Diese Aufgabe ist nah an dem, was dich in der mündlichen Prüfung erwartet. Sie hat drei Teile, die aufeinander aufbauen: erst die Fläche zwischen einem Graphen und der \( x \)-Achse, dann die Fläche zwischen zwei Graphen, und am Ende eine Bestands-Rekonstruktion aus einer Änderungsrate. Alles rechnerfrei — also alles per Hand, ohne Taschenrechner.
So nutzt du die Aufgabe: Lies die Teilaufgabe, rechne zuerst selbst auf einem Blatt, und klappe erst danach die Lösung auf. Achte besonders auf die Haltung-Kästen — dort steht, warum ein Schritt gemacht wird und welche Falle dabei lauert.
Teil A — Fläche zwischen Graph und x-Achse AB I
Gegeben ist die Funktion \( f(x) = 4 - x^2 \). Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von \( f \) mit der \( x \)-Achse einschließt.
Schritt 1 — Wo schneidet der Graph die x-Achse? (Grenzen finden)
Die Fläche „mit der \( x \)-Achse" wird von den Nullstellen begrenzt. Wir setzen also \( f(x) = 0 \):
\[ 4 - x^2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longleftrightarrow\; x = \pm 2. \]
Die Integrationsgrenzen sind damit \( a = -2 \) und \( b = 2 \).
Haltung dahinter: warum erst die Nullstellen?
Ein bestimmtes Integral braucht immer untere und obere Grenze. Wenn nach der Fläche „mit der \( x \)-Achse" gefragt ist, sind das genau die Stellen, an denen der Graph die \( x \)-Achse trifft — sonst wäre gar nicht festgelegt, wie weit wir messen. Typische Falle: einfach von \( 0 \) bis irgendwo zu integrieren, ohne die Nullstellen zu bestimmen.
Schritt 2 — Stammfunktion bilden
Wir suchen ein \( F \) mit \( F'(x) = 4 - x^2 \). Term für Term mit der Potenzregel für Stammfunktionen (Exponent um \( 1 \) erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen):
\[ F(x) = 4x - \tfrac{1}{3}x^3. \]
Haltung dahinter: Probe durch Ableiten
Eine Stammfunktion prüfst du immer durch Rückwärts-Ableiten: \( F'(x) = 4 - \tfrac{1}{3}\cdot 3x^2 = 4 - x^2 = f(x). \) Passt. Typische Falle: das Teilen durch den neuen Exponenten vergessen, also fälschlich \( x^3 \) statt \( \tfrac{1}{3}x^3 \) schreiben.
Schritt 3 — Hauptsatz anwenden und ausrechnen
Nach dem Hauptsatz gilt \( \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \):
\[ \int_{-2}^{2} (4 - x^2)\,dx = F(2) - F(-2). \]
Die Werte einzeln, von Hand:
\[ F(2) = 4\cdot 2 - \tfrac{1}{3}\cdot 2^3 = 8 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{24 - 8}{3} = \tfrac{16}{3}, \]
\[ F(-2) = 4\cdot(-2) - \tfrac{1}{3}\cdot(-2)^3 = -8 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{16}{3}. \]
Also:
\[ F(2) - F(-2) = \tfrac{16}{3} - \left(-\tfrac{16}{3}\right) = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}67. \]
Die eingeschlossene Fläche hat den Inhalt \( \dfrac{32}{3} \) Flächeneinheiten.
Haltung dahinter: Vorzeichen-Falle und Symmetrie-Kontrolle
Hier ist \( f \) auf \( [-2,2] \) durchgehend \( \ge 0 \) (die Parabel ist nach unten geöffnet, Scheitel bei \( (0,4) \)), darum sind Integral und Flächeninhalt gleich. Läge der Graph unter der \( x \)-Achse, wäre das Integral negativ und du müsstest den Betrag nehmen. Schnelle Kontrolle: \( f \) ist achsensymmetrisch zur \( y \)-Achse, also \( \int_{-2}^{2} = 2\int_{0}^{2} \). Und \( 2\cdot(F(2)-F(0)) = 2\cdot\tfrac{16}{3} = \tfrac{32}{3} \). Gleiches Ergebnis — gutes Zeichen.
Teil B — Fläche zwischen zwei Graphen AB II
Gegeben sind \( f(x) = 4 - x^2 \) und die Gerade \( g(x) = x + 2 \). Berechne den Inhalt der Fläche, die die beiden Graphen einschließen.
Schritt 1 — Schnittstellen bestimmen (die Grenzen)
Die Fläche wird dort begrenzt, wo sich beide Graphen treffen, also wo \( f(x) = g(x) \):
\[ 4 - x^2 = x + 2 \;\Longleftrightarrow\; -x^2 - x + 2 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 + x - 2 = 0. \]
Mit Satz von Vieta (zwei Zahlen mit Produkt \( -2 \) und Summe \( -1 \)) faktorisieren wir rechnerfrei:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x = -2 \ \text{oder}\ x = 1. \]
Die Grenzen sind \( a = -2 \) und \( b = 1 \).
Haltung dahinter: warum gleichsetzen und nicht raten
Zwei Graphen schließen genau zwischen ihren Schnittstellen eine Fläche ein — vorher und nachher laufen sie auseinander. Darum ist Gleichsetzen der erste Schritt. Typische Falle: die Gleichung in der Form \( -x^2 - x + 2 = 0 \) stehen lassen; mit negativem führenden Koeffizienten verrechnet man sich leicht. Erst mit \( (-1) \) multiplizieren, dann faktorisieren.
Schritt 2 — Differenzfunktion: oben minus unten
Für die Fläche zwischen zwei Graphen integrieren wir die Differenz „obere minus untere Funktion". Zwischen \( -2 \) und \( 1 \) liegt die Parabel \( f \) über der Geraden \( g \) (prüfe es mit einem Zwischenwert, z. B. \( x = 0 \): \( f(0) = 4 \), \( g(0) = 2 \), also \( f > g \)). Damit:
\[ d(x) = f(x) - g(x) = (4 - x^2) - (x + 2) = -x^2 - x + 2. \]
Haltung dahinter: Reihenfolge oben/unten und der Betrag
Welche Funktion oben liegt, entscheidet das Vorzeichen. Integrierst du „oben minus unten", kommt direkt eine positive Fläche heraus. Typische Falle: die Reihenfolge vertauschen — dann erhältst du genau das negative Ergebnis. Mit einem einzigen Zwischenwert ist die Reihenfolge sicher geklärt, ein Skizzieren genügt.
Schritt 3 — Integrieren und einsetzen
Stammfunktion der Differenz \( d(x) = -x^2 - x + 2 \):
\[ D(x) = -\tfrac{1}{3}x^3 - \tfrac{1}{2}x^2 + 2x. \]
Jetzt die Grenzen einsetzen, jeden Wert sauber als Bruch:
\[ D(1) = -\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{2} + 2 = \tfrac{-2 - 3 + 12}{6} = \tfrac{7}{6}, \]
\[ D(-2) = -\tfrac{1}{3}(-8) - \tfrac{1}{2}(4) + 2(-2) = \tfrac{8}{3} - 2 - 4 = \tfrac{8 - 18}{3} = -\tfrac{10}{3}. \]
Differenz:
\[ \int_{-2}^{1} d(x)\,dx = D(1) - D(-2) = \tfrac{7}{6} - \left(-\tfrac{10}{3}\right) = \tfrac{7}{6} + \tfrac{20}{6} = \tfrac{27}{6} = \tfrac{9}{2} = 4{,}5. \]
Die eingeschlossene Fläche hat den Inhalt \( \dfrac{9}{2} = 4{,}5 \) Flächeneinheiten.
Haltung dahinter: gemeinsamer Nenner statt Dezimalbrüche
Rechnerfrei ist Bruchrechnung dein Freund: Bring alles auf einen gemeinsamen Nenner (\( 6 \) bzw. \( 3 \)), dann ist das Ergebnis exakt. Typische Falle: mit gerundeten Dezimalzahlen rechnen und am Ende einen „krummen" Wert erhalten — in der Prüfung ist der saubere Bruch \( \tfrac{9}{2} \) das, was zählt.
Teil C — Bestand aus einer Änderungsrate AB II
In einen Wassertank fließt Wasser. Die Zuflussrate beträgt \( r(t) = 6 - 2t \) (in Litern pro Minute) für \( t \in [0;\,3] \) Minuten. Zu Beginn (\( t = 0 \)) sind bereits \( 10 \) Liter im Tank.
a) Wie viel Wasser fließt in den ersten \( 3 \)
Minuten insgesamt hinzu?
b) Wie lautet die
Bestandsfunktion \( B(t) \), und wie viel Wasser ist nach
\( 3 \) Minuten im Tank?
Schritt 1 — Was bedeutet „Bestand aus Änderungsrate"?
\( r(t) \) ist eine Rate (Liter pro Minute), also die Ableitung des Bestands. Die zugeflossene Wassermenge bekommen wir, indem wir die Rate über die Zeit aufintegrieren:
\[ \text{Zufluss in } [0; t] = \int_0^t r(s)\,ds. \]
Haltung dahinter: Rate integrieren ⇒ Menge
Eine Rate \( \times \) Zeit ergibt eine Menge — das Integral ist die „unendlich feine" Summe genau dieser kleinen Mengen \( r(s)\,ds \). Typische Falle: die Rate mit dem Bestand verwechseln und \( r(3) \) als Antwort hinschreiben. \( r(3) = 0 \) ist nur die momentane Zuflussrate am Ende, nicht die im Tank befindliche Menge.
Schritt 2 (a) — Gesamtzufluss in 3 Minuten berechnen
\[ \int_0^3 (6 - 2t)\,dt = \big[\,6t - t^2\,\big]_0^3 = (6\cdot 3 - 3^2) - 0 = 18 - 9 = 9. \]
In den ersten \( 3 \) Minuten fließen also \( 9 \) Liter hinzu.
Haltung dahinter: Probe über die Fläche
\( r(t) = 6 - 2t \) ist eine Gerade von \( r(0) = 6 \) bis \( r(3) = 0 \). Die Fläche darunter ist ein Dreieck mit Grundseite \( 3 \) und Höhe \( 6 \), also \( \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6 = 9 \). Gleiches Ergebnis ohne Stammfunktion — eine starke rechnerfreie Kontrolle. Falle: die Dreiecksformel nur anwenden, wenn die Rate wirklich linear ist.
Schritt 3 (b) — Bestandsfunktion aufstellen und auswerten
Der Bestand ist der Anfangswert plus alles, was bis zum Zeitpunkt \( t \) hinzugekommen ist:
\[ B(t) = B(0) + \int_0^t (6 - 2s)\,ds = 10 + \big[\,6s - s^2\,\big]_0^t = 10 + 6t - t^2. \]
Einsetzen von \( t = 3 \):
\[ B(3) = 10 + 6\cdot 3 - 3^2 = 10 + 18 - 9 = 19. \]
Nach \( 3 \) Minuten sind \( 19 \) Liter im Tank.
Haltung dahinter: die Integrationskonstante ist der Anfangsbestand
\( B \) ist eine Stammfunktion von \( r \), und die Konstante legt der Startwert fest: \( B(0) = 10 \). Genau deshalb erscheint die \( 10 \) als fester Summand. Typische Falle: den Anfangsbestand vergessen und nur \( 6t - t^2 \) hinschreiben — das wäre der reine Zufluss, nicht der Bestand.
Noch tiefer: Zusammenhang Rate, Zufluss, Bestand
Es gilt \( B'(t) = r(t) \): die Bestandsfunktion abgeleitet ergibt wieder die Rate (\( B'(t) = 6 - 2t = r(t) \), Probe bestanden). Weil \( r(t) \ge 0 \) auf ganz \( [0;3] \) ist (Wasser fließt nur zu, nie ab), wächst der Bestand durchgehend; sein Maximum auf dem Intervall liegt daher am rechten Rand \( t = 3 \) mit \( 19 \) Litern.
Wie du diese Aufgabe für die Prüfung nutzt
Das mündliche Prüfungsgespräch dreht sich oft weniger um das Endergebnis als um deine Begründung. Übe darum, jeden Teil laut zu erklären:
- In Teil A: „Ich brauche die Nullstellen als Grenzen, weil …"
- In Teil B: „Ich integriere oben minus unten, also \( f - g \), weil …"
- In Teil C: „Die Rate integriere ich, um die Menge zu bekommen; den Startwert \( 10 \) addiere ich, weil …"
Selbsttest: Klappe alle Lösungen zu und rechne die drei Teile auf einem leeren Blatt komplett durch. Wenn du an einer Stelle hängst, schau nur in den passenden Haltung-Kasten und versuche es erneut. Sprich danach eine kurze Sprachnachricht: Welcher Teil ging flüssig, wo hast du nachgeschaut?