In diesem Kapitel geht es um die wohl wichtigste Anwendung des Integrals in der mündlichen Prüfung: Du hast eine Änderungsrate gegeben (wie schnell sich etwas ändert) und sollst daraus den Bestand oder die Gesamtänderung rekonstruieren. Das klingt abstrakt, ist aber im Kern eine einzige Idee, die du sicher beherrschen solltest. Wir bauen sie Schritt für Schritt auf — und du rechnest alles per Hand, denn die Prüfung ist hilfsmittelfrei.
Kern-Thema Analysis · Anforderungsbereich AB II
Die Grundidee: vom Tempo zur Menge
Stell dir vor, jemand sagt dir nur, wie schnell sich etwas verändert — wie schnell Wasser in ein Becken fließt, wie schnell ein Auto fährt, wie schnell sich eine Population vermehrt. Diese „Wie schnell"-Größe heißt Änderungsrate. Die Frage lautet dann: Wie viel hat sich insgesamt angesammelt oder verändert?
Die Antwort gibt das Integral. Ist \( r(t) \) die Änderungsrate einer Größe \( B \) (also \( r(t) = B'(t) \)), dann ist
\[ \int_{a}^{b} r(t)\,dt \;=\; B(b) - B(a) \;=\; \text{Gesamtänderung von } B \text{ zwischen } a \text{ und } b. \]
Das ist die Bedeutung des Integrals als rekonstruierte Gesamtänderung: Du summierst lauter winzige Änderungen \( r(t)\,dt \) auf und bekommst, wie viel sich von \( a \) bis \( b \) zusammengenommen getan hat.
Haltung dahinter: warum überhaupt funktioniert das?
Das Prinzip: Über ein winziges Zeitstückchen \( dt \) ändert sich die Größe näherungsweise um „Rate mal Zeit", also \( r(t)\,dt \). Beispiel: Fließt Wasser gerade mit \( 5\,\tfrac{\text{m}^3}{\text{h}} \) und betrachtest du \( dt = 0{,}1\,\text{h} \), kommen \( 5 \cdot 0{,}1 = 0{,}5\,\text{m}^3 \) dazu. Das Integral summiert all diese Stückchen über das ganze Intervall — daraus wird die Gesamtmenge.
Begründung: der Zusammenhang zum Hauptsatz
Wenn \( r = B' \), dann ist \( B \) eine Stammfunktion von \( r \). Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt: \( \int_a^b r(t)\,dt = \big[B(t)\big]_a^b = B(b) - B(a) \). Genau das ist die Differenz der Bestände — also die Gesamtänderung. Das Integral „macht das Ableiten rückgängig".
Annahme/Axiom: was setzen wir voraus?
Damit der Hauptsatz greift, muss \( r \) auf \( [a,b] \) stetig sein (keine Sprünge), und \( B \) muss eine differenzierbare Funktion mit \( B' = r \) sein. In allen Schulaufgaben des Basisfachs ist das erfüllt; die Ratenfunktionen sind dort durchweg „brave" Funktionen (Polynome, einfache Brüche). Diese Voraussetzung musst du in der Prüfung nicht beweisen, aber du solltest wissen, dass es eine gibt.
Eine häufige Falle: Verwechsle nicht die Rate mit dem Bestand. \( r(2) = 5 \) heißt „im Moment \( t = 2 \) fließt es mit Tempo 5" — es heißt nicht, dass schon 5 da sind. Wie viel da ist, verrät erst das Integral.
Vom Bestand zur absoluten Menge: die Konstante
Mit dem Integral bekommst du die Änderung des Bestands. Willst du den absoluten Bestand zu einem Zeitpunkt wissen, brauchst du noch einen Startwert (Anfangsbestand). Dann gilt
\[ B(t) \;=\; B(0) \;+\; \int_{0}^{t} r(s)\,ds. \]
In Worten: aktueller Bestand = Anfangsbestand + alles, was seit dem Start dazugekommen (oder abgeflossen) ist.
Haltung dahinter: warum die Integrationsvariable umbenannt ist
Ich habe im Integral \( s \) statt \( t \) geschrieben, weil \( t \) schon die obere Grenze ist. Dieselbe Buchstabe für Grenze und Laufvariable zu nehmen ist mathematisch unsauber. In der Prüfung darfst du es meist locker sehen, aber wenn du sauber \( \int_0^t r(s)\,ds \) schreibst, zeigt das Verständnis. Inhaltlich ist \( s \) nur die „Laufzeit" innerhalb des Integrals.
Einheiten: der heimliche Punktelieferant
Einheiten werden in der mündlichen Prüfung gern abgefragt — sie sind leicht und zeigen, ob du die Sachsituation verstanden hast. Die Regel ist mechanisch:
\[ [\,\text{Integralwert}\,] \;=\; [\,\text{Rate}\,] \cdot [\,\text{Variable}\,]. \]
Die Einheit des Integrals ist also Rate-Einheit mal Einheit der Integrationsvariablen, weil du im Integral „Rate mal \( dt \)" aufsummierst.
| Rate \( r(t) \) | Variable | Integral \( \int r\,dt \) |
|---|---|---|
| \( \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}} \) (Zufluss) | \( \text{h} \) (Zeit) | \( \text{m}^3 \) (Volumen) |
| \( \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \) (Geschwindigkeit) | \( \text{s} \) (Zeit) | \( \text{m} \) (Weg) |
| \( \tfrac{\text{Stück}}{\text{Tag}} \) (Produktionsrate) | \( \text{Tag} \) | \( \text{Stück} \) |
Haltung dahinter: die Einheiten „kürzen" wie Zahlen
Schreib die Einheit als Bruch und kürze. Beispiel Geschwindigkeit: \( \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m} \) — die Sekunden heben sich weg, übrig bleibt Meter, also ein Weg. Das ist kein Zufall, sondern spiegelt die Bedeutung: Tempo (Meter pro Sekunde) über eine Zeitspanne (Sekunden) ergibt eine zurückgelegte Strecke (Meter). Wenn du die Einheit nicht „auskürzen" kannst, stimmt meist deine Deutung der Aufgabe nicht.
Sachaufgabe 1: Wasserbecken mit wechselndem Zufluss
Anforderungsbereich AB II
In ein Becken fließt Wasser, dann sickert es wieder heraus. Die Zuflussrate wird modelliert durch
\[ r(t) = 6 - 2t \quad \left(\text{in } \tfrac{\text{m}^3}{\text{h}}, \; 0 \le t \le 4\right). \]
Positives \( r \) bedeutet Zufluss, negatives \( r \) bedeutet Abfluss. Zu Beginn sind \( 5\,\text{m}^3 \) im Becken.
Aufgabe (a): Wie viel Wasser ist nach 3 Stunden insgesamt zugeflossen? Aufgabe (b): Wie groß ist die Gesamtänderung des Wasserstands über die volle Zeit \( [0,4] \), und wie viel Wasser ist dann im Becken?
Lösung Teil (a) — reiner Zufluss bis t = 3
AB II
Bis \( t = 3 \) ist \( r(t) = 6 - 2t \ge 0 \) (denn \( 6 - 2t = 0 \) erst bei \( t = 3 \)). Also fließt hier nur zu, und die zugeflossene Menge ist das Integral der Rate:
\[ \int_{0}^{3} (6 - 2t)\,dt = \Big[\,6t - t^2\,\Big]_{0}^{3} = (18 - 9) - (0 - 0) = 9 \;\text{m}^3. \]
Es sind also 9 m³ zugeflossen.
Schritt für Schritt: wie ich die Stammfunktion bilde
Ich brauche eine Funktion \( R \) mit \( R'(t) = 6 - 2t \). Term für Term mit der Potenzregel für Stammfunktionen (\( t^n \to \tfrac{1}{n+1}t^{n+1} \)):
- aus \( 6 \) wird \( 6t \) (denn \( (6t)' = 6 \)),
- aus \( -2t \) wird \( -2 \cdot \tfrac{1}{2}t^2 = -t^2 \) (denn \( (-t^2)' = -2t \)).
Also \( R(t) = 6t - t^2 \). Eine additive Konstante darf ich weglassen, weil sie sich beim Einsetzen der Grenzen ohnehin weghebt.
Haltung dahinter: warum darf die Konstante weg?
Beim bestimmten Integral rechne ich \( R(b) - R(a) \). Hätte ich \( R(t) + C \) genommen, stünde da \( (R(b)+C) - (R(a)+C) = R(b) - R(a) \) — das \( C \) fällt raus. Bei der Rekonstruktion des absoluten Bestands (Teil b) ist es anders: dort ist der „Startwert" \( B(0) = 5 \) genau diese Information, die ich nicht weglassen darf.
Falle: was ist hier mit „Fläche" gemeint?
Weil \( r \) auf \( [0,3] \) nicht negativ ist, stimmt das Integral hier mit dem Flächeninhalt zwischen Kurve und \( t \)-Achse überein. Das ist nur deshalb so, weil nichts unter die Achse geht. Sobald die Rate negativ wird (Teil b), darfst du Integral und Flächeninhalt nicht mehr gleichsetzen — dazu gleich mehr.
Lösung Teil (b) — Gesamtänderung über das ganze Intervall
AB II
Die Gesamtänderung des Bestands ist das Integral der Rate über das volle Intervall — egal welches Vorzeichen die Rate hat:
\[ \int_{0}^{4} (6 - 2t)\,dt = \Big[\,6t - t^2\,\Big]_{0}^{4} = (24 - 16) - 0 = 8 \;\text{m}^3. \]
Der Wasserstand hat sich über \( [0,4] \) also um \( +8\,\text{m}^3 \) geändert. Mit dem Anfangsbestand \( B(0) = 5 \) sind nach 4 Stunden im Becken:
\[ B(4) = B(0) + \int_{0}^{4} r(t)\,dt = 5 + 8 = 13 \;\text{m}^3. \]
Haltung dahinter: warum das Integral hier kleiner ist als in Teil (a)
In Teil (a) kamen über \( [0,3] \) ganze \( 9\,\text{m}^3 \) zusammen. Über das ganze Intervall sind es aber nur \( 8\,\text{m}^3 \). Der Grund: Ab \( t = 3 \) wird \( r(t) = 6 - 2t \) negativ — es fließt wieder ab. Auf \( [3,4] \) gilt
\[ \int_{3}^{4} (6 - 2t)\,dt = \Big[\,6t - t^2\,\Big]_{3}^{4} = (24 - 16) - (18 - 9) = 8 - 9 = -1 \;\text{m}^3, \]
es geht also \( 1\,\text{m}^3 \) wieder verloren. Das Integral über \( [0,4] \) verrechnet Zufluss und Abfluss automatisch: \( 9 + (-1) = 8 \). Genau das ist die Stärke der Rekonstruktion über das Integral — Vorzeichen erledigen die Bilanz für dich.
Begründung: Gesamtänderung vs. „insgesamt geflossenes Wasser"
Würde dich jemand fragen, wie viel Wasser physisch insgesamt durch das Becken bewegt wurde (Zufluss-Betrag plus Abfluss-Betrag), müsstest du die Beträge addieren: \( 9 + 1 = 10\,\text{m}^3 \). Das wäre der Flächeninhalt \( \int_0^4 |6-2t|\,dt \). Die Gesamtänderung des Bestands ist dagegen die Bilanz \( 8\,\text{m}^3 \). In der Prüfung ist die Frage „Gesamtänderung" / „wie viel ist am Ende da" fast immer die vorzeichenbehaftete — das normale Integral. Lies die Frage genau.
Der Graph zeigt die Rate \( r(t) = 6 - 2t \). Die Fläche über der Achse (grün, bis \( t = 3 \)) ist der Zufluss, die Fläche unter der Achse (rot, ab \( t = 3 \)) der Abfluss. Die Bilanz beider ist die Gesamtänderung.
Sachaufgabe 2: vom Tempo zum Weg
Anforderungsbereich AB I–II
Ein Modellfahrzeug startet bei \( t = 0 \) aus dem Stand. Seine Geschwindigkeit wird beschrieben durch
\[ v(t) = 3t^2 \quad \left(\text{in } \tfrac{\text{m}}{\text{s}}, \; t \ge 0\right). \]
Aufgabe: Welche Strecke legt das Fahrzeug in den ersten 2 Sekunden zurück? Gib auch die Einheit an und begründe sie.
Lösung
AB I (Rechnung) · AB II (Deutung/Einheit)
Die Geschwindigkeit ist die Änderungsrate des Weges (\( v = s' \)). Der zurückgelegte Weg von \( 0 \) bis \( 2 \) ist daher das Integral der Geschwindigkeit:
\[ s = \int_{0}^{2} 3t^2 \,dt = \Big[\,t^3\,\Big]_{0}^{2} = 2^3 - 0^3 = 8 \;\text{m}. \]
Das Fahrzeug legt in 2 Sekunden 8 Meter zurück.
Schritt für Schritt: Stammfunktion und Einheit
Stammfunktion: Ich suche \( S \) mit \( S'(t) = 3t^2 \). Mit der Potenzregel wird aus \( t^2 \) der Term \( \tfrac{1}{3}t^3 \); der Faktor 3 hebt den Bruch auf: \( 3 \cdot \tfrac{1}{3}t^3 = t^3 \). Also \( S(t) = t^3 \). Probe durch Ableiten: \( (t^3)' = 3t^2 = v(t) \) ✓.
Einheit: Die Rate ist in \( \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \), integriert wird über die Zeit in \( \text{s} \). Also \( \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \cdot \text{s} = \text{m} \) — das Ergebnis ist ein Weg in Metern. Genau deshalb passt „8 m" und nicht etwa „8 m/s".
Haltung dahinter: warum ist der Weg nicht einfach „Tempo mal Zeit"?
Bei konstantem Tempo wäre Weg = Tempo · Zeit. Hier ist das Tempo aber nicht konstant — es wächst mit \( t^2 \). Anfangs ist das Fahrzeug langsam, später schnell. „Tempo mal Zeit" mit einem festen Wert würde danebenliegen. Das Integral macht genau das Richtige: Es summiert die ständig wechselnden Tempo-Werte über alle Zeitpunkte auf. Bei veränderlicher Rate ist das Integral der einzige korrekte Weg, den Gesamteffekt zu bestimmen.
Probe mit gesundem Menschenverstand
Das Durchschnittstempo zwischen \( t=0 \) (\( v=0 \)) und \( t=2 \) (\( v=3\cdot 4 = 12\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}} \)) liegt grob bei einigen \( \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \). Über 2 Sekunden ergibt das eine Strecke in der Größenordnung weniger Meter — \( 8\,\text{m} \) ist plausibel. Solche Plausibilitätsprüfungen sind in der mündlichen Prüfung Gold wert: Sie fangen Rechenfehler ab und zeigen, dass du das Ergebnis einordnen kannst.
Mini-Rezept für die Prüfung
Wenn eine Aufgabe nach Bestand oder Gesamtänderung aus einer Rate fragt, gehst du immer gleich vor:
- Erkennen: Ist die gegebene Funktion eine Rate (Tempo, Zufluss, „pro …")? Dann ist die gesuchte Gesamtgröße ein Integral.
- Grenzen festlegen: von wann bis wann? Das sind \( a \) und \( b \).
- Stammfunktion per Hand bilden (Potenzregel) und Probe durch Ableiten.
- Einsetzen: \( \big[F(t)\big]_a^b = F(b) - F(a) \).
- Startwert? Wird der absolute Bestand gefragt, addiere den Anfangswert \( B(0) \).
- Einheit angeben (Rate-Einheit · Variablen-Einheit) und Ergebnis im Sachkontext deuten.
- Vorzeichen prüfen: „Gesamtänderung/wie viel am Ende" → normales Integral (mit Vorzeichen); „insgesamt bewegte Menge / Gesamtfläche" → Beträge bzw. \( \int |r| \).
Der eine Satz, den du in der Prüfung sagen können solltest
„Das Integral der Änderungsrate über ein Intervall ist die Gesamtänderung des Bestands in diesem Intervall; den absoluten Bestand bekomme ich, indem ich den Anfangsbestand addiere." Wenn du diesen Satz frei und mit einem Beispiel sagen kannst, hast du den Kern dieses Kapitels sicher.