In diesem Kapitel geht es um eine einzige große Idee: Flächen unter und zwischen Graphen messen. Du lernst zuerst, was der Wert eines Integrals geometrisch bedeutet (mit Vorzeichen!), und danach, wie du daraus echte Flächeninhalte rechnerfrei bestimmst — auch dann, wenn der Graph mitten im Intervall die x-Achse kreuzt oder du die Fläche zwischen zwei Kurven brauchst.
Eine Sache vorweg: In deiner Prüfung rechnest du das alles von Hand, ohne Taschenrechner. Genau darauf ist dieses Kapitel ausgelegt — alle Zahlen sind so gewählt, dass du sie im Kopf bzw. mit Bruchrechnung sicher erreichst.
Relevanz: Kernthema mündliche Prüfung Basisfach, AB I–II
Worauf wir aufbauen (der Hauptsatz, ganz kurz)
Das Werkzeug, mit dem wir jedes Integral ausrechnen, ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er sagt: Wenn \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist (also \( F'(x)=f(x) \)), dann gilt
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \big[\,F(x)\,\big]_a^b = F(b) - F(a). \]
Mehr brauchst du fürs Rechnen nicht. Wie man Stammfunktionen findet, ist ein eigenes Thema — hier nutzen wir nur die Potenzregel für Stammfunktionen: \( x^n \) wird zu \( \tfrac{1}{n+1}x^{n+1} \).
Potenzregel für Stammfunktionen — kurz nachgewiesen
Behauptung: Eine Stammfunktion von \( f(x)=x^n \) (mit \( n\neq -1 \)) ist \( F(x)=\tfrac{1}{n+1}x^{n+1} \).
Probe durch Ableiten (das ist die Haltung: eine Stammfunktion prüft man immer, indem man sie zurückableitet und schaut, ob \( f \) herauskommt): \[ F'(x) = \tfrac{1}{n+1}\cdot (n+1)\, x^{n} = x^{n} = f(x). \quad\checkmark \]
Warum \( n\neq -1 \)?
Für \( n=-1 \) wäre der Nenner \( n+1 = 0 \) — Division durch null, verboten. Der Fall \( f(x)=\tfrac1x \) braucht deshalb eine andere Stammfunktion (den Logarithmus) und gehört nicht zum Basisfach-Kern.
Relevanz: \( f(x)=\tfrac1x \) und ihre Stammfunktion offiziell Leistungsfach [97 %] — mit Lehrkraft prüfen
Der orientierte Flächeninhalt — was das Vorzeichen bedeutet
Der Wert eines Integrals \( \int_a^b f(x)\,dx \) ist ein orientierter (vorzeichenbehafteter) Flächeninhalt. Das ist der wichtigste Begriff dieses Kapitels:
- Wo der Graph oberhalb der x-Achse liegt (\( f(x)>0 \)), zählt die Fläche positiv (\( + \)).
- Wo der Graph unterhalb der x-Achse liegt (\( f(x)<0 \)), zählt die Fläche negativ (\( - \)).
Das Integral addiert diese vorzeichenbehafteten Stücke. Liegt also gleich viel Fläche ober- wie unterhalb, kann das Integral sogar \( 0 \) werden, obwohl „Fläche da ist". Genau hier passiert der häufigste Fehler — merke dir den Unterschied:
Integralwert = orientierte (vorzeichenbehaftete) Bilanz. Flächeninhalt = immer \( \geq 0 \).
Haltung: Warum überhaupt mit Vorzeichen? Wozu ist das gut?
Das Vorzeichen ist kein Schönheitsfehler, sondern die eigentliche Stärke des Integrals. Es erlaubt, mit Flächen zu rechnen wie mit Zahlen — Stücke addieren, abziehen, verschieben. Eine reine „Fläche \(\geq 0\)" könnte man nicht so flexibel kombinieren. Deshalb ist die Grundgröße der orientierte Flächeninhalt, und den echten Flächeninhalt holen wir uns daraus, indem wir die Vorzeichen bewusst behandeln (s. u.).
Woher kommt das Vorzeichen — Annahme dahinter
Man stellt sich das Integral als Summe vieler schmaler Rechtecke der Breite \( \Delta x \) und der Höhe \( f(x) \) vor. Ist \( f(x)<0 \), ist die „Höhe" negativ, das Rechteck zählt also negativ. Beim Grenzübergang \( \Delta x\to 0 \) bleibt dieses Vorzeichen erhalten. (Diese Summen-Idee ist die Definition des Integrals; wir verwenden sie hier nur als anschauliche Begründung, nicht zum Rechnen.)
Beispiel zum Orientieren: \( f(x)=x \) über \( [-1,\,2] \) AB I
Schau dir den Graphen an: Die Gerade liegt links von \( 0 \) unter der Achse (negativer Beitrag), rechts von \( 0 \) über der Achse (positiver Beitrag).
Wir rechnen den orientierten Wert mit der Stammfunktion \( F(x)=\tfrac12 x^2 \):
\[ \int_{-1}^{2} x\,dx = \Big[\tfrac12 x^2\Big]_{-1}^{2} = \tfrac12\cdot 4 - \tfrac12\cdot 1 = 2 - \tfrac12 = \tfrac32. \]
Das ist die Bilanz: Der positive Teil rechts überwiegt den negativen Teil links um \( \tfrac32 \).
Und der echte Flächeninhalt? (hier schon mal als Vorschau)
Den echten Flächeninhalt bekommen wir, indem wir an der Nullstelle \( x=0 \) trennen und die Beträge addieren: \[ \int_{-1}^{0} x\,dx = \Big[\tfrac12 x^2\Big]_{-1}^{0} = 0 - \tfrac12 = -\tfrac12, \qquad \int_{0}^{2} x\,dx = 2. \] \[ A = \big|{-\tfrac12}\big| + |2| = \tfrac12 + 2 = \tfrac52. \]
Sieh den Unterschied: orientierte Bilanz \( \tfrac32 \), echte Fläche \( \tfrac52 \). Genau dieses Trennen üben wir gleich systematisch.
Fläche zwischen Graph und x-Achse — der Standardfall
Liegt der Graph im ganzen Intervall auf einer Seite der x-Achse, ist es einfach:
- Graph komplett oberhalb: Fläche \( = \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx \) (Wert ist schon positiv).
- Graph komplett unterhalb: Fläche \( = \displaystyle\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| = -\int_a^b f(x)\,dx \).
Der entscheidende Schritt — und die typische Falle — kommt, wenn der Graph die x-Achse im Intervall kreuzt. Dann hat das Integral teils positive, teils negative Beiträge, die sich gegenseitig wegkürzen. Das darf bei einer Flächenaufgabe nicht passieren.
Rezept bei Vorzeichenwechsel: Nullstellen im Intervall bestimmen → an jeder Nullstelle das Integral trennen → von jedem Teilintegral den Betrag nehmen → die Beträge addieren.
Haltung: Warum nicht einfach „ein Integral über alles"?
Weil das Integral die Stücke mit ihrem Vorzeichen verrechnet. Ein Teil unter der Achse (negativ) würde einen Teil über der Achse (positiv) auffressen — du bekämest die Bilanz, nicht die Fläche. Die Fläche will aber jedes Stück positiv zählen. Deshalb: erst trennen, dann jedes Stück positiv machen, dann addieren. Das ist die wichtigste Routine dieses Kapitels.
Beispiel mit Vorzeichenwechsel: \( f(x)=x^2-1 \) über \( [0,\,2] \) AB II
Der Graph (eine nach oben geöffnete Parabel, um \( 1 \) nach unten verschoben) hat im Intervall die Nullstelle \( x=1 \): links davon liegt er unter der Achse, rechts davon über der Achse.
Schritt 1 — Nullstellen im Intervall finden. AB I
\[ x^2 - 1 = 0 \;\Longleftrightarrow\; x^2 = 1 \;\Longleftrightarrow\; x = \pm 1. \] Im Intervall \( [0,2] \) liegt nur \( x=1 \). Dort trennen wir.
Haltung: Warum zuerst die Nullstellen?
Die Nullstellen sind genau die Stellen, an denen der Graph die Seite wechselt — wo also aus „\(+\)" ein „\(-\)" wird (oder umgekehrt). Nur dort muss getrennt werden. Findest du sie nicht, übersiehst du den Vorzeichenwechsel und rechnest die falsche (zu kleine) Fläche. Erst die Nullstellen, dann alles andere — das ist die feste Reihenfolge.
Schritt 2 — Stammfunktion und Teilintegrale. AB II
Stammfunktion: \( F(x) = \tfrac{1}{3}x^3 - x \) (Potenzregel; \( \int 1\,dx = x \)).
Teilintegral links (\( [0,1] \), erwartet negativ, weil unter der Achse): \[ \int_0^1 (x^2-1)\,dx = \Big[\tfrac{1}{3}x^3 - x\Big]_0^1 = \big(\tfrac13 - 1\big) - 0 = -\tfrac{2}{3}. \]
Teilintegral rechts (\( [1,2] \), erwartet positiv): \[ \int_1^2 (x^2-1)\,dx = \Big[\tfrac{1}{3}x^3 - x\Big]_1^2 = \big(\tfrac{8}{3} - 2\big) - \big(\tfrac13 - 1\big) = \tfrac{2}{3} - \big(-\tfrac{2}{3}\big) = \tfrac{4}{3}. \]
Die Bruchrechnung der rechten Grenze Schritt für Schritt
Oben \( F(2) = \tfrac{1}{3}\cdot 8 - 2 = \tfrac{8}{3} - \tfrac{6}{3} = \tfrac{2}{3} \). Unten \( F(1) = \tfrac{1}{3} - 1 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{3}{3} = -\tfrac{2}{3} \). Differenz \( F(2)-F(1) = \tfrac{2}{3} - \big(-\tfrac{2}{3}\big) = \tfrac{2}{3} + \tfrac{2}{3} = \tfrac{4}{3} \). Vorzeichen positiv — passt zur Lage über der Achse. Das ist der Plausibilitäts-Check: Stimmt das Vorzeichen des Teilintegrals mit der Lage im Bild überein?
Schritt 3 — Beträge nehmen und addieren. AB II
\[ A = \Big|{-\tfrac{2}{3}}\Big| + \Big|\tfrac{4}{3}\Big| = \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{6}{3} = 2. \]
Der gesuchte Flächeninhalt ist \( A = 2 \).
Gegenprobe: Was hätte „ein Integral über alles" geliefert — und warum ist das falsch?
\[ \int_0^2 (x^2-1)\,dx = \Big[\tfrac{1}{3}x^3 - x\Big]_0^2 = \tfrac{8}{3} - 2 = \tfrac{2}{3}. \] Das ist die orientierte Bilanz \( \tfrac23 \) — viel kleiner als die echte Fläche \( 2 \), weil sich der negative Teil \( -\tfrac23 \) und ein Teil des positiven \( \tfrac43 \) gegenseitig aufgehoben haben (\( -\tfrac23 + \tfrac43 = \tfrac23 \)). Genau diesen Fehler vermeidest du, indem du an der Nullstelle trennst und Beträge addierst.
Fläche zwischen zwei Graphen
Oft ist nicht die Fläche zur x-Achse gesucht, sondern die eingeschlossene Fläche zwischen zwei Kurven. Die Idee ist dieselbe wie eben — nur misst du die Höhe der Fläche jetzt nicht von der Achse zur Kurve, sondern von der unteren zur oberen Kurve:
\[ A = \int_a^b \big(\,\text{obere Funktion} - \text{untere Funktion}\,\big)\,dx. \]
Dabei sind \( a \) und \( b \) die Schnittstellen der beiden Graphen.
Haltung: Warum „oben minus unten" — und warum darf man die Achse dabei vergessen?
Stell dir an jeder Stelle \( x \) einen senkrechten Strich von der unteren bis zur oberen Kurve vor. Seine Länge ist \( \text{oben}(x) - \text{unten}(x) \) — und das ist immer \( \geq 0 \), solange „oben" wirklich oben liegt. Aufsummiert über alle \( x \) ergibt das die Fläche. Ob beide Kurven über, unter oder quer zur x-Achse liegen, spielt dabei keine Rolle: Eine gemeinsame Verschiebung nach oben/unten verändert beide gleich und fällt in der Differenz heraus.
Das Wegfallen der Verschiebung — gezeigt
Verschiebt man beide um denselben Wert \( c \) nach oben, wird aus der Differenz \[ (\text{oben}+c) - (\text{unten}+c) = \text{oben} - \text{unten}. \] Das \( +c \) kürzt sich weg. Deshalb darfst du die Achsenlage ignorieren — solange sich die Kurven im Intervall nicht überholen. Tun sie das (zusätzliche Schnittstellen dazwischen), trennst du dort genauso wie bei den Nullstellen oben.
Beispiel: Fläche zwischen \( g(x)=x \) und \( f(x)=x^2 \) AB II
Schritt 1 — Schnittstellen bestimmen. AB I
Gleichsetzen: \[ x = x^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - x = 0 \;\Longleftrightarrow\; x(x-1)=0 \;\Longrightarrow\; x=0 \ \text{oder}\ x=1. \] Die Integrationsgrenzen sind also \( a=0 \) und \( b=1 \).
Haltung: Warum durch Ausklammern statt mit der p-q-Formel?
Steht bei einer quadratischen Gleichung kein konstantes Glied (hier \( x^2 - x = 0 \)), ist \( x \) in jedem Term enthalten — dann ausklammern: \( x(x-1)=0 \). Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist (Satz vom Nullprodukt). Das ist rechnerfrei schneller und sicherer als die p-q-Formel. Faustregel: fehlt das absolute Glied, immer erst ausklammern.
Schritt 2 — Wer ist oben? AB II
Auf \( (0,1) \), z. B. bei \( x=\tfrac12 \): \( g(\tfrac12)=\tfrac12 \) und \( f(\tfrac12)=\tfrac14 \). Wegen \( \tfrac12 > \tfrac14 \) liegt \( g \) oben, \( f \) unten. Also rechnen wir \( g - f \).
Haltung: die Testeinsetzung — eine Zahl genügt
Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Schnittstellen kann sich die Reihenfolge „oben/unten" nicht ändern (sonst gäbe es dazwischen eine weitere Schnittstelle). Deshalb reicht ein Testpunkt im Inneren, um zu entscheiden, wer oben liegt. Verlässt du dich nur aufs Bild, ist die Testeinsetzung die saubere Absicherung — und sie schützt dich vor dem Vorzeichenfehler, falls du „oben" und „unten" vertauschst.
Schritt 3 — Integrieren. AB II
\[ A = \int_0^1 \big(x - x^2\big)\,dx = \Big[\tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{3}x^3\Big]_0^1 = \Big(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\Big) - 0. \]
\[ \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3} = \tfrac{3}{6} - \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{6}. \qquad\Longrightarrow\qquad A = \tfrac{1}{6}. \]
Die eingeschlossene Fläche beträgt \( \tfrac{1}{6} \).
Plausibilitäts-Check: Kann das stimmen?
Die Fläche liegt im Einheitsquadrat \( [0,1]\times[0,1] \) (Flächeninhalt \( 1 \)) und ist nur die schmale Sichel zwischen Gerade und Parabel. Ein Ergebnis von \( \tfrac16 \approx 0{,}17 \), also rund ein Sechstel des Quadrats, ist von der Größenordnung her stimmig. So einen schnellen „passt die Größenordnung?"-Blick solltest du dir am Ende jeder Flächenaufgabe angewöhnen.
Die Schritt-für-Schritt-Routine (zum Auswendig-Vortragen)
Wenn dich die Prüferin nach einer Fläche fragt, hast du immer denselben Fahrplan — sag ihn ruhig laut mit:
- Skizze/Lage klären: Liegt der Graph über oder unter der Achse? (Bzw. bei zwei Graphen: wer ist oben?)
- Grenzen finden: Nullstellen (Fläche zur Achse) bzw. Schnittstellen (zwei Graphen) berechnen.
- Trennen, wo es nötig ist: an jeder Nullstelle/Schnittstelle im Inneren das Integral aufteilen.
- Stammfunktion bilden und die Teilintegrale mit \( F(b)-F(a) \) ausrechnen.
- Beträge nehmen (Fläche zur Achse) bzw. oben − unten (zwei Graphen) und addieren.
- Plausibilität prüfen: Vorzeichen passt zur Lage, Größenordnung passt zur Skizze.
Die zwei Fallen, die am meisten Punkte kosten
- Vorzeichenwechsel übersehen. „Ein Integral über alles" bei einem Graphen, der die Achse kreuzt, liefert die Bilanz, nicht die Fläche. Immer an den Nullstellen trennen und Beträge addieren.
- „oben − unten" vertauscht. Bei zwei Graphen führt die falsche Reihenfolge zu einem negativen Ergebnis. Eine Fläche ist nie negativ — ein negatives Resultat ist dein Signal, oben/unten zu tauschen (oder den Betrag zu nehmen).