{3} \;\Longrightarrow\; x = 2 \pm \sqrt{\tfrac{5}{3}} = 2 \pm \tfrac{\sqrt{15}}{3}. \]

Das ergibt zwei Berührstellen \( x \approx 0{,}71 \) und \( x \approx 3{,}29 \). Den \( y \)-Wert bekommt man durch Einsetzen in \( K \), die Tangentengleichung dann aus Punkt und Steigung \( 5 \) per \( y = K(x_0) + 5\,(x-x_0) \). Für die später gefragte größte-Gewinn-Stelle ist die rechte Berührstelle \( x = 2+\tfrac{\sqrt{15}}{3} \approx 3{,}29 \) maßgeblich (im Schaubild die grüne Tangente).

Rechenweg für den Inhalt der gefärbten Fläche. Die Fläche liegt zwischen den Graphen von \( K \) und \( E \). Vorgehen:

  1. Schnittstellen bestimmen (Grenzen): \( K(x)=E(x) \). Mit \( u=x-2 \) wird das einfach: \( (x-2)^3+10 = 5x \Rightarrow u^3+10 = 5(u+2) = 5u+10 \Rightarrow u^3 = 5u \Rightarrow u(u^2-5)=0 \). Also \( u=0 \) oder \( u=\pm\sqrt5 \), d. h. \( x=2 \), \( x=2+\sqrt5\approx 4{,}24 \) (und \( x=2-\sqrt5 \lt 0 \), außerhalb).
  2. Pro Abschnitt feststellen, wer oben liegt: auf \( [0;2] \) liegt \( K \) über \( E \), auf \( [2;\,2+\sqrt5] \) liegt \( E \) über \( K \).
  3. Differenz (oben \( - \) unten) integrieren und die Beträge addieren.

\[ A = \underbrace{\int_0^{2}\big(K(x)-E(x)\big)\,dx}_{K \text{ oben}} + \underbrace{\int_{2}^{2+\sqrt5}\big(E(x)-K(x)\big)\,dx}_{E \text{ oben}}. \]

Mit \( K(x)-E(x) = u^3-5u \) (wieder \( u=x-2 \)) und der Stammfunktion \( \tfrac{u^4}{4}-\tfrac{5u^2}{2} \) ergibt sich der erste Teil zu \( 6 \) und der zweite zu \( \tfrac{25}{4}=6{,}25 \), zusammen

\[ A = 6 + \tfrac{25}{4} = \tfrac{49}{4} = 12{,}25. \]

(Der Aspekt verlangt nur das Erläutern des Rechenwegs; die Schnittstellen plus der Integralausdruck sind die volle Antwort. Die ausgerechneten Werte sind zur Kontrolle ergänzt. Liest man die Färbung nur als die vollständig von beiden Graphen eingeschlossene „Linse" zwischen \( x=2 \) und \( x=2+\sqrt5 \), ist der Inhalt \( \tfrac{25}{4}=6{,}25 \); der Teil von \( x=0 \) bis \( x=2 \) wird links von der \( y \)-Achse begrenzt und steuert \( 6 \) bei.)

Verlauf von \( K \) und \( E \) im Sachzusammenhang. Für kleine Mengen liegen die Kosten über den Einnahmen (\( K \gt E \)) → Verlust. Bei \( x=2\,\text{g} \) schneiden sich beide bei \( 10\,(=10\,000\,€) \) → Gewinnschwelle (Kosten = Einnahmen). Zwischen \( x=2 \) und \( x=2+\sqrt5\approx 4{,}24 \) liegen die Einnahmen über den Kosten (\( E \gt K \)) → Gewinn. Ab \( x\approx 4{,}24\,\text{g} \) überholen die kubisch wachsenden Kosten die Einnahmen wieder → erneut Verlust.

Bedeutung von \( K(0) \) und \( E(0) \). \( K(0)=2 \): Schon ohne Produktion (\( 0 \) Gramm) entstehen Fixkosten von \( 2\,(=2\,000\,€) \). \( E(0)=0 \): Ohne verkauften Impfstoff gibt es keine Einnahmen.

Grafisch die Gewinnzone. Gewinn entsteht, wo die Gerade \( E \) über der Kurve \( K \) liegt — im Schaubild der Bereich, in dem orange über blau verläuft: für \( 2 \lt x \lt 2+\sqrt5 \), also rund zwischen \( 2 \) und \( 4{,}24 \) Gramm.

Gleichung der Gewinnfunktion. Gewinn \( = \) Einnahmen \( - \) Kosten:

\[ G(x) = E(x) - K(x) = 5x - \big((x-2)^3 + 10\big) = -(x-2)^3 + 5x - 10. \]

Ausmultipliziert: \( G(x) = -x^3 + 6x^2 - 7x - 2 \). (Probe: \( G(2) = -8+24-14-2 = 0 \) — an der Gewinnschwelle ist der Gewinn null. ✓)

Gewinnfunktion \( G(x)=5x-(x-2)^3-10 \). Nullstellen (Gewinnschwellen) bei \( x=2 \) und \( x\approx 4{,}24 \); dazwischen ist \( G \gt 0 \) (Gewinn). Größter Gewinn am orangen Hochpunkt bei \( x\approx 3{,}29 \).
Haltung dahinter: Tangente, Fläche zwischen zwei Graphen, Gewinnfunktion

Tangente und „parallel". Eine Tangente ist die Gerade, die sich an einer Stelle perfekt an die Kurve anschmiegt — sie hat dort genau die Steigung der Kurve. Die Steigung einer Kurve an einer Stelle liefert die Ableitung \( K'(x) \). Zwei Geraden sind parallel, wenn sie dieselbe Steigung haben. „Tangente an \( K \) parallel zu \( E \)" heißt deshalb: Finde die Stelle(n), an denen \( K \) dieselbe Steigung wie \( E \) hat — also \( K'(x) = 5 \). Das ist genau die Gleichung oben.

Warum führt das zum größten Gewinn? Der senkrechte Abstand zwischen Gerade und Kurve ist die Differenz \( E(x)-K(x) = G(x) \) — der Gewinn. Dieser Abstand ist dort am größten, wo die Kurve genauso steil verläuft wie die Gerade (dort hört der Abstand auf zu wachsen und beginnt zu schrumpfen). Mathematisch dasselbe: \( G'(x)=E'(x)-K'(x)=5-K'(x)=0 \Leftrightarrow K'(x)=5 \). Tangente parallel zu \( E \) und Maximum von \( G \) sind also dieselbe Bedingung.

Fläche zwischen zwei Graphen. Eine Fläche zwischen zwei Kurven berechnet man als Integral der Differenz „obere Funktion minus untere Funktion". Ein Integral misst Fläche mit Vorzeichen; damit jeder Teil positiv zählt, trennt man an jeder Schnittstelle (dort tauschen oben und unten die Rollen) und nimmt pro Stück die richtige Reihenfolge (oben \( - \) unten), sodass nichts negativ wird. Bild vom Bankkonto: Fläche über der jeweils anderen Kurve sind Einzahlungen, würde man stur durchintegrieren, fräßen sich die Stücke gegenseitig auf — deshalb abschnittsweise mit Beträgen.

Gewinnfunktion. Die Gewinnfunktion \( G \) ist schlicht „Einnahmen minus Kosten", \( G(x)=E(x)-K(x) \). Wo \( G \gt 0 \), übersteigen die Einnahmen die Kosten (Gewinn); wo \( G=0 \), ist die Gewinnschwelle; wo \( G \lt 0 \), Verlust. Deshalb sind die Nullstellen von \( G \) genau die Schnittpunkte von \( K \) und \( E \).

… ganz langsam (mit Zahlen): \( G \) ausmultiplizieren und \( K=E \) lösen

\( (x-2)^3 \) ausmultipliziert: \( (x-2)^3 = x^3 - 3\cdot x^2\cdot 2 + 3\cdot x\cdot 4 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \). Damit

\[ G(x) = 5x - (x^3-6x^2+12x-8) - 10 = 5x - x^3 + 6x^2 - 12x + 8 - 10 = -x^3 + 6x^2 - 7x - 2. \]

Die Schnittstellen werden mit dem Trick \( u=x-2 \) bequem: \( K=E \) wird zu \( u^3 = 5u \), also \( u^3 - 5u = 0 \), ausklammern \( u(u^2-5)=0 \). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist: \( u=0 \) (→ \( x=2 \)) oder \( u^2=5 \), d. h. \( u=\pm\sqrt5 \) (→ \( x=2+\sqrt5\approx 4{,}24 \) und \( x=2-\sqrt5\approx -0{,}24 \), Letzteres ohne Sachbezug, da negative Menge).

Typische Falle: bei der Fläche nicht an den Schnittstellen trennen

Wer \( \int_0^{2+\sqrt5}(K-E)\,dx \) in einem Stück bildet, bekommt nur den „Kontostand": Der Teil, in dem \( E \) oben liegt, zieht den anderen ab. Das ist nicht der Flächeninhalt. Man muss an der Schnittstelle \( x=2 \) trennen und mit der jeweils richtigen Differenz (Beträge) rechnen.

AB III — Größter Gewinn, Monotonie, Aussagen beurteilen

AB III — vertiefte Vernetzung

Lösung / Verfahren anzeigen

Grafisch die Produktionsmenge mit dem größten Gewinn. Der Gewinn \( G(x)=E(x)-K(x) \) ist der senkrechte Abstand zwischen Gerade und Kurve. Er ist dort am größten, wo \( K \) dieselbe Steigung wie \( E \) hat (Tangente an \( K \) parallel zu \( E \)). Rechnerisch \( G'(x)=0 \):

\[ G'(x) = 5 - 3(x-2)^2 = 0 \;\Longrightarrow\; (x-2)^2 = \tfrac{5}{3} \;\Longrightarrow\; x = 2 + \sqrt{\tfrac{5}{3}} = 2 + \tfrac{\sqrt{15}}{3} \approx 3{,}29. \]

(Die Lösung \( x=2-\sqrt{5/3}\approx 0{,}71 \) liegt im Verlustbereich und scheidet aus; \( G''(x)=-6(x-2) \lt 0 \) für \( x \gt 2 \) bestätigt das Maximum.) Der größte Gewinn beträgt \( G(3{,}29) = \tfrac{10\sqrt{15}}{9} \approx 4{,}30 \), also rund \( 4\,300\,€ \) bei etwa \( 3{,}29 \) Gramm Produktion. Grafisch: dort, wo der Abstand zwischen orange und blau am größten ist.

\( K \) auf Monotonie untersuchen. Die Ableitung \( K'(x) = 3(x-2)^2 \) ist ein Quadrat mal eine positive Zahl, also \( K'(x) \ge 0 \) für alle \( x \), mit \( K'(x)=0 \) nur an der einzelnen Stelle \( x=2 \). Damit ist \( K \) auf ganz \( \mathbb{R} \) monoton steigend (streng wachsend, mit einer waagerechten Tangente bei \( x=2 \), einem Sattelpunkt). Bedeutung: Die Kosten steigen immer, wenn man mehr produziert — sie fallen nie. Bei \( x=2 \) wachsen sie nur am langsamsten (die Steigung ist dort momentan null), danach wieder schneller.

Zwei Aussagen beurteilen. Beide Aussagen drehen sich um die Kostenzunahme, also um die Steigung \( K'(x) = 3(x-2)^2 \) — die Kosten je zusätzlich produziertem Gramm.

  • „Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Gramms verursacht." — Diese Aussage ist falsch. Sie behauptet, die Kostenzunahme \( K'(x) \) wachse mit \( x \) immer an. Tatsächlich hat \( K'(x)=3(x-2)^2 \) bei \( x=2 \) ein Minimum: Für \( x \lt 2 \) sinkt die Kostenzunahme (bis \( x=2 \)), erst für \( x \gt 2 \) steigt sie. Für kleine Mengen wird also jedes zusätzliche Gramm billiger, nicht teurer.
  • „Die Zunahme der Kosten wird bis zu einer bestimmten Impfstoffmenge ständig kleiner, ab dieser nimmt sie wieder immer mehr zu." — Diese Aussage ist richtig. Die Kostenzunahme \( K'(x) \) fällt bis \( x=2 \) (wird ständig kleiner), erreicht dort ihr Minimum und wächst danach wieder. Die „bestimmte Menge" ist genau die Wendepunktstelle \( x=2 \) von \( K \).
Haltung dahinter: Monotonie, Steigung der Steigung, und die zwei Aussagen

Monotonie beschreibt, ob ein Graph durchgehend steigt oder fällt. Geprüft wird über das Vorzeichen der Ableitung \( K'(x) \): Ist \( K'(x) \gt 0 \), steigt die Funktion; ist \( K'(x) \lt 0 \), fällt sie. Hier ist \( K'(x)=3(x-2)^2 \) das Dreifache eines Quadrats — ein Quadrat ist nie negativ. Also \( K'(x)\ge 0 \) überall: \( K \) steigt immer. Nur bei \( x=2 \) ist \( K'=0 \), die Kurve legt dort eine waagerechte „Verschnaufpause" ein (Sattelpunkt), steigt aber gleich weiter — kein Hoch- oder Tiefpunkt.

„Kostenzunahme" = Ableitung. „Wie viel kostet das nächste Gramm?" ist die Änderungsrate der Kosten, also \( K'(x) \). Wie sich diese Zunahme selbst verändert (wird sie größer oder kleiner?), verrät die zweite Ableitung \( K''(x)=6(x-2) \): Für \( x \lt 2 \) ist \( K'' \lt 0 \) → die Zunahme schrumpft; für \( x \gt 2 \) ist \( K'' \gt 0 \) → die Zunahme wächst. Der Umschaltpunkt ist genau der Wendepunkt \( x=2 \). Das ist der Kern beider Aussagen.

  • Aussage 1 vergisst den fallenden Ast vor \( x=2 \) und behauptet pauschal „immer teurer" — das gilt erst ab \( x=2 \), also nicht allgemein → falsch.
  • Aussage 2 beschreibt genau dieses Verhalten „erst kleiner werdend, dann wieder größer werdend" mit dem Wendepunkt als Wendemarke → richtig.

So hängen Wendepunkt (AB I), Tangente parallel zu \( E \) (AB II) und diese Beurteilung (AB III) am selben Punkt \( x=2 \) bzw. an derselben Bedingung über \( K' \) zusammen.

… ganz langsam (mit Zahlen): warum jedes Gramm vor \( x=2 \) billiger wird

Vergleiche die Kostenzunahme an drei Stellen über \( K'(x)=3(x-2)^2 \):

  • bei \( x=0 \): \( K'(0) = 3\cdot(-2)^2 = 3\cdot 4 = 12 \),
  • bei \( x=1 \): \( K'(1) = 3\cdot(-1)^2 = 3\cdot 1 = 3 \),
  • bei \( x=2 \): \( K'(2) = 3\cdot 0^2 = 0 \),
  • bei \( x=3 \): \( K'(3) = 3\cdot 1^2 = 3 \),
  • bei \( x=4 \): \( K'(4) = 3\cdot 2^2 = 12 \).

Von \( 12 \) über \( 3 \) auf \( 0 \) fällt die Kostenzunahme bis \( x=2 \) — das nächste Gramm wird immer billiger. Danach von \( 0 \) über \( 3 \) auf \( 12 \) steigt sie wieder. Genau das sagt Aussage 2 (richtig) und widerlegt Aussage 1 (die „immer teurer" behauptet).

Kurz-Spickzettel Teil 2 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
  • Zuordnung/E: \( K \) = geschwungene Kurve (\( K(0)=2 \)), \( E \) = Ursprungsgerade \( E(x)=5x \) (durch \( (2\mid 10) \)).
  • \( f(x)=x^3 \): Ursprung, punktsymmetrisch, Sattelpunkt bei \( 0 \).
  • Wendepunkt \( K \): \( K''=6(x-2)=0 \Rightarrow W(2\mid 10) \).
  • \( 15\,000\,€ \): \( K(x)=15 \Rightarrow x=2+\sqrt[3]{5}\approx 3{,}71 \) Gramm.
  • Zusammenhang: \( K(x)=f(x-2)+10 \) (2 rechts, 10 hoch).
  • Tangente \( \parallel E \): \( K'(x)=5 \Rightarrow x=2\pm\tfrac{\sqrt{15}}{3} \) (\( \approx 0{,}71;\ 3{,}29 \)).
  • Fläche: Schnittstellen \( x=2,\ 2+\sqrt5 \); \( A=\int_0^2(K-E)+\int_2^{2+\sqrt5}(E-K)=6+\tfrac{25}{4}=\tfrac{49}{4} \) (Linse allein \( \tfrac{25}{4} \)).
  • Verlauf: \( K \gt E \) klein → Verlust; Schnitt \( x=2 \) = Gewinnschwelle; \( E \gt K \) bis \( \approx 4{,}24 \) = Gewinn; danach Verlust.
  • \( K(0)=2 \): Fixkosten \( 2\,000\,€ \); \( E(0)=0 \): keine Einnahmen.
  • Gewinnzone: \( 2 \lt x \lt 2+\sqrt5 \) (orange über blau).
  • Gewinnfunktion: \( G(x)=5x-(x-2)^3-10=-x^3+6x^2-7x-2 \).
  • Größter Gewinn: \( x=2+\tfrac{\sqrt{15}}{3}\approx 3{,}29 \), \( G_{\max}=\tfrac{10\sqrt{15}}{9}\approx 4{,}30 \) (\( \approx 4\,300\,€ \)).
  • Monotonie: \( K'(x)=3(x-2)^2\ge 0 \) → überall steigend (Sattelpunkt bei \( x=2 \)).
  • Aussagen: 1 falsch (Zunahme fällt erst bis \( x=2 \)), 2 richtig (Wendemarke \( x=2 \)).

Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)

Hier steht je Teilaufgabe, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.

Leitfaden Teil 1 (Stochastik) aufklappen
Leitfaden Teil 2 (Analysis) aufklappen

Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?

Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen: