Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Geometrie, Teil 2 (Gespräch) aus der Analysis. Teil 1 wird rechnerfrei gelöst; in Teil 2 braucht man an einer einzigen Stelle den Taschenrechner (das wird dort ausdrücklich gesagt), der Rest geht auch im Kopf. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
Werkzeug zum Nachschlagen: Die wiederkehrenden Vektor- und Geometrie-Werkzeuge (Punkte, Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Geraden- und Ebenengleichung, Abstand) stehen kompakt im Werkzeugkasten Geometrie (u. a. Anker #skalarprodukt und #kreuzprodukt). Die Analysis-Werkzeuge findest du in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Funktionsuntersuchung, Integral-Grundlagen, Stammfunktion & Hauptsatz und Grenzwerte & Randverhalten.
Teil 1 — Vortrag (Geometrie): Lage von Gerade und Ebene
Gegeben sind die Gerade \( g:\ \vec x = \begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix} \) (\( t\in\mathbb{R} \)) und die Ebene \( E:\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 1 \).
a) Beschreibe, welche gegenseitige Lage eine Ebene und eine Gerade im Raum haben können und wie man diese Lage bestimmt.
b) Zeige, dass \( g \) und \( E \) parallel sind. Die Gerade \( h \) schneidet \( g \) orthogonal im Punkt \( P(2\,|\,0\,|\,2) \) und verläuft parallel zur Ebene \( E \). Bestimme eine Gleichung der Geraden \( h \).
c) Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der von \( E \) den Abstand \( 3\sqrt{21} \) hat.
d) Von allen Geraden, die in der Ebene \( E \) liegen und parallel zu \( g \) verlaufen, ist die Gerade \( j \) diejenige mit dem geringsten Abstand zur Geraden \( g \). Beschreibe ein Verfahren, mit dem man eine Gleichung der Geraden \( j \) bestimmen kann.
Vorab, in zwei Sätzen, die beiden Schreibweisen: Eine Gerade in Parameterform \( \vec x = \vec p + t\,\vec v \) ist „starte beim Stützpunkt \( \vec p \) und laufe in Richtung des Pfeils \( \vec v \) — für jedes \( t \) landest du auf einem anderen Punkt der Geraden". Hier ist der Stützpunkt \( P(2|0|2) \) und der Richtungsvektor \( \vec v=(2|1|1) \). Eine Ebene in Koordinatenform \( n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \) ist eine Bedingung, die genau die Punkte der Ebene erfüllen; die drei Zahlen \( (n_1|n_2|n_3) \) bilden den Normalenvektor — den Pfeil, der senkrecht auf der Ebene steht. Alle Vektor-Werkzeuge stehen im Werkzeugkasten Geometrie.
Teilaufgabe a) — Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Eine Gerade und eine Ebene im Raum haben genau drei mögliche Lagen:
- Die Gerade liegt in der Ebene (\( g\subset E \)) — jeder Punkt der Geraden gehört zur Ebene.
- Die Gerade ist echt parallel zur Ebene — sie hat keinen gemeinsamen Punkt mit der Ebene.
- Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt (dem Durchstoßpunkt).
Wie man die Lage bestimmt. Man setzt die Geradengleichung in die Koordinatengleichung der Ebene ein und löst nach dem Parameter \( t \) auf. Drei Fälle:
- Keine Lösung (eine falsche Aussage wie „\( -6=1 \)") → die Gerade ist echt parallel.
- Genau eine Lösung für \( t \) → es gibt einen Schnittpunkt; \( t \) eingesetzt liefert ihn.
- Unendlich viele Lösungen (eine immer wahre Aussage wie „\( 0=0 \)") → die Gerade liegt in der Ebene.
Haltung dahinter: Was ist eine Ebene, was eine Gerade, und warum entscheidet das Einsetzen über die Lage? (ganz von vorn)
Langsam und ohne Vorwissen.
Punkt im Raum. Ein Ort im Raum wird durch drei Zahlen \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \) beschrieben: rechts/links, vorne/hinten, oben/unten. Drei Zahlen, weil der Raum drei Richtungen hat.
Gerade. Eine Gerade ist eine unendlich lange, schnurgerade Linie. Die Parameterform \( \vec x=\vec p+t\,\vec v \) ist eine Lauf-Vorschrift: Du stehst beim Stützpunkt \( \vec p \) und gehst Schritte in Richtung \( \vec v \). Wie viele Schritte, sagt die Zahl \( t \) — bei \( t=0 \) bist du bei \( \vec p \), bei \( t=1 \) einen Pfeil weiter, bei \( t=-2 \) zwei Pfeile rückwärts. Jeder Wert von \( t \) ergibt einen anderen Punkt der Geraden.
Ebene. Eine Ebene ist eine vollkommen flache, unendlich ausgedehnte Fläche (wie eine unendliche Tischplatte). Die Koordinatenform \( n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \) ist eine Eintrittskarte: Setzt man die drei Koordinaten eines Punktes ein und die Gleichung stimmt, liegt der Punkt auf der Ebene; stimmt sie nicht, liegt er daneben.
Warum klärt Einsetzen die Lage? Die Punkte der Geraden sind \( \vec p+t\,\vec v \) — alle auf einmal, durch den einen Buchstaben \( t \) beschrieben. Setzt man diese in die Eintrittskarte der Ebene ein, entsteht eine Gleichung in \( t \): Sie fragt „für welche Schrittzahl \( t \) liegt der Geradenpunkt auf der Ebene?".
- Findet man kein passendes \( t \) (Widerspruch) → kein Punkt der Geraden trifft die Ebene → echt parallel.
- Findet man ein \( t \) → genau dieser eine Punkt trifft → Schnittpunkt.
- Stimmt die Gleichung für jedes \( t \) → jeder Geradenpunkt liegt auf der Ebene → Gerade liegt in der Ebene.
Typische Falle: „parallel" mit „liegt drin" verwechseln
„Parallel" ist der Oberbegriff für „die Gerade läuft mit der Ebene mit, ohne sie zu durchstoßen" — das trifft auf zwei Fälle zu: echt parallel (kein Treffer) und Gerade liegt in der Ebene (immer Treffer). Beim Einsetzen unterscheidet man sie am Ergebnis: Widerspruch = echt parallel, immer-wahr = liegt drin. Wer nur „parallel" sagt, hat die halbe Antwort; in der mündlichen Prüfung wird hier nachgefragt.
Teilaufgabe b) — Parallelität zeigen und Gerade \( h \) bestimmen
AB I AB II
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Schritt 1 — \( g \parallel E \) nachweisen. Der Richtungsvektor von \( g \) ist \( \vec v=(2|1|1) \), der Normalenvektor von \( E \) ist \( \vec n=(1|2|-4) \). Man bildet ihr Skalarprodukt:
\[ \vec v\cdot\vec n=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} = 2\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot(-4)=2+2-4=0 . \]
Das Skalarprodukt ist \( 0 \): Der Richtungsvektor steht senkrecht auf dem Normalenvektor, also läuft \( g \) parallel zur Ebene (sie kann höchstens noch in \( E \) liegen). Eine Punktprobe mit dem Stützpunkt \( P(2|0|2) \) zeigt, dass \( g \) nicht in \( E \) liegt:
\[ 2+2\cdot 0-4\cdot 2 = 2-8 = -6 \neq 1 . \]
Also ist \( g \) echt parallel zu \( E \). \(\checkmark\)
Schritt 2 — Richtungsvektor von \( h \). Die Gerade \( h \) soll zwei Bedingungen erfüllen:
- \( h \) schneidet \( g \) orthogonal → die Richtung von \( h \) steht senkrecht auf \( \vec v=(2|1|1) \).
- \( h \) verläuft parallel zu \( E \) → die Richtung von \( h \) steht senkrecht auf \( \vec n=(1|2|-4) \).
Ein Vektor, der auf beiden senkrecht steht, ist das Kreuzprodukt der beiden:
\[ \vec u=\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot(-4)-1\cdot 2\\[2pt] 1\cdot 1-2\cdot(-4)\\[2pt] 2\cdot 2-1\cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\9\\3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix}. \]
Man darf den gemeinsamen Faktor \( 3 \) kürzen — das ändert nur die Länge des Pfeils, nicht seine Richtung. Also nimmt man \( \vec u=(-2|3|1) \).
Schritt 3 — Gleichung von \( h \). Die Gerade geht durch \( P(2|0|2) \) mit Richtung \( \vec u \):
\[ h:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2\\3\\1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}. \]
Haltung dahinter: Was ist ein Skalarprodukt, und warum heißt „= 0" senkrecht? (ganz von vorn)
Skalarprodukt. Aus zwei Pfeilen \( \vec a=(a_1|a_2|a_3) \) und \( \vec b=(b_1|b_2|b_3) \) macht man eine einzige Zahl, indem man zeilenweise multipliziert und alles addiert: \( \vec a\cdot\vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \). Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Pfeil.
Warum verrät diese Zahl den Winkel? Das Skalarprodukt misst, wie sehr zwei Pfeile „in dieselbe Richtung zeigen". Zeigen sie in dieselbe Richtung, ist es groß und positiv; zeigen sie entgegengesetzt, negativ; stehen sie im rechten Winkel zueinander, heben sich die Beiträge genau zu null auf. Merksatz: Skalarprodukt \( =0 \) bedeutet senkrecht.
Was bedeutet das hier? Der Normalenvektor \( \vec n \) steht senkrecht auf der ganzen Ebene. Steht nun die Richtung der Geraden senkrecht auf \( \vec n \) (Skalarprodukt \( =0 \)), dann läuft die Gerade genau längs der Ebene mit — sie steigt nicht zur Ebene hin oder von ihr weg. Deshalb folgt aus \( \vec v\cdot\vec n=0 \): \( g \) ist parallel zur Ebene.
… ganz langsam (mit Zahlen)
\( \vec v\cdot\vec n \): erstes mal erstes ist \( 2\cdot 1=2 \); zweites mal zweites ist \( 1\cdot 2=2 \); drittes mal drittes ist \( 1\cdot(-4)=-4 \). Jetzt addieren: \( 2+2=4 \), und \( 4+(-4)=0 \). Die letzte Zahl ist negativ, weil \( (-4) \) negativ ist — „plus minus vier" ist dasselbe wie „minus vier". Ergebnis \( 0 \) → senkrecht → parallel.
Die Punktprobe rechnet man genauso stur: \( x_1+2x_2-4x_3 \) mit \( (2|0|2) \): \( 2 + 2\cdot 0 - 4\cdot 2 = 2 + 0 - 8 = -6 \). Die Ebene verlangt aber \( 1 \). Da \( -6 \) nicht \( 1 \) ist, liegt der Punkt — und damit die ganze parallele Gerade — neben der Ebene: echt parallel.
Haltung dahinter: Wieso liefert das Kreuzprodukt genau die Richtung von \( h \)?
\( h \) muss zu zwei Pfeilen gleichzeitig senkrecht sein: zu \( \vec v \) (weil \( h \) die Gerade \( g \) im rechten Winkel kreuzt) und zu \( \vec n \) (weil \( h \) parallel zur Ebene liegt, also wie \( g \) längs der Ebene mitläuft und damit senkrecht zum Normalenvektor steht).
Das Kreuzprodukt \( \vec v\times\vec n \) ist eine feste Rechenvorschrift, deren Ergebnis ein neuer Pfeil ist, der auf beiden Ausgangspfeilen senkrecht steht — genau die gesuchte Eigenschaft. Das Rechenschema (welche Zahlen man kreuzweise multipliziert und subtrahiert) steht im Werkzeugkasten Geometrie.
… ganz langsam (mit Zahlen) — und „orthogonal" kurz erklärt
„Orthogonal" heißt „im rechten Winkel", also senkrecht — wie die Ecke eines Blattes Papier.
Das Kreuzprodukt \( (2|1|1)\times(1|2|-4) \) Zeile für Zeile (Schema „über Kreuz, immer die anderen zwei Zeilen"):
- 1. Zeile: \( 1\cdot(-4)-1\cdot 2 = -4-2 = -6 \).
- 2. Zeile: \( 1\cdot 1-2\cdot(-4) = 1-(-8) = 1+8 = 9 \) (Achtung: „minus mal minus" wird plus).
- 3. Zeile: \( 2\cdot 2-1\cdot 1 = 4-1 = 3 \).
Ergebnis \( (-6|9|3) \). Alle drei Zahlen sind durch \( 3 \) teilbar, also kürzt man zu \( (-2|3|1) \). Probe: \( (-2|3|1)\cdot(2|1|1)=-4+3+1=0 \;\checkmark \) (senkrecht zu \( g \)) und \( (-2|3|1)\cdot(1|2|-4)=-2+6-4=0\;\checkmark \) (senkrecht zu \( \vec n \), also parallel zu \( E \)). Beide Bedingungen erfüllt.
Teilaufgabe c) — Punkt mit Abstand \( 3\sqrt{21} \) zur Ebene
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Idee: Der kürzeste Weg von einem Punkt zur Ebene führt in Richtung des Normalenvektors. Startet man also auf der Ebene und geht ein Stück in Normalenrichtung, ist die zurückgelegte Strecke genau der Abstand. Der Normalenvektor \( \vec n=(1|2|-4) \) hat die Länge
\[ |\vec n|=\sqrt{1^2+2^2+(-4)^2}=\sqrt{1+4+16}=\sqrt{21}. \]
Geht man 3 ganze Normalenvektoren weit, beträgt der Abstand \( 3\cdot|\vec n|=3\sqrt{21} \) — genau das Gesuchte.
Schritt 1 — Punkt auf \( E \) wählen. Bequem ist \( Q(1|0|0) \): Probe \( 1+2\cdot 0-4\cdot 0=1\;\checkmark \).
Schritt 2 — drei Normalenvektoren addieren.
\[ \overrightarrow{OR}=\overrightarrow{OQ}+3\,\vec n =\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3\\0+6\\0-12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\6\\-12\end{pmatrix}. \]
Also hat \( R(4\,|\,6\,|\,-12) \) den Abstand \( 3\sqrt{21} \) von \( E \). (Es gibt viele solche Punkte — jeder Punkt der Form „Ebenenpunkt \( {}\pm 3\,\vec n \)" passt.)
Haltung dahinter: Was ist „der Abstand von einer Ebene", und warum die Normalenrichtung? (ganz von vorn)
Abstand Punkt–Ebene ist die kürzeste Verbindung zwischen dem Punkt und der Fläche. Bild: Du stehst im Zimmer und willst zur Decke — der kürzeste Weg ist gerade nach oben, also senkrecht zur Decke. Jeder schräge Weg ist länger. „Senkrecht zur Ebene" ist aber genau die Richtung des Normalenvektors. Deshalb misst man Abstände immer entlang \( \vec n \).
Warum \( 3\vec n \)? Ein einzelner Normalenvektor \( \vec n \) hat die Länge \( |\vec n|=\sqrt{21} \). Hängt man \( 3 \) davon hintereinander, ist die Strecke dreimal so lang: \( 3\sqrt{21} \). Startet man diesen Marsch auf der Ebene (Punkt \( Q \)), landet man bei einem Punkt, der genau \( 3\sqrt{21} \) entfernt ist.
… ganz langsam (mit Zahlen) — Kontrolle mit der Abstandsformel
Die Länge: \( 1^2=1 \), \( 2^2=4 \), \( (-4)^2=16 \) (minus mal minus wird plus). Summe \( 1+4+16=21 \), Wurzel \( \sqrt{21} \).
Gegenprobe mit der Abstandsformel (Hesse): Abstand \( =\dfrac{|x_1+2x_2-4x_3-1|}{|\vec n|} \). Für \( R(4|6|-12) \) oben rein: \( 4+2\cdot 6-4\cdot(-12)=4+12+48=64 \). Dann \( |64-1|=63 \). Teilen durch \( \sqrt{21} \):
\[ \frac{63}{\sqrt{21}}=\frac{3\cdot 21}{\sqrt{21}}=3\cdot\frac{21}{\sqrt{21}}=3\sqrt{21}\;\checkmark \]
(weil \( \tfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21} \)). Der Abstand stimmt.
Typische Falle: nicht von einem Ebenenpunkt starten
Wer einfach „irgendeinen Punkt nimmt und \( 3\vec n \) addiert", bekommt nicht den Abstand \( 3\sqrt{21} \) — das funktioniert nur, wenn der Startpunkt wirklich auf \( E \) liegt. Deshalb zuerst ein \( Q \) suchen, das die Ebenengleichung erfüllt (Punktprobe!), und erst dann \( 3\vec n \) addieren.
Teilaufgabe d) — Gerade \( j \) mit dem geringsten Abstand zu \( g \)
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
Verlangt ist nur das Verfahren. Hier ist es, mit kurzer Begründung und einer Rechnung zur Kontrolle.
Idee. Gesucht ist die Gerade in \( E \), die parallel zu \( g \) verläuft und \( g \) am nächsten ist. Das ist der „Schatten" von \( g \) auf \( E \) senkrecht von oben — die orthogonale Projektion. Man fällt von einem Punkt der Geraden \( g \) das Lot auf \( E \) (Marsch in Normalenrichtung) und legt durch den Fußpunkt eine Gerade parallel zu \( g \).
Verfahren in drei Schritten:
- Lotgerade aufstellen. Durch den Stützpunkt \( P(2|0|2) \) von \( g \) eine Gerade \( k \) in Richtung des Normalenvektors \( \vec n=(1|2|-4) \) legen: \[ k:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\0\\2\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}1\\2\\-4\end{pmatrix}. \] (Diese Gerade steht senkrecht auf \( E \) und damit auch senkrecht auf \( g \).)
- Fußpunkt \( F \) bestimmen als Schnittpunkt von \( k \) mit \( E \) (Einsetzen, nach \( s \) auflösen).
- Gerade \( j \) aufstellen durch \( F \) mit dem Richtungsvektor von \( g \): \[ j:\ \vec x=\overrightarrow{OF}+t\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}. \]
Kontrollrechnung (Schritt 2). Den Punkt von \( k \), nämlich \( (2+s\,|\,2s\,|\,2-4s) \), in \( E \) einsetzen:
\[ (2+s)+2(2s)-4(2-4s)=1 \;\Longrightarrow\; 2+s+4s-8+16s=1 \;\Longrightarrow\; 21s-6=1 \;\Longrightarrow\; s=\tfrac13. \]
Eingesetzt: \( F=\big(\tfrac{7}{3}\,\big|\,\tfrac{2}{3}\,\big|\,\tfrac{2}{3}\big) \) (Probe: \( \tfrac73+2\cdot\tfrac23-4\cdot\tfrac23=\tfrac{7+4-8}{3}=1\;\checkmark \)). Damit
\[ j:\ \vec x=\begin{pmatrix}7/3\\2/3\\2/3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}. \]
Der geringste Abstand ist die Länge des Lots: \( |s|\cdot|\vec n|=\tfrac13\sqrt{21}=\tfrac{\sqrt{21}}{3}\approx 1{,}53 \) — derselbe Wert wie der Abstand der parallelen Geraden \( g \) zur Ebene \( E \).
Haltung dahinter: Warum ist gerade die projizierte Gerade die nächste? (ganz von vorn)
Projektion = senkrechter Schatten. Stell dir \( g \) als waagerechte Stange knapp über einem geneigten Tisch (\( E \)) vor, parallel zur Tischfläche. Beleuchtet man sie senkrecht von oben (in Normalenrichtung), wirft sie auf den Tisch einen geraden Schatten, der genau unter ihr liegt und parallel zu ihr ist. Dieser Schatten ist \( j \).
Warum der nächste? Weil \( g \) parallel zu \( E \) ist, hat jeder Punkt von \( g \) denselben Abstand zur Ebene (die Stange hängt überall gleich hoch). Der senkrechte Schatten verbindet jeden Stangenpunkt auf kürzestem Weg mit dem Tisch. Eine andere Gerade in \( E \), die schräg unter der Stange läuft, wäre an manchen Stellen weiter weg. Deshalb ist die senkrechte Projektion die Gerade mit dem geringsten Abstand.
Warum genügt ein einziger Punkt \( P \)? Weil der Abstand überall gleich ist, reicht es, einen Punkt von \( g \) (den Stützpunkt \( P \)) senkrecht herunterzuloten — sein Fußpunkt \( F \) liegt schon auf \( j \). Die Richtung von \( j \) ist dieselbe wie die von \( g \) (beide parallel). Stützpunkt \( F \) + Richtung \( (2|1|1) \) = fertige Geradengleichung.
… ganz langsam (mit Zahlen) — wie der Schnittpunkt \( F \) entsteht
Die Lotgerade hat die Punkte \( (2+s\,|\,2s\,|\,2-4s) \). „Auf der Ebene" heißt: in \( x_1+2x_2-4x_3 \) eingesetzt kommt \( 1 \) heraus. Einsetzen:
\( (2+s) + 2\cdot(2s) - 4\cdot(2-4s) \). Klammern auflösen: \( 2+s + 4s - 8 + 16s \). Die \( s \)-Stücke sammeln: \( s+4s+16s = 21s \). Die Zahlen sammeln: \( 2-8 = -6 \). Also \( 21s - 6 \). Das soll \( 1 \) sein: \( 21s-6=1 \Rightarrow 21s=7 \Rightarrow s=\tfrac{7}{21}=\tfrac13 \).
Jetzt \( s=\tfrac13 \) in den Lotpunkt: \( x_1=2+\tfrac13=\tfrac73 \); \( x_2=2\cdot\tfrac13=\tfrac23 \); \( x_3=2-4\cdot\tfrac13=2-\tfrac43=\tfrac{6-4}{3}=\tfrac23 \). Das ist \( F \). Der Abstand ist \( \tfrac13 \) Normalenvektoren lang: \( \tfrac13\sqrt{21}=\tfrac{\sqrt{21}}{3} \).
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) Drei Lagen: \( g \) liegt in \( E \) · \( g \) echt parallel zu \( E \) · \( g \) schneidet \( E \). Bestimmung: Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen → Widerspruch = echt parallel, eine Lösung = Schnittpunkt, immer wahr = \( g\subset E \).
- b) \( \vec v\cdot\vec n=(2|1|1)\cdot(1|2|-4)=0 \Rightarrow g\parallel E \); Punktprobe \( -6\neq 1 \) ⇒ echt parallel. \( h:\ \vec x=(2|0|2)+t\,(-2|3|1) \) (Richtung \( =\vec v\times\vec n \)).
- c) \( R(4\,|\,6\,|\,-12) \) \( \big(=Q(1|0|0)+3\vec n,\ |\vec n|=\sqrt{21}\big) \).
- d) Lot \( k:\ \vec x=(2|0|2)+s\,(1|2|-4) \) → Fußpunkt \( F=(\tfrac73|\tfrac23|\tfrac23) \) → \( j:\ \vec x=F+t\,(2|1|1) \); geringster Abstand \( \tfrac{\sqrt{21}}{3}\approx1{,}53 \).
Teil 2 — Gespräch (Analysis): Schneefallrate im Skigebiet
Input. Die Funktion \( f \) mit \( f(x)=10x\cdot e^{-0{,}5x} \) beschreibt für \( x\ge 0 \) modellhaft die Schneefallrate in einem Skigebiet (\( x \) in Stunden nach 6 Uhr, \( f(x) \) in cm pro Stunde). Eine der beiden Abbildungen zeigt den Graphen von \( f \).
Im Gespräch denkbare Aspekte: (AB I) den richtigen Graphen zuordnen; die Schneefallrate nach einer Stunde ermitteln; den Zeitpunkt des stärksten Schneefalls graphisch bestimmen; den Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Rate graphisch ermitteln. (AB II) den Zeitpunkt des stärksten Schneefalls berechnen; den Zuwachs an Schneehöhe in den ersten fünf Stunden graphisch ermitteln. (AB III) unter der Annahme, dass die Rate ab \( x=4 \) konstant abnimmt, rechnerisch den Zeitpunkt bestimmen, zu dem es aufhört zu schneien; unter der Annahme eines gleichzeitigen Tauens mit \( 2 \) cm pro Stunde die Zeitspanne ermitteln, in der die Schneehöhe zunimmt.
Vorab, was eine „Rate" ist: \( f(x) \) gibt nicht die Schneehöhe an, sondern wie schnell der Schnee gerade wächst — in cm pro Stunde. Bild: Der Tacho im Auto zeigt die Geschwindigkeit (km/h), nicht die gefahrene Strecke (km). Hier ist \( f \) der „Schnee-Tacho", die Höhe ist die aufsummierte Strecke (das Integral). Diesen Unterschied braucht man für die AB-II- und AB-III-Aspekte. Mehr in Funktionsuntersuchung und Stammfunktion & Hauptsatz.
Welcher Graph gehört zu \( f \)? Spiele mit den Bildern und ordne zu, bevor du die Lösung aufklappst. Der Unterschied steckt in der Höhe des höchsten Punktes.
AB I — Graph zuordnen, Rate nach einer Stunde, stärkster Schneefall & stärkste Abnahme (graphisch)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Graph zuordnen. Beide Graphen starten in \( (0|0) \), steigen schnell zu einem Hoch und fallen dann flach aus — die Form ist gleich. Der Unterschied ist die Höhe des Maximums. Man rechnet einen markanten Wert nach, z. B. den Höchstwert bei \( x=2 \):
\[ f(2)=10\cdot 2\cdot e^{-0{,}5\cdot 2}=20\,e^{-1}=\frac{20}{e}\approx 7{,}4 . \]
Der höchste Punkt liegt also bei rund \( 7{,}4 \) cm/h. Abbildung 1 hat ihr Maximum bei knapp über \( 7 \) — das passt. Abbildung 2 erreicht etwa \( 8{,}5 \) und scheidet aus. Antwort: Abbildung 1.
Schneefallrate nach einer Stunde. „Nach einer Stunde" ist \( x=1 \) (also um 7 Uhr):
\[ f(1)=10\cdot 1\cdot e^{-0{,}5}=\frac{10}{\sqrt{e}}\approx 6{,}1 . \]
Eine Stunde nach Beginn schneit es also mit etwa \( 6{,}1 \) cm pro Stunde (im Graphen bei \( x=1 \) ablesbar als \( y\approx 6 \)).
Zeitpunkt des stärksten Schneefalls (graphisch). Am stärksten schneit es, wo die Rate \( f \) am größten ist — am höchsten Punkt des Graphen. Den liest man bei \( x=2 \) ab. Das sind \( 2 \) Stunden nach 6 Uhr, also um 8 Uhr.
Zeitpunkt der stärksten Abnahme der Rate (graphisch). Gesucht ist, wo die Rate am schnellsten fällt — die Stelle, an der der Graph nach dem Hoch am steilsten bergab läuft. Diese steilste Abstiegsstelle (der Wendepunkt des fallenden Astes) liegt bei etwa \( x=4 \), also um 10 Uhr.
Haltung dahinter: „stärkster Schneefall" vs. „stärkste Abnahme" — was liest man wo ab?
Hier werden zwei Dinge leicht verwechselt. Beide liest man am selben Graphen \( f \) ab, aber an verschiedenen Stellen.
- Stärkster Schneefall fragt: Wann ist die Rate am größten? → höchster Punkt des Graphen (Hochpunkt). Anschaulich: Wann fällt am meisten Schnee pro Stunde? Antwort: am Gipfel der Kurve, \( x=2 \).
- Stärkste Abnahme der Rate fragt: Wann sinkt die Rate am schnellsten? → steilste abfallende Stelle des Graphen. Anschaulich: Wann lässt der Schneefall am rasantesten nach? Das ist nicht der Gipfel (dort ist die Kurve flach), sondern weiter rechts, wo es am steilsten bergab geht — bei \( x\approx 4 \).
Eselsbrücke: „am stärksten schneit es" = höchster Punkt; „am stärksten lässt es nach" = steilster Abhang.
Was ist ein „Wendepunkt", und warum ist er die steilste Abstiegsstelle?
Ein Wendepunkt ist die Stelle, an der eine Kurve ihre Krümmungsrichtung wechselt — von „Linkskurve" zu „Rechtskurve" (oder umgekehrt). Beim Bergfahren ist das der Moment, in dem die Straße aufhört, immer steiler zu werden, und anfängt, wieder flacher zu werden. Genau dort, am Übergang, ist die Steigung am extremsten — beim fallenden Ast also am stärksten negativ, sprich am steilsten bergab. Deshalb fällt die Rate genau am Wendepunkt am schnellsten. (Rechnerisch bestimmt man ihn über \( f''(x)=0 \); siehe AB III. Hier genügt das Ablesen der steilsten Stelle.)
AB II — Stärksten Schneefall berechnen, Zuwachs der Schneehöhe (graphisch)
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Zeitpunkt des stärksten Schneefalls berechnen. Der Höchstwert der Rate ist dort, wo die Ableitung \( f' \) null wird (waagerechte Tangente). Mit der Produktregel und der Kettenregel:
\[ f(x)=10x\,e^{-0{,}5x}\;\Longrightarrow\; f'(x)=10\,e^{-0{,}5x}+10x\cdot(-0{,}5)\,e^{-0{,}5x} = e^{-0{,}5x}\,(10-5x). \]
Der Faktor \( e^{-0{,}5x} \) ist nie null, also entscheidet die Klammer:
\[ 10-5x=0 \;\Longrightarrow\; x=2 . \]
Vorzeichenwechsel von \( + \) nach \( - \) ⇒ Hochpunkt. Es schneit am stärksten bei \( x=2 \) (um 8 Uhr) mit \( f(2)=\tfrac{20}{e}\approx 7{,}4 \) cm/h. (Das bestätigt das Ablesen aus AB I.)
Zuwachs der Schneehöhe in den ersten fünf Stunden (graphisch). Die Schneehöhe ist die aufsummierte Rate, also die Fläche unter dem Graphen von \( x=0 \) bis \( x=5 \). „Graphisch" heißt: die Kästchen unter der Kurve zählen.
Ein Kästchen ist \( 1 \) Stunde breit und \( 1 \) cm/h hoch, steht also für \( 1\,\text{cm/h}\times 1\,\text{h}=1 \) cm Schnee. Zählt man die Kästchen unter der Kurve bis \( x=5 \), kommt man auf etwa \( 28\text{–}29 \) cm. In den ersten fünf Stunden wächst die Schneehöhe also um rund \( 28 \) cm.
Haltung dahinter: Warum ist die Fläche unter der Rate die Schneehöhe? (ganz von vorn)
Ableitung = Steigung. Die Ableitung \( f' \) misst, wie steil ein Graph an einer Stelle ist. Am Hochpunkt ist der Graph für einen Moment waagerecht — die Steigung ist \( 0 \). Deshalb sucht man Hoch- und Tiefpunkte über \( f'(x)=0 \).
Fläche unter der Rate = Gesamtmenge. Eine Rate sagt „so viel pro Stunde". Multipliziert man Rate mal Zeit, bekommt man eine Menge: \( 6\ \tfrac{\text{cm}}{\text{h}}\times 2\ \text{h}=12\ \text{cm} \). Genau das macht die Fläche unter der Kurve — sie multipliziert in jedem schmalen Streifen „Höhe (Rate) mal Breite (Zeitstückchen)" und summiert alles auf. Ergebnis: die in dieser Zeit gefallene Schneehöhe. Bild: Auf dem Bankkonto ist die Rate „Euro pro Tag"; die Fläche darunter ist das insgesamt angesammelte Geld. (Mehr: Integral-Grundlagen.)
… ganz langsam (mit Zahlen) — Kontrolle des Kästchen-Zählens
Kästchen zählen ist eine Schätzung; zur Kontrolle kann man die Fläche exakt als Integral rechnen. Eine Stammfunktion von \( f(x)=10x\,e^{-0{,}5x} \) ist (per partieller Integration) \( F(x)=-20\,(x+2)\,e^{-0{,}5x} \). Probe durch Ableiten ergibt wieder \( f \). Dann
\[ \int_0^5 f(x)\,dx=F(5)-F(0)=-20\cdot 7\cdot e^{-2{,}5}-\big(-20\cdot 2\cdot e^{0}\big) =40-140\,e^{-2{,}5}\approx 28{,}5 . \]
Das passt zu den gezählten \( \approx 28\text{–}29 \) Kästchen. (In der Prüfung ist hier ausdrücklich nur das Zählen gefragt; die exakte Rechnung dient nur der Kontrolle.)
Typische Falle: Höhe mit Rate verwechseln
\( f(5)\approx 4{,}1 \) ist die Rate um 11 Uhr (cm pro Stunde), nicht die Schneehöhe. Die Höhe nach 5 Stunden ist die Fläche \( \approx 28 \) cm. Wer den Funktionswert \( f(5) \) als Schneehöhe angibt, verwechselt Tacho mit Kilometerstand.
AB III — Wann hört es auf zu schneien? · Wann wächst die Schneehöhe trotz Tauen?
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
Annahme 1: Ab \( x=4 \) nimmt die Rate konstant ab — wann hört es auf zu schneien? „Konstant abnehmen" heißt: Die Rate fällt ab \( x=4 \) geradlinig (linear) weiter — und zwar mit der Steigung, die sie im Punkt \( x=4 \) gerade hat. Das ist die Tangente an \( f \) in \( x=4 \). Es hört auf zu schneien, wenn die Rate \( 0 \) erreicht — also dort, wo diese Tangente die \( x \)-Achse trifft.
Man braucht den Funktionswert und die Steigung bei \( x=4 \):
\[ f(4)=40\,e^{-2},\qquad f'(4)=e^{-2}\,(10-5\cdot 4)=-10\,e^{-2}. \]
Tangente: \( y=f(4)+f'(4)\,(x-4) \). Nullsetzen und nach \( x \) auflösen:
\[ 0=f(4)+f'(4)\,(x-4)\;\Longrightarrow\; x=4-\frac{f(4)}{f'(4)}=4-\frac{40\,e^{-2}}{-10\,e^{-2}}=4+4=8 . \]
Die \( e^{-2} \) kürzen sich weg — es bleibt das saubere Ergebnis \( x=8 \). Es hört also bei \( x=8 \), das heißt um 14 Uhr, auf zu schneien.
Annahme 2: Es taut gleichzeitig mit \( 2 \) cm pro Stunde — wann wächst die Schneehöhe? Jetzt laufen zwei Raten gegeneinander: Es schneit mit \( f(x) \) und es taut mit \( 2 \). Die Netto-Rate der Schneehöhe ist \( f(x)-2 \). Die Höhe wächst, solange die Netto-Rate positiv ist, also solange
\[ f(x) \gt 2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad 10x\,e^{-0{,}5x} \gt 2 . \]
Verfahren: Man bestimmt die beiden Schnittstellen der Kurve \( f \) mit der waagerechten Linie \( y=2 \). Dazwischen liegt \( f \) über \( 2 \), dort wächst die Höhe; davor und danach taut es netto weg. Die Gleichung \( 10x\,e^{-0{,}5x}=2 \) ist nicht von Hand auflösbar (das \( x \) steckt gleichzeitig als Faktor und im Exponenten) — man löst sie mit dem Taschenrechner (GTR, numerisch). Das liefert
\[ x_1\approx 0{,}22 \qquad\text{und}\qquad x_2\approx 7{,}15 . \]
Die Schneehöhe nimmt also zwischen \( x_1\approx 0{,}22 \) und \( x_2\approx 7{,}15 \) zu — eine Zeitspanne von
\[ x_2-x_1\approx 7{,}15-0{,}22 = 6{,}93\ \text{Stunden}\ (\text{rund }6\tfrac{9}{10}\ \text{h}). \]
In Uhrzeit: von etwa \( 6{:}13 \) Uhr bis etwa \( 13{:}09 \) Uhr.
Haltung dahinter: Was ist eine Tangente, und warum löst „Netto-Rate" die zweite Frage? (ganz von vorn)
Tangente. Eine Tangente ist die Gerade, die sich an einer Stelle schmiegend an die Kurve legt — sie hat dort denselben Punkt und dieselbe Steigung wie die Kurve. „Die Rate nimmt ab \( x=4 \) konstant ab" bedeutet genau: Ab \( x=4 \) machen wir aus der gebogenen Kurve eine gerade Fortsetzung mit der Steigung, die sie bei \( x=4 \) gerade hat — also die Tangente. Eine fallende Gerade trifft irgendwann die \( x \)-Achse; dort ist die Rate \( 0 \) → es schneit nicht mehr. Den Treffer findet man, indem man die Tangentengleichung gleich \( 0 \) setzt.
Netto-Rate. Wenn zwei Vorgänge gleichzeitig wirken — Schnee fällt (\( +f \)), Schnee taut (\( -2 \)) —, zählt für die Höhe nur ihre Differenz, die Netto-Rate \( f(x)-2 \). Bild: Wasser läuft in eine Wanne (Zufluss \( f \)) und gleichzeitig durch den Abfluss heraus (\( 2 \)). Der Wasserstand steigt nur, wenn mehr hinein- als hinausläuft, also wenn \( f(x) \gt 2 \). Die Grenzen dieses Zeitfensters sind die Stellen, an denen Zufluss und Abfluss gleich groß sind: \( f(x)=2 \).
… ganz langsam (mit Zahlen) — warum \( x=8 \) so glatt herauskommt
Tangentengleichung allgemein: \( y=f(4)+f'(4)\,(x-4) \). Wir wollen \( y=0 \), also \( f'(4)\,(x-4)=-f(4) \), das heißt \( x-4=-\dfrac{f(4)}{f'(4)} \).
Jetzt die Werte: \( f(4)=40\,e^{-2} \) und \( f'(4)=-10\,e^{-2} \). Der Bruch: \( \dfrac{f(4)}{f'(4)}=\dfrac{40\,e^{-2}}{-10\,e^{-2}} \). Der Faktor \( e^{-2} \) steht oben und unten und kürzt sich weg, übrig bleibt \( \dfrac{40}{-10}=-4 \). Also \( x-4=-(-4)=4 \), und damit \( x=4+4=8 \). Genau \( 8 \) Stunden nach 6 Uhr = 14 Uhr.
Typische Falle: bei der Tau-Frage ein „sauberes" \( x \) erzwingen wollen
Die Gleichung \( 10x\,e^{-0{,}5x}=2 \) hat keine schöne Lösung von Hand — das \( x \) steckt als Faktor und im Exponenten. Hier ist der sachliche Weg: Verfahren beschreiben (Schnittstellen mit \( y=2 \), Bereich dazwischen), die Zahlen mit dem GTR holen (\( x_1\approx0{,}22 \), \( x_2\approx7{,}15 \)) und die Zeitspanne als Differenz angeben. Wer hier „algebraisch umstellt", verrennt sich.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Teilaufgabe, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Geometrie) aufklappen
- a) Lage Gerade/Ebene. Gut: drei Fälle genannt (in der Ebene · echt parallel · Schnittpunkt) und das Verfahren „Geraden- in Ebenengleichung einsetzen, nach \( t \) auflösen". Rückfrage: „Woran erkennen Sie beim Einsetzen den Unterschied zwischen echt parallel und liegt in der Ebene?" (Antwort: Widerspruch vs. immer wahre Aussage.) Rote Flagge: nur zwei Fälle, „liegt in der Ebene" vergessen.
- b) Parallelität + Gerade \( h \). Erwartet: Skalarprodukt Richtung·Normale \( =0 \) ⇒ parallel, plus Punktprobe \( -6\neq 1 \) ⇒ echt parallel; für \( h \) die Richtung über das Kreuzprodukt \( (2|1|1)\times(1|2|-4)=(-6|9|3)\parallel(-2|3|1) \), Stützpunkt \( P(2|0|2) \). Rückfrage: „Warum muss die Richtung von \( h \) auf beiden Vektoren senkrecht stehen?" (orthogonal zu \( g \) und parallel zu \( E \)).
- c) Punkt mit Abstand \( 3\sqrt{21} \). Erwartet: \( |\vec n|=\sqrt{21} \); einen Punkt auf \( E \) wählen (\( Q(1|0|0) \)) und \( 3\vec n \) addieren → \( R(4|6|-12) \). Rückfrage: „Warum starten Sie ausgerechnet auf der Ebene?" Rote Flagge: \( 3\vec n \) zu einem beliebigen Punkt addiert.
- d) Gerade \( j \). Hier zählt das beschriebene Verfahren: Lot von einem \( g \)-Punkt auf \( E \) (Gerade in Normalenrichtung), Fußpunkt \( F \) als Schnitt mit \( E \), dann \( j \) durch \( F \) mit der Richtung von \( g \). Hinweis für dich: Es ist nur das Verfahren verlangt — eine saubere Beschreibung ist die volle Antwort; die konkreten Zahlen (\( F=(\tfrac73|\tfrac23|\tfrac23) \)) sind Bonus. Rückfrage: „Warum ist gerade der senkrechte Schatten von \( g \) die nächstgelegene Gerade?"
Leitfaden Teil 2 (Analysis) aufklappen
- Graph zuordnen. Erwartet: einen Wert nachrechnen (z. B. \( f(2)=\tfrac{20}{e}\approx 7{,}4 \)) und die Höhe des Maximums vergleichen → Abbildung 1. Rückfrage: „Welche Stelle haben Sie verglichen, und warum?"
- Rate nach 1 h / stärkster Schneefall (graphisch). Erwartet: \( f(1)\approx 6{,}1 \) cm/h; stärkster Schneefall am höchsten Punkt, \( x=2 \) (8 Uhr). Rückfrage: „Geben \( f \)-Werte eine Höhe oder eine Geschwindigkeit an?" (Rate, cm pro Stunde.)
- Stärkste Abnahme (graphisch). Erwartet: steilste abfallende Stelle (Wendepunkt), \( x\approx 4 \) (10 Uhr) — nicht der Gipfel. Rote Flagge: den Hochpunkt \( x=2 \) nennen.
- Stärksten Schneefall berechnen. Erwartet: \( f'(x)=e^{-0{,}5x}(10-5x)=0 \) ⇒ \( x=2 \), weil \( e^{-0{,}5x}\neq 0 \). Rückfrage: „Warum kann nur die Klammer null werden?"
- Zuwachs Schneehöhe erste 5 h (graphisch). Erwartet: Fläche unter der Kurve von 0 bis 5, Kästchen zählen ≈ 28–29 cm. Rote Flagge: \( f(5)\approx 4 \) als „Höhe" angeben (das ist die Rate). Rückfrage: „Wofür steht ein einzelnes Kästchen in cm?"
- AB III — Aufhören / Tauen. Erwartet: für das Aufhören die Tangente in \( x=4 \), Nullstelle bei \( x=8 \) (14 Uhr); fürs Tauen die Netto-Rate \( f(x)-2 \), wachsend solange \( f(x) \gt 2 \), Schnittstellen mit \( y=2 \) per GTR (\( x_1\approx 0{,}22 \), \( x_2\approx 7{,}15 \)), Zeitspanne \( \approx 6{,}9 \) h. Hinweis für dich: Dass \( f(x)=2 \) nur numerisch (GTR) lösbar ist, ist korrekt und kein Fehler. Rückfrage: „Warum wächst die Schneehöhe genau dann, wenn \( f \) über der Linie \( y=2 \) liegt?"
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Welche drei Lagen kann eine Gerade zu einer Ebene haben, und wie unterscheidest du sie beim Einsetzen?
- Warum bedeutet „Richtungsvektor · Normalenvektor \( =0 \)", dass die Gerade parallel zur Ebene läuft?
- Wie findest du einen Punkt in vorgegebenem Abstand zu einer Ebene — und warum musst du dabei auf der Ebene starten?
- Woran erkennst du im Graphen den Zeitpunkt des stärksten Schneefalls und den der stärksten Abnahme der Rate — und warum sind das verschiedene Stellen?
- Warum ist die Schneehöhe die Fläche unter der Ratenkurve, und nicht ein einzelner Funktionswert?
- Wie bestimmst du den Zeitpunkt, zu dem es bei konstanter Abnahme ab \( x=4 \) aufhört zu schneien?