Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Analysis (eine Sinus-Funktion: verschieben, ableiten, Fläche), Teil 2 (Gespräch) aus der Geometrie (zwei Geraden im Raum: Lage, Abstand, Ebene). Alles ist rechnerfrei zu lösen. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
Werkzeug zum Nachschlagen: Die Analysis-Werkzeuge (Ableiten, Stammfunktion, Integral, Sinus als Grundfunktion) stehen kompakt in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Integral-Grundlagen, Stammfunktion & Hauptsatz und Grundfunktionen. Die wiederkehrenden Vektor- und Geometrie-Werkzeuge (Punkte, Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Ebenengleichung) findest du im Werkzeugkasten Geometrie.
Teil 1 — Vortrag (Analysis): Sinus-Funktion verschieben, ableiten, Fläche
Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x) = 2\cdot\sin\!\left(x - \tfrac{\pi}{2}\right) + 3 \).
a) Abbildung 1 zeigt den Graphen von \( f \). Erläutere, wie man den Graphen von \( f \) aus dem Graphen der Funktion \( g \) mit \( g(x) = \sin(x) \) erhält.
b) Eine der Abbildungen 2 und 3 zeigt den Graphen von \( f' \). Entscheide, in welcher der Abbildungen der Graph von \( f' \) dargestellt ist, und begründe deine Entscheidung. Begründe außerdem ohne Rechnung, dass \( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\,dx = 0 \) gilt.
c) Berechne das Integral \( \displaystyle\int_{0}^{\pi} \big(5 - f(x)\big)\,dx \) und interpretiere dein Ergebnis geometrisch.
d) Entscheide, ob die folgende Aussage wahr oder falsch ist, und begründe deine Entscheidung: „Eine trigonometrische Funktion ist durch die Angabe der Koordinaten eines beliebigen Hochpunktes und eines beliebigen Tiefpunktes ihres Graphen eindeutig bestimmt."
Hier ist zuerst der Graph von \( f \) (Abbildung 1). Spiele mit dem Bild und finde Hoch- und Tiefpunkte, bevor du die Lösung aufklappst.
Und hier die beiden Kandidaten für den Graphen von \( f' \). Genau einer ist richtig — entscheide selbst, bevor du aufklappst.
Teilaufgabe a) — Den Graphen aus \( \sin(x) \) erhalten
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Man liest die drei Veränderungen direkt am Funktionsterm \( f(x) = 2\cdot\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)+3 \) ab und nennt sie der Reihe nach:
- Faktor \( 2 \) vor dem Sinus → Streckung um den Faktor \( 2 \) in \( y \)-Richtung. Die Welle wird doppelt so hoch; statt zwischen \( -1 \) und \( 1 \) schwingt sie jetzt zwischen \( -2 \) und \( 2 \).
- \( \left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \) im Inneren → Verschiebung um \( \tfrac{\pi}{2} \) in \( x \)-Richtung (nach rechts).
- \( +3 \) am Ende → Verschiebung um \( 3 \) in \( y \)-Richtung (nach oben). Die Mittellinie der Welle liegt damit bei \( y=3 \), und die Welle schwingt zwischen \( 1 \) und \( 5 \).
Ergebnis: Streckung um \( 2 \) in \( y \)-Richtung, Verschiebung um \( \tfrac{\pi}{2} \) in \( x \)-Richtung, Verschiebung um \( 3 \) in \( y \)-Richtung.
Haltung dahinter: Was heißt „den Graphen aus \( g \) erhalten"? (ganz von vorn)
Zuerst, worum es überhaupt geht. \( g(x)=\sin(x) \) ist die Grundwelle: Sie kommt vom Kreis, wiederholt sich in immer gleichen Abständen (das nennt man periodisch), schwingt zwischen \( -1 \) und \( 1 \) und startet bei \( x=0 \) im Wert \( 0 \) ansteigend. Aus dieser einen Grundwelle kann man durch ein paar kleine Eingriffe jede andere Sinus-Welle bauen. Die Aufgabe verlangt, diese Eingriffe zu benennen.
Es gibt drei Stellschrauben, und man erkennt jede an einer anderen Stelle im Term:
- Eine Zahl direkt vor dem Sinus (hier die \( 2 \)) macht die Welle höher oder flacher — eine Streckung in die Höhe. Diese Zahl heißt Amplitude (das ist der Abstand von der Mittellinie bis zum höchsten Punkt). Aus Amplitude \( 1 \) wird Amplitude \( 2 \): die Welle wird doppelt so hoch.
- Eine Zahl, die innen vom \( x \) abgezogen wird (hier \( -\tfrac{\pi}{2} \)) verschiebt die ganze Welle waagerecht. Das nennt man Phasenverschiebung.
- Eine Zahl, die ganz am Ende dazukommt (hier \( +3 \)) hebt die ganze Welle nach oben. Die waagerechte Linie, um die die Welle schwingt (die Mittellinie), rutscht von \( y=0 \) auf \( y=3 \).
Eine Alltagsanalogie: Stell dir eine Schaukel vor. Die Amplitude ist, wie weit sie ausschlägt (Faktor 2 = doppelt so weit). Die Phasenverschiebung ist, wann der Schwung beginnt (etwas später). Die \( +3 \) ist die Höhe des ganzen Schaukelgerüsts über dem Boden.
… ganz langsam (mit Zahlen): woran sieht man das im Bild?
Prüfen wir die drei Eingriffe an konkreten Punkten nach.
Tiefpunkt bei \( x=0 \). Setze \( x=0 \) ein: \[ f(0) = 2\cdot\sin\!\left(0-\tfrac{\pi}{2}\right) + 3 = 2\cdot\sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) + 3. \] Nun ist \( \sin\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) = -1 \) (der Sinus ist an dieser Stelle ganz unten), also \[ f(0) = 2\cdot(-1) + 3 = -2 + 3 = 1. \] Im Bild sitzt der Graph bei \( x=0 \) tatsächlich auf seinem tiefsten Wert \( y=1 \). Das zeigt zweierlei auf einmal: die Mittellinie liegt bei \( 3 \) (\( +3 \)-Verschiebung) und die Amplitude ist \( 2 \) (von \( 3 \) bis \( 1 \) sind es \( 2 \) nach unten).
Hochpunkt bei \( x=\pi \). Der Sinus ist am höchsten (\( =1 \)), wenn sein Inneres \( \tfrac{\pi}{2} \) ist, also wenn \( x-\tfrac{\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2} \), das heißt \( x=\pi \). Dann \[ f(\pi) = 2\cdot 1 + 3 = 5. \] Im Bild liegt der Hochpunkt bei \( (\pi \mid 5) \). Passt. Dass der erste Hochpunkt erst bei \( \pi \) statt schon bei \( \tfrac{\pi}{2} \) (wie beim reinen Sinus) kommt, ist genau die Verschiebung nach rechts um \( \tfrac{\pi}{2} \).
Typische Falle: „minus heißt nach links" — falsch herum
Bei \( \left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \) denken viele „minus, also nach links". Im Inneren der Funktion ist es genau umgekehrt: Ein Abziehen verschiebt nach rechts, ein Addieren nach links. Eselsbrücke: Die Welle erreicht ihren gewohnten Wert erst, wenn das Innere wieder den alten Wert hat — und dafür muss \( x \) größer sein, also weiter rechts. (Eine Zahl außerhalb, wie das \( +3 \), verschiebt dagegen ganz normal nach oben.)
Teilaufgabe b) — Welcher Graph ist \( f' \)? Und warum ist das Integral null?
AB I AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Teil 1: Welche Abbildung zeigt \( f' \)? Der Graph von \( f' \) ist in Abbildung 2 dargestellt.
Begründung über die Steigung. Die Ableitung \( f' \) gibt an jeder Stelle die Steigung des Graphen von \( f \) an. An der Stelle \( x_1=\tfrac{\pi}{2} \) steigt der Graph von \( f \) (er ist auf dem Weg von seinem Tiefpunkt bei \( x=0 \) hinauf zum Hochpunkt bei \( x=\pi \)), hat dort also eine positive Steigung. Damit muss \( f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \gt 0 \) sein. In Abbildung 2 ist der Wert an der Stelle \( \tfrac{\pi}{2} \) tatsächlich positiv (dort liegt ein Hochpunkt bei \( +2 \)); in Abbildung 3 wäre er negativ. Also gehört Abbildung 2 zu \( f' \).
Teil 2: Warum ist \( \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\,dx = 0 \) — ohne Rechnung?
Der Graph von \( f' \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Fläche zwischen dem Graphen von \( f' \) und der \( x \)-Achse über dem Intervall \( [-\pi;\,0] \) ist deshalb genauso groß wie die über dem Intervall \( [0;\,\pi] \). Die eine liegt unterhalb, die andere oberhalb der \( x \)-Achse. Im Integral zählt die eine negativ, die andere positiv, und weil sie gleich groß sind, heben sie sich auf — das Integral ist \( 0 \).
Haltung dahinter: Was ist die Ableitung, und wie liest man an ihr „Steigung" ab?
Ableiten misst Steigung. Die Ableitung \( f' \) einer Funktion \( f \) ist selbst wieder eine Funktion. Ihr Wert an einer Stelle sagt, wie steil der Graph von \( f \) dort ist:
- \( f' \gt 0 \): der Graph von \( f \) steigt dort (geht bergauf).
- \( f' \lt 0 \): der Graph von \( f \) fällt dort (geht bergab).
- \( f'=0 \): der Graph ist dort waagerecht — typisch an Hoch- und Tiefpunkten (der „Gipfel" oder das „Tal" ist für einen Moment flach).
Genau über diese drei Regeln entscheidet man, welcher der beiden Bilder zu \( f' \) passt: Man sucht sich Stellen, an denen man die Steigung von \( f \) sicher kennt, und prüft, ob der Kandidatengraph dort den passenden Wert hat.
Der bequemste Prüfpunkt hier: \( x=\tfrac{\pi}{2} \). Dort klettert \( f \) gerade von unten nach oben — die Steigung ist klar positiv. Also muss der wahre \( f' \)-Graph dort über der \( x \)-Achse liegen. Das tut nur Abbildung 2.
Noch eine Probe: die Tiefpunkte von \( f \)
\( f \) hat einen Tiefpunkt bei \( x=0 \) (dort ist \( f(0)=1 \), der kleinste Wert). An einem Tiefpunkt ist der Graph für einen Moment waagerecht, also \( f'(0)=0 \). Beide Kandidaten gehen durch den Ursprung (Wert \( 0 \) bei \( x=0 \)) — das passt also für beide und entscheidet noch nicht. Schaut man aber kurz rechts von \( 0 \): \( f \) steigt (auf dem Weg zum Hochpunkt), also \( f' \gt 0 \) direkt nach \( 0 \). Nur Abbildung 2 ist direkt rechts von \( 0 \) positiv (sie steigt vom Ursprung an). Abbildung 3 fällt dort ins Negative — passt nicht.
Für Neugierige: \( f' \) ausgerechnet (nicht verlangt)
Mit der Kettenregel (innere Ableitung von \( x-\tfrac{\pi}{2} \) ist \( 1 \)) gilt \[ f'(x) = 2\cdot\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) = 2\sin(x). \] Das ist genau die Welle in Abbildung 2 (eine Sinuswelle mit Amplitude \( 2 \), durch den Ursprung ansteigend). Für den Vortrag genügt aber die Steigungs-Begründung oben; Ausrechnen ist nicht nötig.
Haltung dahinter: Warum ist das Integral null? (Symmetrie statt Rechnen)
Was ein Integral mit Vorzeichen macht. Das Integral \( \int_a^b f'(x)\,dx \) rechnet die Fläche zwischen dem Graphen und der \( x \)-Achse zusammen — aber mit Vorzeichen. Fläche oberhalb der Achse zählt positiv, Fläche unterhalb zählt negativ. Ein gutes Bild ist ein Bankkonto: oben = Einzahlung (\( + \)), unten = Abhebung (\( - \)). Am Ende nennt das Integral nur den Kontostand, also die Differenz.
Punktsymmetrisch zum Ursprung heißt: Dreht man den Graphen um \( 180^\circ \) um den Nullpunkt, liegt er wieder genau auf sich selbst. Für eine solche Funktion gilt: Was links vom Nullpunkt unter der Achse liegt, ist das gespiegelte Gegenstück zu dem, was rechts über der Achse liegt — gleich groß, aber mit umgekehrtem Vorzeichen.
Über \( [-\pi;0] \) liegt der \( f' \)-Graph (das ist \( 2\sin x \)) unter der Achse → negativer Beitrag. Über \( [0;\pi] \) liegt er über der Achse → positiver Beitrag, gleich groß. Eine Einzahlung und eine gleich große Abhebung ergeben Kontostand \( 0 \). Deshalb ist \( \int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\,dx = 0 \) — ohne dass man eine Stammfunktion ausrechnen muss.
Die elegante Kurzbegründung (für ein gutes Gespräch)
Es gibt noch ein zweites Argument, das sogar für jede Funktion \( f \) sofort greift: Ein Integral über die Ableitung gibt die Gesamtänderung der Ausgangsfunktion zurück: \[ \int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\,dx = f(\pi) - f(-\pi). \] Und weil \( f \) die Periode \( 2\pi \) hat, ist \( f(\pi)=f(-\pi) \) (beide Stellen liegen genau eine Periode auseinander, der Funktionswert ist gleich). Die Differenz ist dann \( 0 \). Das ist ebenfalls „ohne Rechnung" — man muss nur die Periodizität nennen. Beide Begründungen sind voll gültig; die Symmetrie-Begründung ist die im Erwartungshorizont genannte.
Typische Falle: \( f' \) mit \( f \) verwechseln
Ein häufiger Fehler ist, den Graphen von \( f \) selbst für \( f' \) zu halten. Merke: \( f' \) zeigt die Steigung von \( f \), nicht die Höhe. Dort, wo \( f \) einen Hoch- oder Tiefpunkt hat (waagerecht), muss \( f' \) durch null gehen. Diese „Nullstellen von \( f' \) unter den Extrempunkten von \( f \)" sind der schnellste Plausibilitäts-Check.
Teilaufgabe c) — Integral \( \int_0^\pi (5-f(x))\,dx \) und geometrische Deutung
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Schritt 1 — den Integranden vereinfachen. Setze \( f \) ein und fasse zusammen: \[ 5 - f(x) = 5 - \Big(2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) + 3\Big) = 2 - 2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right). \]
Schritt 2 — Stammfunktion bilden. Eine Stammfunktion von \( 2 \) ist \( 2x \). Eine Stammfunktion von \( -2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \) ist \( +2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \) (die Stammfunktion von \( \sin \) ist \( -\cos \); das doppelte Minus wird zu Plus). Also \[ F(x) = 2x + 2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) = 2\left[\,x + \cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\right]. \]
Schritt 3 — Grenzen einsetzen (Hauptsatz). \[ \int_0^\pi \big(5-f(x)\big)\,dx = 2\Big[\,x + \cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\Big]_0^\pi = 2\Big(\pi + \underbrace{\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\,0}\Big) - 2\Big(0 + \underbrace{\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)}_{=\,0}\Big) = 2\pi. \]
Ergebnis: \( \displaystyle\int_0^\pi \big(5-f(x)\big)\,dx = 2\pi \).
Geometrische Interpretation. Auf \( [0;\pi] \) liegt der Graph von \( f \) vollständig unterhalb der waagerechten Geraden \( y=5 \) (sein größter Wert \( 5 \) wird erst bei \( x=\pi \) erreicht). Deshalb ist \( 5-f(x)\ge 0 \), und das Integral misst genau die Fläche zwischen der Geraden \( y=5 \) und dem Graphen von \( f \) über dem Intervall \( [0;\pi] \). Diese Fläche hat den Inhalt \( 2\pi \) Flächeneinheiten (FE) \( \approx 6{,}28 \).
Haltung dahinter: Warum misst „\( \int(5-f) \)" eine Fläche zwischen zwei Linien?
Erst der Begriff Integral. Ein Integral \( \int_a^b (\text{Höhe})\,dx \) addiert unendlich viele hauchdünne senkrechte Streifen auf — jeder Streifen ist so hoch wie der Integrand und unendlich schmal. Ist der Integrand die Höhe zwischen zwei Linien, dann addiert das Integral die Streifen zwischen diesen Linien — und das ist die eingeschlossene Fläche.
Warum \( 5 - f(x) \) die richtige Höhe ist. An jeder Stelle \( x \) ist der senkrechte Abstand von der oberen Linie \( y=5 \) hinunter zum Graphen von \( f \) genau \( (\text{oben}) - (\text{unten}) = 5 - f(x) \). Solange \( f \) unter der \( 5 \) bleibt, ist dieser Abstand positiv, und das Aufaddieren der Streifen liefert eine echte Fläche.
Alltagsbild: \( y=5 \) ist eine waagerechte Decke, \( f \) der wellige Boden darunter. Wie viel Luft ist dazwischen? Man misst an jeder Stelle die Deckenhöhe minus Bodenhöhe (\( 5-f(x) \)) und addiert alles über \( [0;\pi] \) auf. Heraus kommt \( 2\pi \).
Schritt 2 ganz langsam: Stammfunktion von \( -2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \)
Eine Stammfunktion ist „Ableiten rückwärts": gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung wieder der Integrand ist. Zwei Bausteine:
- Von der Zahl \( 2 \): Stammfunktion ist \( 2x \) (denn \( (2x)' = 2 \)).
- Von \( -2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \): Die Stammfunktion von \( \sin(u) \) ist \( -\cos(u) \). Hier ist \( u = x-\tfrac{\pi}{2} \) (das Innere). Also ist die Stammfunktion von \( \sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \) gleich \( -\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \). Davor steht noch das \( -2 \): \[ -2 \cdot \Big(-\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)\Big) = +2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right). \] Minus mal Minus ist Plus — deshalb wird aus dem Sinus mit Minus ein Kosinus mit Plus.
Das innere \( x-\tfrac{\pi}{2} \) bleibt beim Integrieren unverändert, weil seine Ableitung \( 1 \) ist (es gibt keinen zusätzlichen Faktor zu korrigieren). Zusammen: \( F(x) = 2x + 2\cos\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right) \).
Einsetzen, Ziffer für Ziffer. Bei \( x=\pi \): \( \cos\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{2}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 \), also \( F(\pi) = 2\pi + 2\cdot 0 = 2\pi \). Bei \( x=0 \): \( \cos\!\left(0-\tfrac{\pi}{2}\right) = \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right) = 0 \), also \( F(0) = 0 + 2\cdot 0 = 0 \). Differenz: \( 2\pi - 0 = 2\pi \).
Typische Falle: Vorzeichen und „Fläche nur, wenn eine Linie oben bleibt"
Zwei Stolpersteine:
- Reihenfolge im Integranden. Man rechnet obere minus untere Linie, also \( 5 - f(x) \). Wer \( f(x) - 5 \) bildet, bekommt \( -2\pi \) — den richtigen Betrag mit falschem Vorzeichen.
- Die obere Linie muss auch wirklich oben bleiben. Das Ergebnis \( 2\pi \) ist genau dann der Flächeninhalt, wenn \( f \) auf dem ganzen Intervall \( \le 5 \) ist. Hier stimmt das (\( f \) erreicht die \( 5 \) erst am Rand \( x=\pi \)). Würde die Kurve die Gerade dazwischen kreuzen, müsste man wie bei jeder Flächenaufgabe an den Schnittstellen trennen und Beträge addieren.
Teilaufgabe d) — Wahr oder falsch: Hochpunkt + Tiefpunkt bestimmen die Funktion?
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Die Aussage ist falsch.
Begründung. Ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt legen zwar die Amplitude (über den Höhenunterschied) und die Mittellinie fest, aber nicht die Periode. Zwischen einem gegebenen Hochpunkt und einem gegebenen Tiefpunkt können beliebig viele weitere Extrempunkte liegen — die Welle kann auf demselben Weg einmal, dreimal, fünfmal … durchschwingen. Jede dieser Möglichkeiten gehört zu einer anderen Periode und damit zu einer anderen Funktion, die trotzdem durch genau denselben Hoch- und denselben Tiefpunkt verläuft. Die Funktion ist also nicht eindeutig bestimmt.
Haltung dahinter: Was legt eine Sinus-Welle eindeutig fest? (ganz von vorn)
Eine allgemeine Sinus-Funktion hat die Form \[ y = a\cdot\sin\!\big(b\,(x - c)\big) + d, \] mit vier Stellschrauben:
- \( a \) — Amplitude: wie hoch die Welle ausschlägt (halbe Höhe von Tief bis Hoch).
- \( d \) — Mittellinie: die waagerechte Linie, um die geschwungen wird.
- \( b \) — Frequenz/Periode: wie eng die Wellen stehen (große \( b \) → schnelle, enge Wellen).
- \( c \) — Phasenverschiebung: wo die Welle waagerecht beginnt.
Um die Funktion eindeutig zu kennen, muss man alle vier Schrauben festlegen. Schauen wir, was ein Hochpunkt \( H \) und ein Tiefpunkt \( T \) hergeben:
- Ihre \( y \)-Werte liefern Amplitude und Mittellinie: \( d \) ist der Mittelwert der beiden Höhen, \( a \) ist ihr halber Abstand. Diese zwei Schrauben sind also bestimmt.
- Ihre \( x \)-Werte sagen nur, dass zwischen \( H \) und \( T \) ein ungerades Vielfaches einer halben Periode liegt (von einem Gipfel zum nächsten Tal ist es eine halbe Periode, zum übernächsten Tal anderthalb Perioden, usw.). Das lässt viele Perioden zu — die Schrauben \( b \) und \( c \) bleiben offen.
Weil \( b \) (und damit auch \( c \)) nicht festliegt, gibt es unendlich viele Funktionen mit demselben \( H \) und \( T \). Die Aussage ist deshalb falsch.
… ganz langsam (mit Zahlen): ein konkretes Gegenbeispiel
Nimm den Hochpunkt \( H(0 \mid 1) \) und den Tiefpunkt \( T(\pi \mid -1) \) (Amplitude \( 1 \), Mittellinie \( 0 \)).
- Möglichkeit A: \( H \) und \( T \) liegen eine halbe Periode auseinander. Dann ist die Periode \( 2\pi \), und die Funktion ist \( y = \cos(x) \): bei \( x=0 \) oben (\( =1 \)), bei \( x=\pi \) unten (\( =-1 \)). ✓
- Möglichkeit B: \( H \) und \( T \) liegen anderthalb Perioden auseinander. Dann ist die Periode \( \tfrac{2}{3}\pi \), und die Funktion ist \( y = \cos(3x) \): bei \( x=0 \) wieder oben (\( =1 \)), bei \( x=\pi \) wieder unten (\( \cos(3\pi)=-1 \)). ✓ Dazwischen schwingt sie aber noch zweimal extra durch.
Beide Funktionen — \( \cos(x) \) und \( \cos(3x) \) — gehen durch genau denselben Hoch- und Tiefpunkt, sind aber verschieden. Damit ist gezeigt: zwei Punkte dieser Art bestimmen die Funktion nicht eindeutig.
Typische Falle: „zwei Punkte legen doch alles fest"
Bei einer Geraden stimmt das (zwei Punkte → genau eine Gerade). Bei einer periodischen Funktion nicht: Das Wesen der Welle ist ihre Wiederholung, und gerade die Wiederholrate (die Periode) bleibt durch zwei Extrempunkte unbestimmt. Wer „falsch" sagt, sollte deshalb das Stichwort Periode / weitere Extrempunkte dazwischen nennen — daran erkennt die Prüferin die echte Begründung.
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) Streckung um \( 2 \) in \( y \)-Richtung, Verschiebung um \( \tfrac{\pi}{2} \) in \( x \)-Richtung (nach rechts), Verschiebung um \( 3 \) in \( y \)-Richtung (nach oben).
- b) \( f' \) ist Abbildung 2 (denn \( f \) steigt bei \( x=\tfrac{\pi}{2} \), also \( f'\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) \gt 0 \)). Das Integral ist \( 0 \), weil der \( f' \)-Graph punktsymmetrisch ist und sich die gleich großen Flächen ober- und unterhalb der Achse aufheben.
- c) \( \int_0^\pi (5-f)\,dx = 2\pi \) FE = Fläche zwischen \( y=5 \) und dem Graphen von \( f \) über \( [0;\pi] \).
- d) Falsch — Hoch- und Tiefpunkt legen die Periode nicht fest; dazwischen können beliebig viele weitere Extrempunkte liegen.
Teil 2 — Gespräch (Geometrie): Geraden im Raum — Lage, Abstand, Ebene
Input. \[ \text{Gerade } g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} + t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\quad (t\in\mathbb{R}); \qquad \text{Gerade } h \text{ durch } A(2\,|\,5\,|\,-2)\ \text{und}\ B(6\,|\,2\,|\,-2). \]
Im Gespräch denkbare Aspekte: (AB I) eine Gleichung der Geraden \( h \) ermitteln; alle Bestandteile der Geradengleichung von \( g \) geometrisch deuten; eine Punktprobe durchführen; weitere Gleichungen von \( g \) angeben. (AB II) die gegenseitige Lage von \( g \) und \( h \) bestimmen; eine weitere Gerade ermitteln, die parallel zu \( g \) ist und \( h \) schneidet; Punkte auf \( g \) bestimmen, die vom Punkt \( P(1\,|\,-2\,|\,3) \) den Abstand \( 6 \) haben. (AB III) eine Gleichung der Ebene \( E \) bestimmen, die \( g \) enthält und parallel zu \( h \) liegt; eine Gleichung der Geraden durch einen gegebenen Punkt ermitteln, die \( g \) orthogonal schneidet.
Vorab, in einem Satz, was eine „Gerade im Raum" ist: Eine Gerade gibt man durch einen Punkt darauf (den Stützpunkt, ein fester Startort) und eine Richtung (den Richtungsvektor, ein Pfeil, der sagt, wohin die Gerade läuft) an. Der Parameter \( t \) ist ein Drehregler: Für jeden Wert von \( t \) bekommt man genau einen Punkt der Geraden; lässt man \( t \) über alle Zahlen laufen, durchläuft man die ganze Gerade. Alle Vektor-Werkzeuge stehen kompakt im Werkzeugkasten Geometrie.
So liegen die beiden Geraden zueinander (schematische Darstellung):
AB I — Gleichung von \( h \), Bestandteile von \( g \), Punktprobe, weitere Gleichungen
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Eine Gleichung der Geraden \( h \). \( h \) ist durch zwei Punkte gegeben. Als Richtungsvektor nimmt man den Verbindungspfeil „Ziel minus Start": \[ \overrightarrow{AB} = B - A = \begin{pmatrix}6\\2\\-2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}. \] Als Stützpunkt nimmt man einen der beiden Punkte, etwa \( A \): \[ h:\ \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix} + s\cdot\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix}\quad (s\in\mathbb{R}). \]
Geometrische Deutung der Bestandteile von \( g \). In \( \vec{x} = \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \) bedeutet:
- Stützvektor \( \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} \): der Ortsvektor zu einem festen Punkt \( P(1\,|\,-2\,|\,3) \) auf der Geraden — der „Ankerpunkt". Für \( t=0 \) ist man genau dort.
- Richtungsvektor \( \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \): der „Schritt" entlang der Geraden. Von jedem Geradenpunkt aus landet man durch Addieren dieses Pfeils wieder auf der Geraden; er legt die Richtung fest. Seine Länge ist \( 3 \) (siehe AB II), das heißt: erhöht man \( t \) um \( 1 \), bewegt man sich \( 3 \) Längeneinheiten weiter.
- Parameter \( t\in\mathbb{R} \): der Drehregler. Jeder Wert von \( t \) wählt genau einen Geradenpunkt; \( t \gt 0 \) und \( t \lt 0 \) gehen in die beiden Richtungen, und alle \( t \) zusammen ergeben die ganze unendliche Gerade.
Punktprobe. Eine Punktprobe prüft, ob ein Punkt auf der Geraden liegt. Beispiel mit \( Q(3\,|\,-6\,|\,7) \): Man verlangt \( Q = P + t\,\vec{u} \), also je Zeile: \[ 3 = 1 + t,\qquad -6 = -2 - 2t,\qquad 7 = 3 + 2t. \] Aus der ersten Zeile \( t=2 \); eingesetzt: zweite Zeile \( -2-2\cdot 2 = -6 \) ✓, dritte Zeile \( 3+2\cdot 2 = 7 \) ✓. Alle drei Zeilen geben dasselbe \( t \) → \( Q \) liegt auf \( g \). Gegenprobe mit \( R(2\,|\,0\,|\,5) \): erste Zeile \( 2=1+t \Rightarrow t=1 \), aber zweite Zeile \( -2-2\cdot 1 = -4 \neq 0 \) → Widerspruch, \( R \) liegt nicht auf \( g \).
Weitere Gleichungen von \( g \). Dieselbe Gerade kann man mit einem anderen Stützpunkt und/oder einem anderen (parallelen) Richtungsvektor schreiben. Zum Beispiel der Geradenpunkt für \( t=-1 \) ist \( (0\,|\,0\,|\,1) \), und ein gestreckter Richtungsvektor ist \( \begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix} \): \[ g:\ \vec{x} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}\quad (r\in\mathbb{R}). \]
Haltung dahinter: Punkt, Vektor, Richtungsvektor — ganz von vorn
Punkt und Vektor. Ein Punkt ist ein Ort im Raum, angegeben durch drei Zahlen \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \). Ein Vektor ist ein Pfeil — eine Bewegung mit Richtung und Länge. Den Pfeil vom Punkt \( A \) zum Punkt \( B \) schreibt man \( \overrightarrow{AB} \) und rechnet ihn als „Ziel minus Start" aus, also \( B - A \). Man zieht jede Koordinate einzeln ab: \( (6,2,-2)-(2,5,-2) = (4,-3,0) \).
Warum „Punkt + Richtung" eine Gerade beschreibt. Stell dir vor, du stehst an einem festen Ort (Stützpunkt) und gehst immer wieder denselben Schritt (Richtungsvektor) — vorwärts und rückwärts. Alle Orte, die du so erreichst, bilden eine gerade Linie. Der Parameter \( t \) zählt, wie viele Schritte (auch halbe oder negative) du gehst.
Warum ist die Gleichung nicht eindeutig? Man darf an einem anderen Geradenpunkt starten (jeder Punkt der Geraden taugt als Stützpunkt) und man darf einen längeren oder gespiegelten Schritt wählen, solange er dieselbe Richtung behält (also ein Vielfaches von \( \vec{u} \) ist). Die gezeichnete Linie bleibt dieselbe. Deshalb gibt es unendlich viele richtige Gleichungen derselben Geraden.
Warum entscheidet eine Punktprobe „alle drei Zeilen gleich"?
Damit \( Q \) auf \( g \) liegt, muss es ein einziges \( t \) geben, das gleichzeitig alle drei Koordinaten trifft. Man rechnet \( t \) aus der bequemsten Zeile aus und setzt es zur Probe in die anderen ein. Stimmen alle, gehört der Punkt zur Geraden. Scheitert auch nur eine Zeile (wie bei \( R \)), liegt der Punkt daneben. Das ist dieselbe Logik wie „eine Adresse muss in Straße, Hausnummer und Stadt passen" — eine falsche Angabe genügt, und es ist die falsche Tür.
AB II — Gegenseitige Lage, parallele Schnittgerade, Abstand 6
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Gegenseitige Lage von \( g \) und \( h \). Zwei Schritte: erst Richtungen vergleichen, dann auf Schnittpunkt prüfen.
Sind die Richtungen parallel? \( \vec{u}=\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} \) und \( \vec{v}=\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix} \). Ein Vielfaches müsste in allen Zeilen mit demselben Faktor klappen — aber \( \tfrac{1}{4}\neq\tfrac{-2}{-3} \), und in der dritten Zeile steht \( 2 \) gegen \( 0 \). Nicht parallel.
Schneiden sie sich? Setze \( g=h \) gleich, das gibt drei Gleichungen: \[ 1 + t = 2 + 4s\quad(\text{I}),\qquad -2 - 2t = 5 - 3s\quad(\text{II}),\qquad 3 + 2t = -2\quad(\text{III}). \] Aus (III): \( 3+2t=-2 \Rightarrow t=-\tfrac{5}{2} \). In (I): \( 1-\tfrac{5}{2} = 2 + 4s \Rightarrow -\tfrac{3}{2}=2+4s \Rightarrow s=-\tfrac{7}{8} \). Diese Werte zur Probe in (II): linke Seite \( -2-2\cdot\!\left(-\tfrac{5}{2}\right) = -2+5 = 3 \), rechte Seite \( 5-3\cdot\!\left(-\tfrac{7}{8}\right) = 5+\tfrac{21}{8} = \tfrac{61}{8} \). Wegen \( 3 \neq \tfrac{61}{8} \) gibt es keine gemeinsame Lösung — kein Schnittpunkt.
Richtungen nicht parallel und kein Schnittpunkt → die Geraden sind windschief.
Eine weitere Gerade, parallel zu \( g \), die \( h \) schneidet. Man nimmt die Richtung von \( g \) (damit ist die neue Gerade parallel zu \( g \)) und als Stützpunkt einen Punkt auf \( h \) (damit schneidet sie \( h \) garantiert dort). Mit \( A(2\,|\,5\,|\,-2)\in h \): \[ k:\ \vec{x} = \begin{pmatrix}2\\5\\-2\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}. \] \( k \) ist parallel zu \( g \) (gleiche Richtung) und schneidet \( h \) im Punkt \( A \). (\( A \) liegt nicht auf \( g \), also ist \( k \) wirklich eine andere Gerade als \( g \).)
Punkte auf \( g \) mit Abstand \( 6 \) von \( P(1\,|\,-2\,|\,3) \). Der Punkt \( P \) ist genau der Stützpunkt von \( g \). Ein allgemeiner Geradenpunkt ist \( X(t)=P+t\,\vec{u} \), und der Verbindungspfeil ist \[ \overrightarrow{PX} = X(t)-P = t\cdot\vec{u} = t\cdot\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}. \] Seine Länge ist \[ \big|\overrightarrow{PX}\big| = |t|\cdot|\vec{u}| = |t|\cdot\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2} = |t|\cdot\sqrt{9} = 3\,|t|. \] Bedingung \( 3|t|=6 \Rightarrow |t|=2 \Rightarrow t=\pm 2 \). Einsetzen: \[ t=2:\ X = \begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} = (3\,|\,-6\,|\,7),\qquad t=-2:\ X = (-1\,|\,2\,|\,-1). \] Die gesuchten Punkte sind \( (3\,|\,-6\,|\,7) \) und \( (-1\,|\,2\,|\,-1) \).
Haltung dahinter: Was heißt „windschief", und wie misst man Abstände? (ganz von vorn)
Vier Lagen, die zwei Geraden im Raum haben können. Anders als in der Ebene (wo sich zwei Geraden entweder schneiden oder parallel sind) gibt es im Raum vier Fälle:
- identisch (dieselbe Linie),
- parallel (gleiche Richtung, treffen sich nie),
- schneidend (kreuzen sich in genau einem Punkt),
- und — nur im Raum möglich — windschief: verschiedene Richtungen und treffen sich nie. Bild: zwei Stromkabel in unterschiedlicher Höhe, die über Kreuz verlaufen, ohne sich zu berühren.
Der Prüf-Fahrplan ist genau die Reihenfolge oben: Erst die Richtungen vergleichen (parallel oder nicht), dann (falls nicht parallel) auf Schnittpunkt prüfen, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Klappt es nicht, sind sie windschief.
Warum genügt die dritte Zeile, um den Widerspruch zu finden?
Beim Gleichsetzen entstehen drei Gleichungen, aber nur zwei Unbekannte (\( t \) und \( s \)). Zwei Gleichungen reichen, um \( t \) und \( s \) auszurechnen. Die dritte Gleichung ist dann eine Probe: Passt sie auch, schneiden sich die Geraden; passt sie nicht, gibt es keinen gemeinsamen Punkt. Hier war Zeile (III) besonders bequem, weil \( h \) in der dritten Koordinate konstant \( -2 \) ist (kein \( s \)) — daraus fiel \( t \) sofort heraus. Die übrig bleibende Probe in (II) schlug fehl → windschief.
Länge eines Pfeils im Raum — und warum hier so bequem
Die Länge eines Vektors \( (a,b,c) \) ist der Abstand zwischen Start und Ziel und folgt aus dem Satz des Pythagoras in drei Dimensionen: jede Zahl quadrieren, addieren, Wurzel ziehen, \( \sqrt{a^2+b^2+c^2} \). Für \( \vec{u}=(1,-2,2) \): \( 1+4+4=9 \), also \( |\vec{u}|=\sqrt{9}=3 \) — eine glatte Zahl.
Das macht den Abstand bequem: Weil \( P \) der Stützpunkt ist, ist der Verbindungspfeil zu einem Geradenpunkt genau \( t\cdot\vec{u} \), und sein Betrag ist \( |t|\cdot 3 \). Aus \( 3|t|=6 \) folgt sofort \( |t|=2 \). Das \( |t| \) (Betrag) sorgt dafür, dass es zwei Lösungen gibt — eine in jede Richtung (\( t=+2 \) und \( t=-2 \)), denn beide liegen gleich weit von \( P \) entfernt.
Typische Falle: nur eine Richtung mitnehmen
Wer aus \( 3|t|=6 \) nur \( t=2 \) liest und das \( t=-2 \) vergisst, findet nur den halben Punkt. Abstandsbedingungen führen über den Betrag fast immer auf zwei symmetrische Lösungen — beide angeben.
AB III — Ebene durch \( g \) parallel zu \( h \), orthogonale Schnittgerade
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Ebene \( E \), die \( g \) enthält und parallel zu \( h \) liegt. Eine Ebene wird von zwei Richtungen aufgespannt. \( E \) soll \( g \) enthalten → sie nimmt die Richtung von \( g \), \( \vec{u}=(1,-2,2) \), und einen Punkt von \( g \), z. B. \( P(1\,|\,-2\,|\,3) \). \( E \) soll parallel zu \( h \) sein → sie nimmt zusätzlich die Richtung von \( h \), \( \vec{v}=(4,-3,0) \).
Für die Koordinatengleichung braucht man einen Normalenvektor \( \vec{n} \), der auf beiden Spannrichtungen senkrecht steht. Den liefert das Kreuzprodukt \( \vec{n}=\vec{u}\times\vec{v} \): \[ \vec{n} = \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\-3\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-2)\cdot 0 - 2\cdot(-3)\\[2pt] 2\cdot 4 - 1\cdot 0\\[2pt] 1\cdot(-3) - (-2)\cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\8\\5\end{pmatrix}. \] Die rechte Seite bestimmt man durch Einsetzen des Ebenenpunkts \( P \): \( 6\cdot 1 + 8\cdot(-2) + 5\cdot 3 = 6-16+15 = 5 \). Also \[ E:\quad 6x_1 + 8x_2 + 5x_3 = 5. \] Proben: Ein zweiter Punkt von \( g \), \( Q(3\,|\,-6\,|\,7) \): \( 18-48+35=5 \) ✓ (\( g \) liegt in \( E \)). Und \( \vec{n}\cdot\vec{v} = 24-24+0 = 0 \) ✓ — \( h \) verläuft parallel zur Ebene. Setzt man \( A(2\,|\,5\,|\,-2) \) ein: \( 12+40-10 = 42 \neq 5 \) — \( h \) liegt nicht in \( E \), ist also echt parallel zu \( E \).
Gerade durch einen gegebenen Punkt, die \( g \) orthogonal schneidet. Das Verfahren (Lotgerade / Lotfußpunkt):
- Allgemeiner Geradenpunkt \( X(t) = P + t\,\vec{u} \) auf \( g \).
- Verbindungspfeil vom gegebenen Punkt \( R \) zu \( X(t) \): \( \overrightarrow{RX} = X(t) - R \).
- Orthogonalität verlangen: \( \overrightarrow{RX}\cdot\vec{u} = 0 \). Diese eine Gleichung nach \( t \) auflösen liefert den Lotfußpunkt \( F=X(t) \) — den Punkt auf \( g \), an dem der Verbindungspfeil senkrecht zu \( g \) steht.
- Die gesuchte Gerade verläuft durch \( R \) und \( F \), Richtung \( \overrightarrow{RF} \).
Im Original sind für \( R \) keine Koordinaten angegeben; deshalb hier ein selbst gewähltes Beispiel, um das Verfahren vollständig durchzurechnen — mit jedem anderen gegebenen Punkt läuft es identisch ab. Beispiel \( R(6\,|\,-4\,|\,3) \): \[ X(t)-R = \begin{pmatrix}1+t-6\\-2-2t+4\\3+2t-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}t-5\\2-2t\\2t\end{pmatrix},\qquad (X(t)-R)\cdot\vec{u} = (t-5) + (2-2t)(-2) + (2t)(2). \] Ausmultipliziert: \( (t-5) + (-4+4t) + 4t = 9t - 9 \). Gleich null: \( 9t-9=0 \Rightarrow t=1 \). Also \[ F = X(1) = (2\,|\,-4\,|\,5),\qquad \overrightarrow{RF} = F-R = \begin{pmatrix}-4\\0\\2\end{pmatrix}\ \parallel\ \begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}. \] Die orthogonale Schnittgerade lautet \[ m:\ \vec{x} = \begin{pmatrix}6\\-4\\3\end{pmatrix} + r\cdot\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}. \] Probe: \( \overrightarrow{RF}\cdot\vec{u} = (-4)\cdot 1 + 0\cdot(-2) + 2\cdot 2 = 0 \) ✓ (steht senkrecht auf \( g \)), und \( m \) trifft \( g \) im Punkt \( F(2\,|\,-4\,|\,5) \).
Haltung dahinter: Normalenvektor, Kreuzprodukt, „senkrecht schneiden"
Ebene und Normalenvektor. Eine Ebene ist eine vollkommen flache, unendlich ausgedehnte Fläche (wie eine unendliche Tischplatte). Ein Normalenvektor ist ein Pfeil, der senkrecht auf dieser Fläche steht — wie ein Fahnenmast, der gerade aus dem Boden ragt. Sein Nutzen: Seine drei Zahlen sind genau die Koeffizienten \( n_1,n_2,n_3 \) in der Koordinatengleichung \( n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d \). Kennt man \( \vec{n} \) und einen Punkt der Ebene, hat man die ganze Gleichung (die rechte Seite \( d \) kommt aus dem Einsetzen des Punktes).
Warum das Kreuzprodukt? Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist eine feste Rechenvorschrift, deren Ergebnis ein neuer Pfeil ist, der auf beiden Ausgangspfeilen senkrecht steht. Wir füttern es mit den zwei Spannrichtungen der Ebene (\( \vec{u} \) und \( \vec{v} \)) und bekommen automatisch den Normalenvektor. Das Rechenschema steht im Werkzeugkasten Geometrie.
Was „parallel zu \( h \)" für die Ebene heißt. Die Richtung von \( h \) muss in der Ebene „liegen können", also senkrecht zum Normalenvektor stehen: \( \vec{n}\cdot\vec{v}=0 \). Das haben wir geprüft (\( 24-24+0=0 \)). Damit \( h \) wirklich neben der Ebene liegt und nicht in ihr, prüft man einen Punkt von \( h \): \( A \) erfüllt die Gleichung nicht (\( 42\neq 5 \)), also ist \( h \) echt parallel.
„Orthogonal schneiden". Zwei Geraden schneiden sich orthogonal, wenn sie sich in einem Punkt treffen und ihre Richtungen einen rechten Winkel bilden. „Rechter Winkel zwischen Pfeilen" prüft man mit dem Skalarprodukt: ist es \( 0 \), stehen die Pfeile senkrecht aufeinander. Genau das verlangt Schritt 3: \( \overrightarrow{RX}\cdot\vec{u}=0 \) sucht den einen Geradenpunkt \( F \), für den der Verbindungspfeil senkrecht zu \( g \) zeigt — den Lotfußpunkt (den „kürzesten Draht" von \( R \) zur Geraden).
… ganz langsam (mit Zahlen): das Skalarprodukt im Beispiel
Das Skalarprodukt zweier Pfeile rechnet man, indem man die Koordinaten paarweise multipliziert und addiert: \( (a_1,a_2,a_3)\cdot(b_1,b_2,b_3) = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \). Hier mit \( \overrightarrow{RX}=(t-5,\,2-2t,\,2t) \) und \( \vec{u}=(1,-2,2) \):
- \( (t-5)\cdot 1 = t-5 \).
- \( (2-2t)\cdot(-2) = -4 + 4t \) (Vorsicht: \( -2t\cdot(-2) = +4t \), Minus mal Minus ist Plus).
- \( (2t)\cdot 2 = 4t \).
Summe: \( (t-5) + (-4+4t) + 4t = t + 4t + 4t - 5 - 4 = 9t - 9 \). Das soll \( 0 \) sein, also \( 9t=9 \), \( t=1 \). Der Lotfußpunkt liegt damit beim Parameter \( t=1 \), das ist \( F(2|-4|5) \).
Hinweis: ohne konkreten Punkt \( R \) bleibt es beim Verfahren
Das Aufgabenbeispiel nennt nur „einen gegebenen Punkt", ohne Zahlen. Die volle Antwort ist deshalb das Verfahren (Schritte 1–4). Sobald ein Punkt \( R(r_1|r_2|r_3) \) konkret vorliegt, setzt man ihn in \( \overrightarrow{RX}\cdot\vec{u}=0 \) ein, löst nach \( t \) auf, erhält den Fußpunkt \( F \) und schreibt die Gerade durch \( R \) mit Richtung \( \overrightarrow{RF} \) — genau wie im Beispiel mit \( R(6|-4|3) \) vorgeführt.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Teilaufgabe, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Analysis) aufklappen
- a) Graph aus \( \sin(x) \). Erwartet werden drei Veränderungen: Streckung um 2 (Höhe), Verschiebung um \( \tfrac{\pi}{2} \) nach rechts (waagerecht), Verschiebung um 3 nach oben. Rückfrage: „In welche Richtung verschiebt das \( -\tfrac{\pi}{2} \) im Inneren — links oder rechts?" (Richtig: rechts.) Rote Flagge: nur „nach links verschoben".
- b) Welcher Graph ist \( f' \) / Integral null. Erwartet: Abbildung 2, begründet über die positive Steigung von \( f \) bei \( x=\tfrac{\pi}{2} \) (also \( f' \gt 0 \) dort). Beim Integral: Punktsymmetrie des \( f' \)-Graphen → gleich große Flächen ober- und unterhalb der Achse heben sich auf. Rückfrage: „Woran erkennen Sie, dass an dieser Stelle \( f' \) positiv sein muss?" Rote Flagge: \( f' \) mit \( f \) verwechselt.
- c) Integral \( \int_0^\pi(5-f) \). Erwartet: Ergebnis \( 2\pi \) und die Deutung als Fläche zwischen der Geraden \( y=5 \) und dem Graphen von \( f \) über \( [0;\pi] \). Rückfrage: „Warum ist das Ergebnis hier wirklich eine Fläche und keine Differenz mit Vorzeichen?" (Antwort: weil \( f \) dort durchgehend unter \( 5 \) liegt.)
- d) Wahr/falsch. Erwartet: falsch, weil Hoch- und Tiefpunkt die Periode nicht festlegen (beliebig viele weitere Extrempunkte dazwischen möglich). Rückfrage: „Was an der Funktion bleibt durch die zwei Punkte unbestimmt?" (Antwort: die Periode.) Rote Flagge: „wahr" mit Verweis auf „zwei Punkte legen immer alles fest" (das gilt nur für Geraden).
Leitfaden Teil 2 (Geometrie) aufklappen
- AB I — \( h \), Deutung von \( g \), Punktprobe, weitere Gleichungen. Erwartet: \( h:\ \vec{x}=(2|5|-2)+s\,(4|-3|0) \); Deutung Stützpunkt = fester Ort, Richtungsvektor = Schritt, \( t \) = Drehregler; Punktprobe alle drei Zeilen mit demselben \( t \); weitere Gleichung mit anderem Stützpunkt/Vielfachem der Richtung. Rückfrage: „Warum gibt es mehrere richtige Gleichungen für dieselbe Gerade?"
- AB II — Lage, parallele Schnittgerade, Abstand 6. Erwartet: windschief (Richtungen nicht parallel und kein Schnittpunkt — Widerspruch in der Probe-Zeile); Schnittgerade = Richtung von \( g \) + Stützpunkt auf \( h \); Abstandspunkte \( (3|-6|7) \) und \( (-1|2|-1) \) über \( 3|t|=6 \). Rückfrage: „Warum gibt es zwei Punkte mit Abstand 6?" (Antwort: zwei Richtungen entlang \( g \).) Rote Flagge: nur einen der beiden Punkte nennen.
- AB III — Ebene, orthogonale Gerade. Erwartet: \( E:\ 6x_1+8x_2+5x_3=5 \) über Kreuzprodukt \( \vec{u}\times\vec{v} \) + Punktprobe, plus Kontrolle \( \vec{n}\cdot\vec{v}=0 \); bei der orthogonalen Geraden das Lotfußpunkt-Verfahren (\( \overrightarrow{RX}\cdot\vec{u}=0 \)). Hinweis für dich: Für die orthogonale Gerade gibt das Original keinen Punkt vor — ein sauber beschriebenes Verfahren (gern mit Beispielpunkt) ist die volle Antwort. Rückfrage: „Womit prüfen Sie, dass zwei Geraden senkrecht aufeinander stehen?" (Antwort: Skalarprodukt = 0.)
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Welche drei Veränderungen führen von \( \sin(x) \) zu \( f(x)=2\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{2}\right)+3 \), und in welche Richtung verschiebt das \( -\tfrac{\pi}{2} \)?
- Woran entscheidest du, welcher Graph \( f' \) ist — und warum ist \( \int_{-\pi}^{\pi} f'\,dx = 0 \), ohne zu rechnen?
- Was misst \( \int_0^\pi (5-f(x))\,dx \) geometrisch, und warum ist das hier eine echte Fläche?
- Warum bestimmen ein Hochpunkt und ein Tiefpunkt eine trigonometrische Funktion nicht eindeutig?
- Wie prüfst du, ob zwei Geraden im Raum windschief sind — und wie findest du die Punkte auf \( g \) mit Abstand 6 von \( P \)?
- Wie kommst du auf die Ebene durch \( g \), die parallel zu \( h \) ist, und womit erkennst du, dass zwei Geraden sich orthogonal schneiden?