Ganz langsam, ohne Vorwissen.

Punkt und Ortsvektor. Ein Punkt ist ein Ort im Raum, festgelegt durch drei Zahlen \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \). Den Ortsvektor \( \overrightarrow{OA} \) kann man sich als Pfeil vom Ursprung \( O(0|0|0) \) zum Punkt \( A \) vorstellen; seine drei Zahlen sind genau die Koordinaten von \( A \). Rechnen tut man mit den drei Zahlen einzeln (Zeile für Zeile).

Mittelpunkt = Durchschnitt zweier Orte. Der Punkt genau zwischen zwei Orten liegt bei ihrem Durchschnitt: addieren und durch zwei teilen. Bei einer einzelnen Zahl ist der Wert zwischen \( 2 \) und \( 0 \) genau \( \tfrac{2+0}{2}=1 \). Im Raum macht man das einfach für alle drei Koordinaten gleichzeitig.

Das ist der Kern dieser Aufgabe, deshalb wirklich Stück für Stück.

Was heißt „spiegelbildlich bezüglich \( E \)"? Stell dir \( E \) als senkrechten Spiegel vor. Spiegelt man Punkt \( A \) daran, landet er bei \( B \). Bei einem Spiegel gilt immer zweierlei: (1) Der Spiegel steht senkrecht auf der Verbindungslinie zwischen Original und Spiegelbild. (2) Der Spiegel schneidet diese Linie genau in der Mitte (Original und Bild sind gleich weit vom Spiegel entfernt). Genau diese beiden Tatsachen liefern uns alles, was wir brauchen.

Vektor \( \overrightarrow{AB} \) als „Ziel minus Start". Den Pfeil von \( A \) nach \( B \) rechnet man als \( B - A \), Zeile für Zeile. Aus Punkt 1 oben (Spiegel senkrecht zur Verbindung) folgt: dieser Pfeil steht senkrecht auf \( E \) — er ist ein Normalenvektor (ein Pfeil, der wie ein Fahnenmast senkrecht aus der Ebene ragt).

Was bringt der Normalenvektor? Eine Koordinatengleichung einer Ebene hat die Form \( n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d \). Das Schöne: Die drei Zahlen des Normalenvektors sind genau die Koeffizienten \( n_1, n_2, n_3 \) vor den \( x \). Kennt man den Normalenvektor, ist die linke Seite fertig — es fehlt nur noch die einzelne Zahl \( d \) auf der rechten Seite.

Warum darf man durch \( -2 \) teilen? Ein Normalenvektor zeigt nur eine Richtung an; seine Länge ist egal. \( (-2,-2,8) \) und \( (1,1,-4) \) zeigen in dieselbe Richtung (alle Zahlen durch \( -2 \) geteilt). Die kürzeren Zahlen rechnen sich angenehmer.

Das verwirrt oft, deshalb langsam.

Im Raum braucht man drei Koordinaten. Eine Gleichung mit \( x_1, x_2, x_3 \) schränkt die erlaubten Punkte ein. Eine einzige Gleichung lässt noch eine ganze Fläche zu (eine Ebene), erst zwei Gleichungen zusammen ergeben eine Linie (Gerade).

Warum die Ebene hier „steht". In \( 2x_1 + x_2 = 4 \) fehlt \( x_3 \). Über jedem Punkt der Bodenlinie \( 2x_1+x_2=4 \) ist also jede Höhe \( x_3 \) erlaubt. Stapelt man alle diese Höhen übereinander, entsteht eine senkrechte Wand. Bild: ein Bauzaun, der einer Linie auf dem Boden folgt und beliebig hoch sein darf.

Spurpunkt = wo die Ebene eine Achse durchstößt. Setzt man zwei der drei Koordinaten null, landet man auf einer Achse; die Gleichung verrät dann den dritten Wert. So findet man \( S_1 \) und \( S_2 \) mit ganz wenig Rechnung.

Ohne Vorwissen, Schritt für Schritt.

Skalarprodukt. Zwei Vektoren \( \vec u, \vec v \) kann man auf eine bestimmte Weise „multiplizieren": man multipliziert sie zeilenweise und addiert die drei Produkte zu einer einzigen Zahl: \( \vec u\cdot\vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \). Diese Zahl misst, wie sehr die beiden Pfeile in dieselbe Richtung zeigen.

Länge eines Vektors. Die Länge \( |\vec u| \) ist \( \sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} \) — der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen (alle Komponenten quadrieren, addieren, Wurzel ziehen).

Die Winkelformel. Es gilt \( \vec u\cdot\vec v = |\vec u|\,|\vec v|\cos\varphi \), wobei \( \varphi \) der Winkel zwischen den Pfeilen ist. Stellt man nach \( \cos\varphi \) um, erhält man die Formel oben. Den Betrag \( |\dots| \) im Zähler setzt man, damit immer der spitze Winkel herauskommt (ein Winkel zwischen Flächen wird üblicherweise als spitzer Winkel angegeben).

Warum gerade die Normalenvektoren? Der Winkel zwischen zwei Wänden ist derselbe wie der Winkel zwischen ihren beiden „Fahnenmasten" (Normalenvektoren). Das ist bequemer, als die Flächen selbst abzumessen. Den Rechenweg fürs Skalarprodukt findest du im Werkzeugkasten Geometrie.

Beide Ebenen sind „senkrecht". \( F \) enthält kein \( x_3 \), die \( x_1x_3 \)-Ebene auch nicht in dem Sinne, dass sie die \( x_3 \)-Richtung enthält — beide laufen parallel zur \( x_3 \)-Achse, stehen also lotrecht über dem Boden. Schaut man von oben (entlang \( x_3 \)) auf den Boden, schrumpft jede solche Wand zu einer Linie (ihrer Spur). Der Winkel zwischen den beiden Wänden ist dann genau der Winkel zwischen ihren beiden Bodenlinien — das ist das obere Bild.

Spur von \( F \): die Linie \( 2x_1 + x_2 = 4 \) durch \( S_1(2|0) \) und \( S_2(0|4) \). Spur der \( x_1x_3 \)-Ebene: die \( x_1 \)-Achse selbst (dort ist \( x_2 = 0 \)). Der Winkel zwischen diesen beiden Linien ist \( \arctan 2 \approx 63{,}4^\circ \) — derselbe Wert wie über das Skalarprodukt (\( \arccos\tfrac{1}{\sqrt5} \)). Zwei Wege, dasselbe Ergebnis.

Warum \( a=\pm1 \) genau \( 45^\circ \) gibt. Die Spur \( a x_1 + x_2 = 4 \) trifft die \( x_1 \)-Achse bei \( \tfrac{4}{a} \) und die \( x_2 \)-Achse bei \( 4 \). Ein \( 45^\circ \)-Winkel zur \( x_1 \)-Achse entsteht genau dann, wenn diese beiden Spurpunkte gleich weit vom Ursprung entfernt sind (gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck): \( \left|\tfrac{4}{a}\right| = 4 \), also \( |a| = 1 \), \( a = \pm 1 \). Das passt zur Rechnung in Schritt 3.

Schritt für Schritt.

Parabel. Der Graph einer Funktion mit einem \( x^2 \) ist eine Parabel — eine symmetrische U-Form. Das Vorzeichen vor dem \( x^2 \) entscheidet über die Öffnung: plus öffnet nach oben (Tal), minus nach unten (Hügel). Hier steht \( -\tfrac12 x^2 \), also ein Minus → die Parabel öffnet nach unten, sie ist ein „Hügel" mit Spitze oben.

Der Faktor \( \tfrac12 \). Eine Standardparabel wäre \( x^2 \). Der Faktor \( \tfrac12 \lt 1 \) drückt alle Werte auf die Hälfte — die Parabel wird flacher / breiter. Die \( +8 \) am Anfang schiebt den ganzen Hügel um \( 8 \) nach oben, deshalb sitzt der Scheitel bei Höhe \( 8 \).

Nullstelle. Eine Stelle, an der der Graph die \( x \)-Achse trifft (Funktionswert \( 0 \)). Hier: Wo berührt die Stollenwand den Boden? Bei \( x = \pm 4 \).

Ableitung = Steigung. Die Ableitung \( f'(x) \) gibt an jeder Stelle an, wie steil der Graph dort ansteigt oder abfällt. Eine positive Zahl heißt „bergauf", eine negative „bergab", \( 0 \) heißt „waagerecht". Für \( f(x) = 8 - \tfrac12 x^2 \) ist die Ableitung \( f'(x) = -x \) (die Rechenregeln dazu stehen im Ableit-Handwerk).

Steigung → Winkel mit dem Tangens. Eine Steigung von \( 4 \) bedeutet: \( 4 \) Schritte hoch je \( 1 \) Schritt zur Seite. Der Tangens verbindet diesen „Höhe pro Breite"-Wert mit einem Winkel: \( \tan(\text{Winkel}) = \tfrac{\text{Höhe}}{\text{Breite}} = \tfrac{4}{1} = 4 \). Den Winkel selbst holt die Umkehrung \( \arctan \) (Taste „\( \tan^{-1} \)") zurück: \( \arctan 4 \approx 76^\circ \). Steiler geht es bei dieser Parabel nicht — \( 76^\circ \) ist schon recht nah an einer senkrechten Wand (\( 90^\circ \)).

Zwei Werkzeuge, die man am Graphen „ablesen" kann, ohne ihn zu sehen.

Erste Ableitung \( f' \) — die Steigung. Wo \( f' \gt 0 \), geht es bergauf; wo \( f' \lt 0 \), bergab; wo \( f' = 0 \), ist eine waagerechte Stelle (möglicher Gipfel oder Talboden). Hier: \( f'(x) = -x \) ist für negative \( x \) positiv (steigt) und für positive \( x \) negativ (fällt) — typischer Hügel.

Zweite Ableitung \( f'' \) — die Krümmung. \( f'' \) misst, ob sich der Graph nach oben oder unten wölbt. \( f'' \lt 0 \) heißt „nach unten gewölbt" (Kuppel, wie ein umgedrehter Eimer); \( f'' \gt 0 \) heißt „nach oben gewölbt" (Schüssel). An einer waagerechten Stelle entscheidet das Vorzeichen von \( f'' \): \( f'' \lt 0 \) → Hochpunkt. Hier ist \( f''(x) = -1 \) immer negativ → reine Kuppel, keine Wendestelle, einziger Hochpunkt am Scheitel. (Mehr zu diesem Ablesen: Funktionsuntersuchung.)

Langsam von vorn.

Integral = Fläche unter dem Graphen. Das Integral \( \int_a^b f(x)\,dx \) rechnet die Fläche zwischen dem Graphen und der \( x \)-Achse zwischen den senkrechten Grenzen \( a \) und \( b \) zusammen — man stellt sich unendlich viele hauchdünne senkrechte Streifen vor, alle aufaddiert.

Stammfunktion. Um ein Integral auszurechnen, braucht man eine Stammfunktion \( F \): eine Funktion, deren Ableitung wieder \( f \) ergibt (\( F' = f \)). Das ist „Ableiten rückwärts". Aus \( 8 \) wird beim Aufleiten \( 8x \); aus \( -\tfrac12 x^2 \) wird \( -\tfrac12\cdot\tfrac{x^3}{3} = -\tfrac16 x^3 \). Probe durch Ableiten führt zurück zu \( f \). (Regeln: Stammfunktion & Hauptsatz.)

Hauptsatz. Den Flächenwert bekommt man als \( F(\text{obere Grenze}) - F(\text{untere Grenze}) \).

Warum Fläche \( \times \) Länge? Der Stollen ist ein „Prisma": überall derselbe Querschnitt, nur \( 50\,\text{m} \) lang in die Tiefe gezogen. Solch ein Körper hat das Volumen \( \text{Querschnittsfläche} \times \text{Länge} \) — wie ein Stapel von \( 50 \) gleichen \( 1\,\text{m} \)-Scheiben.

Der gefährliche Reflex wäre: „voller Stollen ergab \( 2133\,\text{m}^3 \), bei \( 3{,}5 \) von \( 8 \) Metern sind es eben \( \tfrac{3{,}5}{8} \) davon." Das ist falsch, weil der Stollen unten breiter ist als oben — die unteren Schichten fassen mehr Wasser pro Höhenmeter.

So sieht die Wasserfläche wirklich aus. Unten füllt das Wasser den ganzen Boden. Für \( |x| \le 3 \) reicht es bis zur waagerechten Oberfläche \( y = 3{,}5 \) (die Decke ist dort höher). Für \( 3 \le |x| \le 4 \) ist die Wand bereits niedriger als \( 3{,}5 \), dort begrenzt die Wand das Wasser. Bequemer rechnet man deshalb: ganze Querschnittsfläche minus dem leeren Bogen oben. Der leere Bogen ist die Fläche zwischen Decke und Wasserspiegel, \( \int_{-3}^{3}(f(x)-3{,}5)\,dx = 18 \).

Das Quadrat soll in den Stollen passen. Ein Würfel, der auf einer Fläche steht, zeigt im Querschnitt ein Quadrat der Seite \( s \): Breite \( s \), Höhe \( s \). Mittig gestellt reicht es von \( x=-\tfrac{s}{2} \) bis \( x=\tfrac{s}{2} \) und von \( y=0 \) bis \( y=s \).

Die obere Ecke ist der Engpass. Weil die Decke eine nach unten gewölbte Kuppel ist und in der Mitte am höchsten, stoßen zuerst die oberen äußeren Ecken an. Diese Ecken liegen bei \( \big(\tfrac{s}{2}\,\big|\,s\big) \). Damit sie unter der Decke bleiben, muss die Decke dort mindestens so hoch sein wie die Ecke: \( f\!\big(\tfrac{s}{2}\big) \ge s \). Der größte Würfel berührt die Decke genau — Gleichheit.

Warum mittig? Schiebt man den Würfel zur Seite, kommt eine obere Ecke näher an die niedrigere Wand und stößt früher an. Mittig ist der meiste Platz da. Aus Gleichheit wird eine quadratische Gleichung.