Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Analysis, Teil 2 (Gespräch) aus der Geometrie. Alles ist rechnerfrei zu lösen. Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
Werkzeug zum Nachschlagen: Die wiederkehrenden Analysis-Werkzeuge (Ableiten, Stammfunktion, Integral, Randverhalten) stehen in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Integral-Grundlagen, Stammfunktion & Hauptsatz, Grundfunktionen und Grenzwerte & Randverhalten. Die Vektor- und Ebenen-Werkzeuge (Punkte, Vektoren, Länge, Skalarprodukt, Kreuzprodukt, Ebenengleichung, Hesse-Normalform) findest du kompakt im Werkzeugkasten Geometrie.
Teil 1 — Vortrag (Analysis): Geschwindigkeit von Auto und Motorrad
Die Geschwindigkeit eines Autos auf einer Teststrecke wird beschrieben durch eine Funktion \( f \) mit \( f(x) = 24 + 24\cdot e^{-0{,}08x} \), \( 0 \le x \le 60 \) (\( x \) in Sekunden, \( f(x) \) in Meter pro Sekunde).
a) Berechne \( f(0) \) und \( f'(0) \) und \( \displaystyle\int_0^{60} f(x)\,dx \). Deute diese Werte im Sachzusammenhang.
Das Auto und ein Motorrad befinden sich zum Zeitpunkt \( x=0 \) nebeneinander und fahren in den nächsten 60 Sekunden in die gleiche Richtung. Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion \( f \) und den Graphen der Funktion \( g \), die die Geschwindigkeit des Motorrads beschreibt.
b) Beschreibe die Bewegungen des Autos und des Motorrads.
c) Abbildung 2 stellt für einen Ausschnitt der Fahrt den Abstand der beiden Fahrzeuge dar. Beschreibe, wie man die \( x \)-Koordinate des Punktes \( H \) mithilfe von Abbildung 1 ermitteln kann. Entscheide, ob die \( y \)-Koordinate von \( H \) größer als 500 ist, und begründe deine Entscheidung.
d) Das Motorrad überholt das Auto zum Zeitpunkt \( x_0 \). Bestimme eine Gleichung, mit der man bei gegebenem Funktionsterm von \( g \) den Zeitpunkt \( x_0 \) berechnen kann.
Hier sind die beiden Graphen aus Abbildung 1 (Geschwindigkeiten) und Abbildung 2 (Abstand). Spiele mit den Bildern, bevor du die Lösungen aufklappst.
Hinweis zu den Bildern. Der Term von \( g \) ist in der Aufgabe nicht gegeben. Die gestrichelte Kurve ist nur schematisch so gezeichnet, dass sie zu Abbildung 1 im Original passt (Start bei \( 0 \), nähert sich \( 40 \), kreuzt \( f \) bei \( x \approx 12 \)). Für die Lösung brauchst du den Term von \( g \) nirgends — du liest aus dem Bild nur ab.
Teilaufgabe a) — \( f(0) \), \( f'(0) \) und das Integral berechnen und deuten
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( f(0) \) berechnen. Einsetzen von \( x=0 \). Wegen \( e^{0}=1 \):
\[ f(0) = 24 + 24\cdot e^{-0{,}08\cdot 0} = 24 + 24\cdot 1 = 48. \]
Deutung: Zu Beobachtungsbeginn (\( x=0 \)) fährt das Auto 48 Meter pro Sekunde.
\( f'(0) \) berechnen. Zuerst die Ableitung. Der konstante Summand \( 24 \) hat Ableitung \( 0 \); der Summand \( 24\,e^{-0{,}08x} \) wird mit der Kettenregel abgeleitet (innere Ableitung \( -0{,}08 \)):
\[ f'(x) = 24\cdot(-0{,}08)\cdot e^{-0{,}08x} = -1{,}92\,e^{-0{,}08x}, \qquad f'(0) = -1{,}92\cdot 1 = -1{,}92. \]
Deutung: Die Ableitung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung. Zu Beobachtungsbeginn hat das Auto die Beschleunigung \( -1{,}92\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \). Das Minus heißt: Das Auto wird langsamer (es bremst ab).
Das Integral berechnen. Eine Stammfunktion von \( f \):
\[ \int \big(24 + 24\,e^{-0{,}08x}\big)\,dx = 24x + \frac{24}{-0{,}08}\,e^{-0{,}08x} = 24x - 300\,e^{-0{,}08x}. \]
Mit dem Hauptsatz von \( 0 \) bis \( 60 \):
\[ \int_0^{60} f(x)\,dx = \Big[\,24x - 300\,e^{-0{,}08x}\,\Big]_0^{60} = \big(24\cdot 60 - 300\,e^{-4{,}8}\big) - \big(0 - 300\,e^{0}\big). \]
\( e^{-4{,}8} \) ist winzig (\( \approx 0{,}008 \)), also \( 300\,e^{-4{,}8}\approx 2{,}5 \). Damit:
\[ \int_0^{60} f(x)\,dx = 1440 - 2{,}5 + 300 = 1737{,}5 \approx 1737{,}53. \]
Deutung: Das Integral der Geschwindigkeit über die Zeit ist die zurückgelegte Strecke. Das Auto legt in den ersten 60 Sekunden ca. 1737,53 m, also rund 1,7 km zurück.
Haltung dahinter: Was bedeuten „einsetzen", „Beschleunigung" und „Integral = Strecke"? (ganz von vorn)
Drei Dinge der Reihe nach, ohne Vorwissen.
Was heißt „\( f(0) \) berechnen"? Die Funktion \( f \) ist eine Maschine: Man gibt eine Zeit \( x \) (in Sekunden) hinein und bekommt die Geschwindigkeit (in Meter pro Sekunde) heraus. „\( f(0) \)" heißt: Setze die Zeit \( 0 \) ein — also „ganz am Anfang". Wichtig ist nur die Regel \( e^{0}=1 \): Alles hoch null ergibt eins. Deshalb wird aus \( 24\,e^{-0{,}08\cdot 0} \) einfach \( 24\cdot 1 = 24 \), und zusammen mit dem festen \( 24 \) kommt \( 48 \) heraus.
Was ist Geschwindigkeit, was ist Beschleunigung? Die Geschwindigkeit sagt, wie schnell man gerade fährt (z. B. 48 Meter in jeder Sekunde). Die Beschleunigung sagt, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert — ob man schneller oder langsamer wird. Beim Auto auf dem Tacho: Geschwindigkeit ist die angezeigte Zahl, Beschleunigung ist, wie der Zeiger gerade wandert. Mathematisch ist Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit (die Ableitung misst immer die Änderungsrate). Ein negativer Wert (\( -1{,}92 \)) bedeutet: Der Tacho-Zeiger geht zurück, das Auto bremst.
Warum ist das Integral die Strecke? Stell dir vor, du fährst genau eine Sekunde lang konstant 48 m/s — dann legst du 48 m zurück (Geschwindigkeit \( \times \) Zeit \( = \) Strecke). Über die ganze Fahrt ändert sich die Geschwindigkeit ständig. Das Integral zerlegt die Fahrt in unendlich viele winzige Zeitstücke, multipliziert in jedem Stück „Geschwindigkeit \( \times \) Zeitdauer" und addiert alles auf. Heraus kommt die gesamte gefahrene Strecke. Bildlich ist das die Fläche unter dem Geschwindigkeits-Graphen.
Das Integral ganz langsam (mit Zahlen)
Die Stammfunktion ist \( 24x - 300\,e^{-0{,}08x} \). „Hauptsatz" heißt: oberen Wert einsetzen, unteren Wert einsetzen, subtrahieren.
- Oben (\( x=60 \)): \( 24\cdot 60 = 1440 \). Und \( -0{,}08\cdot 60 = -4{,}8 \), also \( -300\,e^{-4{,}8} \). Die Zahl \( e^{-4{,}8} \) ist sehr klein, etwa \( 0{,}0082 \); mal \( 300 \) sind das etwa \( 2{,}5 \). Oberer Wert: \( 1440 - 2{,}5 = 1437{,}5 \).
- Unten (\( x=0 \)): \( 24\cdot 0 = 0 \), und \( -300\,e^{0} = -300\cdot 1 = -300 \). Unterer Wert: \( 0 - 300 = -300 \).
- Subtrahieren: \( 1437{,}5 - (-300) \). Minus mal minus wird plus, also \( 1437{,}5 + 300 = 1737{,}5 \).
Das passt zum offiziellen Wert \( 1737{,}53 \) (mit dem genauen \( e^{-4{,}8} \)). Rund 1,7 km.
Woher kommt die \( 300 \) in der Stammfunktion?
Beim „Aufleiten" (Stammfunktion bilden) von \( e^{-0{,}08x} \) muss man durch die innere Zahl \( -0{,}08 \) teilen — das ist die Umkehrung der Kettenregel. Es gilt \( \tfrac{24}{-0{,}08} = -300 \), denn \( \tfrac{1}{0{,}08} = 12{,}5 \) und \( 24\cdot 12{,}5 = 300 \). Probe durch Ableiten: \( \tfrac{d}{dx}\big(-300\,e^{-0{,}08x}\big) = -300\cdot(-0{,}08)\,e^{-0{,}08x} = 24\,e^{-0{,}08x} \) — zurück beim Start, also stimmt die Stammfunktion.
Teilaufgabe b) — Bewegungen beschreiben
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Das Auto (\( f \)). Die Geschwindigkeit nimmt stets ab, wobei die Abnahme immer geringer wird. Sie startet bei 48 m/s und nähert sich von oben dem Wert 24 m/s, ohne ihn zu unterschreiten.
Das Motorrad (\( g \)). Zu Beobachtungsbeginn hat das Motorrad die Geschwindigkeit 0 m/s. Seine Geschwindigkeit nimmt stets zu, wobei die Zunahme immer geringer wird; sie nähert sich von unten dem Wert 40 m/s.
Haltung dahinter: Wie liest man eine „Bewegung" aus einem Graphen ab?
Der Graph zeigt auf der senkrechten Achse die Geschwindigkeit und auf der waagerechten Achse die Zeit. Man beschreibt eine Bewegung in zwei Schritten:
- Geht der Graph rauf oder runter? Beim Auto fällt die Linie von links nach rechts → das Auto wird langsamer (passt zur negativen Beschleunigung aus a). Beim Motorrad steigt die Linie → es wird schneller.
- Wird die Veränderung stärker oder schwächer? Beide Linien werden nach rechts immer flacher. Flach bedeutet: Es ändert sich kaum noch etwas. Also wird beim Auto die Abnahme immer kleiner und beim Motorrad die Zunahme immer kleiner — beide laufen auf einen festen Endwert zu (24 bzw. 40).
Alltagsbild: Das Auto rollt aus (es bremst, aber immer sanfter und pendelt sich bei einer Rest- geschwindigkeit ein). Das Motorrad fährt aus dem Stand an, beschleunigt zuerst kräftig und dann immer gemächlicher, bis es fast eine feste Reisegeschwindigkeit hält.
Typische Falle: Geschwindigkeit mit Strecke verwechseln
„Die Geschwindigkeit des Autos nimmt ab" heißt nicht, dass das Auto rückwärts fährt oder die Strecke kürzer wird. Solange die Geschwindigkeit positiv ist (hier immer mindestens 24 m/s), fährt das Auto weiter vorwärts — nur eben langsamer. Auf dem Graphen steht die Geschwindigkeit, nicht der Ort.
Teilaufgabe c) — \( x \)-Koordinate von \( H \) bestimmen und \( y_H \gt 500 \) entscheiden
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( x \)-Koordinate von \( H \). \( H \) ist der höchste Punkt der Abstandskurve (der größte Abstand zwischen den Fahrzeugen). Der Abstand wächst, solange das Auto schneller ist als das Motorrad (\( f \gt g \)); sobald das Motorrad schneller wird (\( g \gt f \)), schrumpft der Abstand wieder. Der größte Abstand liegt also genau dort, wo beide gleich schnell sind:
Die \( x \)-Koordinate von \( H \) ist die Schnittstelle der beiden Graphen \( f \) und \( g \) in Abbildung 1. Man liest sie als \( x_s \approx 12\ \text{s} \) ab.
Ist die \( y \)-Koordinate von \( H \) größer als 500? Die \( y \)-Koordinate von \( H \) ist der größte Abstand (in Metern). Er entspricht der Fläche zwischen den beiden Geschwindigkeits- Graphen von \( x=0 \) bis zur Schnittstelle \( x_s \), also \( \int_0^{x_s}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx \).
Diese Fläche ist kleiner als 500, und das sieht man ohne genaue Rechnung:
- Der Geschwindigkeits-Unterschied \( f-g \) ist am Anfang am größten: \( f(0)-g(0)=48-0=48 \).
- Danach schrumpft der Unterschied stetig bis auf \( 0 \) an der Schnittstelle.
- Die Fläche liegt deshalb innerhalb eines Dreiecks mit Breite \( x_s\approx 12 \) und Höhe \( 48 \): \[ y_H = \int_0^{x_s}(f-g)\,dx \; \lt \; \tfrac12\cdot x_s\cdot 48 \approx \tfrac12\cdot 12\cdot 48 = 288 \lt 500. \]
Also ist \( y_H \lt 500 \). (Der tatsächliche Höchstabstand liegt bei etwa 215 m.)
Haltung dahinter: Warum ist der Abstand die Fläche zwischen den Geschwindigkeits-Kurven?
Strecke = Fläche unter der Geschwindigkeit (das kennst du aus Teilaufgabe a). Der Weg des Autos nach \( x \) Sekunden ist die Fläche unter \( f \), der Weg des Motorrads die Fläche unter \( g \). Beide starten am selben Ort. Der Abstand zwischen ihnen ist die Differenz der zurückgelegten Wege — und das ist die Fläche unter \( f \) minus die Fläche unter \( g \), also die Fläche zwischen den beiden Kurven.
Solange \( f \) über \( g \) liegt (Auto schneller), wächst diese Fläche mit jeder Sekunde → der Abstand wird größer. Genau an der Schnittstelle hört das Wachsen auf (beide gleich schnell, kein zusätzlicher Vorsprung) — dort ist der Abstand maximal, das ist \( H \). Danach liegt \( g \) über \( f \) (Motorrad schneller); jetzt holt das Motorrad auf, die Fläche/der Abstand schrumpft.
Warum die „\( \lt 500 \)"-Abschätzung wasserdicht ist (kurz): Der Unterschied \( f-g \) startet bei 48 und fällt nach unten gebogen (konvex) auf 0. Eine nach unten gebogene Kurve liegt unter der geraden Verbindungslinie von \( (0\mid 48) \) zu \( (x_s\mid 0) \). Die Fläche unter dieser Geraden ist ein Dreieck mit Inhalt \( \tfrac12\cdot 48\cdot x_s \). Selbst mit einem großzügigen \( x_s\approx 20 \) wären das nur \( \tfrac12\cdot 48\cdot 20 = 480 \lt 500 \). Der echte Wert ist noch deutlich kleiner.
Ganz langsam: die Dreiecks-Schranke in Zahlen
Stell dir den größtmöglichen Vorsprung vor: Das Auto wäre die ganze Zeit bis \( x_s \) um die volle Anfangsdifferenz \( 48\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}} \) schneller. Dann wäre der Vorsprung \( 48\cdot x_s = 48\cdot 12 = 576\ \text{m} \) — das ist die Rechteck-Obergrenze (zu großzügig). In Wahrheit ist die Differenz nur am Start 48 und sinkt sofort. Im Mittel ist sie höchstens halb so groß, also \( \approx 24 \); mal \( 12 \) Sekunden ergibt \( \approx 288\ \text{m} \) — die Dreiecks- Schranke. Beide Schranken zeigen: weit unter dem nötigen Vergleichswert ist der Abstand spätestens mit der Dreiecks-Schranke (288) unter 500.
Typische Falle: \( H \) mit dem Überholpunkt verwechseln
\( H \) ist der Punkt des größten Abstands (beide gleich schnell, \( f=g \)) — das ist nicht der Moment, in dem das Motorrad das Auto überholt. Beim Überholen ist der Abstand wieder 0 (siehe Teilaufgabe d). \( H \) liegt früher, ungefähr bei der halben Zeit bis zum Überholen.
Teilaufgabe d) — Gleichung für den Überholzeitpunkt \( x_0 \)
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Beim Überholen hat das Motorrad das Auto eingeholt: Zum Zeitpunkt \( x_0 \) haben beide Fahrzeuge genau dieselbe Strecke zurückgelegt (sie sind wieder nebeneinander, jetzt aber zieht das Motorrad vorbei). Strecke ist das Integral der Geschwindigkeit, also ist \( x_0 \) Lösung der Gleichung
\[ \int_0^{x_0} f(x)\,dx \;=\; \int_0^{x_0} g(x)\,dx. \]
Haltung dahinter: Was heißt „überholen" mathematisch?
Beide starten zum Zeitpunkt \( 0 \) nebeneinander am selben Ort. Wer vorne liegt, hat die größere zurückgelegte Strecke. Anfangs ist das Auto schneller und zieht davon (positiver Abstand, vgl. \( H \)). Dann holt das Motorrad auf. Überholen ist der Augenblick, in dem das Motorrad den Vorsprung des Autos vollständig aufgezehrt hat — beide haben dieselbe Strecke zurückgelegt. Genau dann ist der Abstand wieder null.
Die zurückgelegte Strecke ist jeweils die Fläche unter der Geschwindigkeit, also das Integral von \( 0 \) bis zur betrachteten Zeit. „Gleiche Strecke" wird damit zu „gleiche Integrale": \( \int_0^{x_0} f = \int_0^{x_0} g \). Das ist die gesuchte Gleichung. Mit dem Term von \( g \) (der hier gegeben wäre) könnte man beide Integrale ausrechnen und nach \( x_0 \) auflösen — aus dem Bild läge \( x_0 \) bei etwa 34 s.
Gleichwertige Schreibweise mit dem Abstand
Man kann dieselbe Bedingung auch über den Abstand aus Teilaufgabe c) formulieren: „Abstand wieder null" heißt \( \int_0^{x_0}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx = 0 \). Das ist nur die nach einer Seite sortierte Form derselben Gleichung — die Strecken-Gleichheit \( \int_0^{x_0} f = \int_0^{x_0} g \) ist die übliche Antwort.
Typische Falle: \( f(x_0)=g(x_0) \) statt der Integrale
\( f(x_0)=g(x_0) \) (gleiche Geschwindigkeit) beschreibt den Punkt \( H \) aus Teilaufgabe c), also den größten Abstand — nicht das Überholen. Überholen heißt gleiche Strecke, und Strecke ist das Integral. Die richtige Gleichung enthält deshalb Integrale, keine bloßen Funktionswerte.
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) \( f(0)=48 \) (Anfangsgeschwindigkeit 48 m/s); \( f'(x)=-1{,}92\,e^{-0{,}08x} \), \( f'(0)=-1{,}92 \) (Anfangsbeschleunigung \( -1{,}92\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \), Auto bremst); \( \int_0^{60} f\,dx = \big[24x-300e^{-0{,}08x}\big]_0^{60} \approx 1737{,}53 \) (≈ 1,7 km Strecke).
- b) Auto: Geschwindigkeit nimmt stets ab, Abnahme immer geringer (48 → 24). Motorrad: startet bei 0, nimmt stets zu, Zunahme immer geringer (0 → 40).
- c) \( x_H = \) Schnittstelle von \( f \) und \( g \) (\( \approx 12 \) s); \( y_H = \int_0^{x_s}(f-g)\,dx \lt \tfrac12\cdot 12\cdot 48 = 288 \lt 500 \), also nein, \( y_H \) ist nicht größer als 500 (≈ 215 m).
- d) \( x_0 \) löst \( \displaystyle\int_0^{x_0} f(x)\,dx = \int_0^{x_0} g(x)\,dx \) (gleiche Strecke).
Teil 2 — Gespräch (Geometrie): zwei Ebenen \( E \) und \( F \)
Input. Gegeben sind zwei Ebenen:
\[ E:\ 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6, \qquad F:\ 2x_1 - x_2 = 6. \]
Im Gespräch denkbare Aspekte: (AB I) Lage von \( E \) mit Hilfe von Spurpunkten veranschaulichen; Punktprobe und Ablesen des Normalenvektors; besondere Lage von \( F \) angeben. (AB II) Beziehung zwischen der Anzahl der Spurpunkte und der besonderen Lage einer Ebene; vektorielle (Parameter-)Darstellung von \( E \) und geometrische Bedeutung ihrer Bestandteile; Abstand verschiedener Objekte zu \( E \); Gleichung einer zu \( E \) orthogonalen bzw. parallelen Ebene; Spiegeln einer Geraden an \( E \). (AB III) besondere Ausschnitte von \( E \) in Parameterform (z. B. Parameter aus \( [0;1] \)); gemeinsame Punkte der Ebenen \( E \) und \( F \).
Vorab, in einem Satz, was eine „Ebene" ist: Eine Ebene ist eine vollkommen flache, unendlich ausgedehnte Fläche im Raum — wie eine unendlich große Tischplatte, die irgendwie schräg im Raum hängt. Eine Koordinatengleichung wie \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6 \) ist eine Regel, die genau die Punkte \( (x_1\mid x_2\mid x_3) \) beschreibt, die auf dieser Tischplatte liegen: Setzt man einen Punkt der Ebene ein, stimmt die Gleichung; setzt man einen Punkt daneben ein, stimmt sie nicht. Alle Werkzeuge dazu im Werkzeugkasten Geometrie.
So liegt die Ebene \( E \) im Koordinatensystem — gezeichnet über ihre drei Spurpunkte (die Stellen, an denen sie die Achsen durchstößt):
AB I — Spurpunkte & Lage von \( E \), Normalenvektor, besondere Lage von \( F \)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Spurpunkte von \( E \) (Lage veranschaulichen). Ein Spurpunkt ist die Stelle, an der die Ebene eine Koordinatenachse durchstößt. Auf einer Achse sind die beiden anderen Koordinaten null:
- \( x_1 \)-Achse (\( x_2=x_3=0 \)): \( 2x_1 = 6 \Rightarrow x_1 = 3 \), also \( S_1(3\,|\,0\,|\,0) \).
- \( x_2 \)-Achse (\( x_1=x_3=0 \)): \( -x_2 = 6 \Rightarrow x_2 = -6 \), also \( S_2(0\,|\,-6\,|\,0) \).
- \( x_3 \)-Achse (\( x_1=x_2=0 \)): \( 3x_3 = 6 \Rightarrow x_3 = 2 \), also \( S_3(0\,|\,0\,|\,2) \).
Verbindet man die drei Spurpunkte, erhält man das Spurdreieck (siehe Bild oben). Es zeigt anschaulich, wie schräg \( E \) im Raum liegt. \( E \) trifft alle drei Achsen → \( E \) liegt in allgemeiner Lage (keine Achse, keine Koordinatenebene ist parallel).
Punktprobe. Eine Punktprobe prüft, ob ein Punkt auf \( E \) liegt: Koordinaten einsetzen und schauen, ob \( 6 \) herauskommt.
- \( P(1\,|\,2\,|\,2) \): \( 2\cdot 1 - 2 + 3\cdot 2 = 2 - 2 + 6 = 6 \) ✓ → \( P \) liegt auf \( E \).
- Ursprung \( O(0\,|\,0\,|\,0) \): \( 2\cdot 0 - 0 + 3\cdot 0 = 0 \neq 6 \) → \( O \) liegt nicht auf \( E \).
Normalenvektor ablesen. Bei einer Koordinatengleichung \( n_1 x_1 + n_2 x_2 + n_3 x_3 = d \) sind die Vorzahlen vor \( x_1, x_2, x_3 \) genau die Koordinaten des Normalenvektors. Man liest direkt ab:
\[ \vec n_E = \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}. \]
Besondere Lage von \( F \). \( F:\ 2x_1 - x_2 = 6 \) schreibt man vollständig als \( 2x_1 - x_2 + 0\cdot x_3 = 6 \). Der Normalenvektor ist also
\[ \vec n_F = \begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}. \]
Die dritte Komponente ist null: Der Normalenvektor hat keinen Anteil in \( x_3 \)-Richtung, steht also waagerecht. Eine Fläche, deren Mast waagerecht zeigt, steht senkrecht aufgerichtet. Konkret:
\( F \) ist parallel zur \( x_3 \)-Achse. In der Gleichung kommt \( x_3 \) nicht vor — man darf \( x_3 \) beliebig wählen, der Punkt bleibt auf \( F \). \( F \) trifft die \( x_3 \)-Achse deshalb nicht (nur \( S_1(3\,|\,0\,|\,0) \) und \( S_2(0\,|\,-6\,|\,0) \) sind Spurpunkte; auf der \( x_3 \)-Achse ergäbe sich \( 0=6 \), ein Widerspruch).
Haltung dahinter: Spurpunkt, Normalenvektor und „besondere Lage" — ganz von vorn
Warum „die anderen Koordinaten null"? Die \( x_1 \)-Achse besteht aus allen Punkten der Form \( (x_1\mid 0\mid 0) \) — man bewegt sich nur entlang der ersten Richtung, die beiden anderen Werte bleiben null. Sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit dieser Achse, setzt man \( x_2=0 \) und \( x_3=0 \) in die Ebenengleichung ein. Übrig bleibt eine einfache Gleichung in \( x_1 \). Das ist der Spurpunkt auf der \( x_1 \)-Achse. Genauso für die beiden anderen Achsen. Drei Achsen → bis zu drei Spurpunkte → das Spurdreieck, an dem man die Lage „sieht".
Normalenvektor = Fahnenmast. Der Normalenvektor ist ein Pfeil, der senkrecht auf der Ebene steht — wie ein Fahnenmast, der gerade aus einer schrägen Dachfläche ragt. Sein Witz: Seine drei Zahlen sind genau die Vorzahlen in der Ebenengleichung. Deshalb kann man ihn ohne Rechnung ablesen: \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6 \) → \( \vec n = (2\mid -1\mid 3) \). (Vorsicht beim Vorzeichen: \( -x_2 \) bedeutet \( -1 \) als zweite Komponente.)
„Besondere Lage". Eine Ebene hat eine besondere Lage, wenn sie zu einer Achse oder zu einer Koordinatenebene parallel ist. Das erkennt man an Nullen im Normalenvektor: Fehlt eine Richtung im Normalenvektor (hier \( x_3 \)), so steht der Mast in dieser Richtung „flach", und die Ebene läuft parallel zu dieser Achse. Bei \( F \) fehlt \( x_3 \) → \( F \) ist parallel zur \( x_3 \)-Achse.
Alltagsbild für \( F \) parallel zur \( x_3 \)-Achse
Stell dir die \( x_1x_2 \)-Ebene als Fußboden vor und die \( x_3 \)-Achse als Senkrechte nach oben. Die Gleichung \( 2x_1 - x_2 = 6 \) beschreibt im Fußboden eine Gerade (die Spurgerade). \( F \) ist die Wand, die genau über dieser Bodengerade senkrecht hochgezogen ist. Eine Wand läuft parallel zur senkrechten Richtung — deshalb \( F\parallel x_3 \)-Achse. Die Höhe \( x_3 \) ist der Wand egal, sie steht überall gleich.
Punktprobe ganz langsam (mit Zahlen)
Für \( P(1\mid 2\mid 2) \): Ersetze in \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 \) die Buchstaben durch die Zahlen von \( P \): \( x_1=1,\ x_2=2,\ x_3=2 \). \( 2\cdot 1 = 2 \); dann \( -x_2 = -2 \); dann \( 3\cdot 2 = 6 \). Addieren: \( 2 - 2 + 6 = 6 \). Auf der rechten Seite steht ebenfalls \( 6 \) → die Gleichung stimmt → \( P \) liegt auf \( E \). Käme etwas anderes als \( 6 \) heraus, läge \( P \) daneben.
AB II — Spurpunkt-Zahl ↔︎ Lage, Parameterform, Abstände, parallele/orthogonale Ebene, Spiegelung
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
1) Beziehung zwischen Anzahl der Spurpunkte und besonderer Lage. Die Zahl der Spurpunkte verrät die Lage der Ebene:
| Spurpunkte | Lage der Ebene | Beispiel |
|---|---|---|
| 3 | allgemeine (schräge) Lage, schneidet alle drei Achsen | \( E:\ 2x_1-x_2+3x_3=6 \) |
| 2 | parallel zu einer Achse (eine Vorzahl ist 0) | \( F:\ 2x_1-x_2=6 \) (∥ \( x_3 \)-Achse) |
| 1 | parallel zu einer Koordinatenebene (zwei Vorzahlen sind 0) | \( x_3=2 \) (∥ \( x_1x_2 \)-Ebene) |
Merksatz: Je mehr Nullen im Normalenvektor, desto „besonderer" die Lage und desto weniger Spurpunkte. \( E \) hat drei Spurpunkte (schräg), \( F \) zwei (parallel zu einer Achse).
2) Parameterform (vektorielle Darstellung) von \( E \). Man braucht einen Punkt der Ebene (Stützvektor) und zwei verschiedene Richtungen, die in der Ebene liegen (Spannvektoren). Als Stützpunkt nimmt man \( S_1(3\,|\,0\,|\,0) \). Zwei Richtungen, die senkrecht zu \( \vec n=(2\mid -1\mid 3) \) stehen (also in \( E \) liegen), sind z. B. \( (1\mid 2\mid 0) \) und \( (0\mid 3\mid 1) \) — Probe: \( (1\mid 2\mid 0)\cdot\vec n = 2-2+0 = 0 \) ✓, \( (0\mid 3\mid 1)\cdot\vec n = 0-3+3 = 0 \) ✓.
\[ E:\quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\3\\1\end{pmatrix}, \qquad s,t\in\mathbb{R}. \]
Geometrische Bedeutung der Bestandteile:
- Stützvektor \( (3\mid 0\mid 0) \): ein fester „Ankerpunkt" auf der Ebene (hier der Spurpunkt auf der \( x_1 \)-Achse). Er heftet die Ebene im Raum fest.
- Spannvektoren \( (1\mid 2\mid 0) \) und \( (0\mid 3\mid 1) \): zwei nicht-parallele Richtungen, die innerhalb der Ebene liegen. Vom Anker aus erreicht man jeden Ebenenpunkt, indem man ein Stück in die erste und ein Stück in die zweite Richtung geht.
- Parameter \( s, t \): sagen, wie weit man in jede Richtung geht. Laufen \( s, t \) durch alle reellen Zahlen, überstreicht man die ganze (unendliche) Ebene.
3) Abstand verschiedener Objekte zu \( E \). Werkzeug ist die Hesse-Normalform: Der Abstand eines Punktes \( P(p_1\mid p_2\mid p_3) \) von \( E \) ist
\[ d(P,E) = \frac{\big|\,2p_1 - p_2 + 3p_3 - 6\,\big|}{|\vec n_E|},\qquad |\vec n_E| = \sqrt{2^2+(-1)^2+3^2} = \sqrt{14}. \]
Beispiele:
- Punkt \( O(0\mid 0\mid 0) \): \( d = \dfrac{|0-0+0-6|}{\sqrt{14}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} = \dfrac{3\sqrt{14}}{7} \approx 1{,}60 \).
- Parallele Ebene \( E':\ 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 20 \) (gleicher Normalenvektor): Abstand der beiden Ebenen \( = \dfrac{|20-6|}{\sqrt{14}} = \dfrac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}\approx 3{,}74 \).
- Parallele Gerade zu \( E \) (Richtung steht senkrecht auf \( \vec n \)): hat überall denselben Abstand; man rechnet den Abstand eines Geradenpunkts mit derselben Formel.
Wichtig: Nur parallele Objekte haben einen festen Abstand zu \( E \). Schneidet ein Objekt die Ebene, ist der Abstand \( 0 \).
4) Parallele bzw. orthogonale Ebene zu \( E \).
- Parallel: gleicher Normalenvektor \( (2\mid -1\mid 3) \), nur die rechte Zahl ändern. Beispiel durch \( P(1\mid 1\mid 1) \): \( 2+(-1)+3 = 4 \), also \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 4 \). (Allgemein: \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = c \) mit \( c\neq 6 \).)
- Orthogonal: zwei Ebenen stehen senkrecht zueinander, wenn ihre Normalenvektoren senkrecht zueinander stehen (Skalarprodukt \( 0 \)). Man wählt einen Normalenvektor \( \vec m \) mit \( \vec m\cdot\vec n_E = 0 \), z. B. \( \vec m=(1\mid 2\mid 0) \) (denn \( 1\cdot 2 + 2\cdot(-1) + 0\cdot 3 = 0 \)). Beispiel-Ebene: \( x_1 + 2x_2 = 0 \). (Es gibt unendlich viele solche orthogonalen Ebenen.)
5) Spiegeln einer Geraden an \( E \). Eine Gerade spiegelt man, indem man ihre Punkte spiegelt. Am elegantesten: Stützpunkt spiegeln und Richtungsvektor spiegeln. Wie man einen Punkt \( P \) an \( E \) spiegelt, zeigt das Schema:
Beispiel — Spiegelung der \( x_1 \)-Achse \( g:\ \vec x = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \).
Stützpunkt \( O(0\mid 0\mid 0) \) spiegeln. Lotgerade durch \( O \) in Richtung \( \vec n=(2\mid -1\mid 3) \): \( \vec x = (2r\mid -r\mid 3r) \). Einsetzen in \( E \): \( 2(2r) -(-r) + 3(3r) = 4r + r + 9r = 14r = 6 \Rightarrow r = \tfrac{3}{7} \). Lotfußpunkt \( F = \big(\tfrac{6}{7}\,\big|\,-\tfrac{3}{7}\,\big|\,\tfrac{9}{7}\big) \). Der Spiegelpunkt liegt doppelt so weit: \( O' = 2F - O = \big(\tfrac{12}{7}\,\big|\,-\tfrac{6}{7}\,\big|\,\tfrac{18}{7}\big) \).
Richtung \( \vec u=(1\mid 0\mid 0) \) spiegeln. Beim Spiegeln dreht sich nur der Anteil senkrecht zur Ebene um; Formel \( \vec u' = \vec u - 2\,\dfrac{\vec u\cdot\vec n}{\vec n\cdot\vec n}\,\vec n \). Mit \( \vec u\cdot\vec n = 2 \) und \( \vec n\cdot\vec n = 14 \): \( \vec u' = (1\mid 0\mid 0) - 2\cdot\tfrac{2}{14}(2\mid -1\mid 3) = \big(\tfrac{3}{7}\,\big|\,\tfrac{2}{7}\,\big|\,-\tfrac{6}{7}\big)\ \parallel\ (3\mid 2\mid -6) \).
Gespiegelte Gerade: \[ g':\quad \vec x = \begin{pmatrix}12/7\\-6/7\\18/7\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}3\\2\\-6\end{pmatrix}. \]
Probe: Die Original-Achse trifft \( E \) in \( S_1(3\mid 0\mid 0) \); dieser Punkt muss beim Spiegeln fest bleiben. Setzt man \( r=\tfrac{3}{7} \) in \( g' \) ein, kommt \( (3\mid 0\mid 0) \) heraus ✓.
Haltung dahinter: die fünf Werkzeuge in Alltagssprache
- Skalarprodukt \( \vec a\cdot\vec b \): zwei Vektoren komponentenweise multiplizieren und addieren (\( a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3 \)). Sein Nutzen hier: \( =0 \) heißt „stehen senkrecht aufeinander". So prüft man, ob eine Richtung in einer Ebene liegt (senkrecht zum Mast) oder ob zwei Ebenen orthogonal sind. Schema im Werkzeugkasten Geometrie.
- Parameterform. Eine Ebene als „Ankerpunkt plus zwei Richtungen". Bild: Du stehst am Anker und darfst in zwei festen Richtungen beliebig weit laufen — die Menge aller erreichbaren Orte ist die ganze Ebene.
- Hesse-Normalform / Abstand. Setzt man einen Punkt in \( 2x_1-x_2+3x_3-6 \) ein, sagt das Ergebnis, wie weit weg und auf welcher Seite der Punkt liegt. Teilt man durch die Länge des Normalenvektors \( \sqrt{14} \), wird daraus der echte Abstand in Längeneinheiten. Auf \( E \) selbst kommt \( 0 \) heraus.
- Parallel vs. orthogonal. Parallel = „gleich gekippt": gleicher Normalenvektor, nur verschoben (andere rechte Zahl). Orthogonal = „über Eck": die Normalenvektoren stehen senkrecht zueinander.
- Spiegeln. Wie ein Spiegel an der Wand: vom Objekt senkrecht zur Wand loten, am Auftreffpunkt (Lotfußpunkt) genauso weit weiter — das ist das Spiegelbild. Eine Gerade spiegelt man, indem man Anker und Richtung spiegelt (oder zwei ihrer Punkte).
Spiegelung des Punktes \( O \) ganz langsam (mit Zahlen)
- Lotgerade aufstellen: von \( O \) in Richtung Mast \( \vec n=(2\mid -1\mid 3) \), also Punkte \( (2r\mid -r\mid 3r) \).
- Schnitt mit \( E \): in \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6 \) einsetzen: \( 2\cdot 2r = 4r \); \( -(-r) = +r \); \( 3\cdot 3r = 9r \). Summe \( 4r + r + 9r = 14r \). Gleichsetzen mit \( 6 \): \( 14r = 6 \Rightarrow r = \tfrac{6}{14} = \tfrac{3}{7} \).
- Lotfußpunkt \( F \): \( r=\tfrac37 \) einsetzen: \( (2\cdot\tfrac37\mid -\tfrac37\mid 3\cdot\tfrac37) = (\tfrac67\mid -\tfrac37\mid \tfrac97) \).
- Verdoppeln zum Spiegelpunkt: \( F \) liegt auf halbem Weg von \( O \) nach \( O' \), also \( O' = 2F - O = (\tfrac{12}{7}\mid -\tfrac{6}{7}\mid \tfrac{18}{7}) \).
- Kontrolle über den Abstand: \( O \) hatte den Wert \( 0-6=-6 \) in \( 2x_1-x_2+3x_3-6 \); \( O' \) liefert \( 2\cdot\tfrac{12}{7} + \tfrac67 + 3\cdot\tfrac{18}{7} - 6 = \tfrac{24+6+54-42}{7} = \tfrac{42}{7} = +6 \). Gleicher Betrag, anderes Vorzeichen → gleich weit auf der anderen Seite. ✓
Typische Falle: nur den Punkt spiegeln und die Richtung vergessen
Wer beim Spiegeln einer Geraden nur den Stützpunkt spiegelt und den alten Richtungsvektor behält, bekommt eine falsche Gerade (außer die Gerade läge zufällig parallel zur Ebene). Die Richtung muss mitgespiegelt werden. Sicherer Alternativweg: zwei Punkte der Geraden einzeln spiegeln und durch die zwei Bildpunkte die neue Gerade legen.
AB III — besondere Ausschnitte von \( E \), gemeinsame Punkte von \( E \) und \( F \)
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung / Verfahren anzeigen
1) Besondere Ausschnitte von \( E \) in Parameterform (Parameter z. B. aus \( [0;1] \)). In der Parameterform \( \vec x = A + s\,\vec u + t\,\vec v \) wählt man bisher \( s,t\in\mathbb{R} \) und erhält die ganze Ebene. Schränkt man die Parameter auf ein Intervall ein, schneidet man ein Stück der Ebene heraus:
- \( s,t\in[0;1] \): das Parallelogramm mit der Ecke \( A \) und den Seiten \( \vec u, \vec v \).
- \( s\in[0;1],\ t=0 \): die Strecke von \( A \) nach \( A+\vec u \).
- \( s\ge 0,\ t\ge 0 \): eine Viertel-Ebene (rechtwinkliger Ausschnitt ab der Ecke \( A \)).
- \( s,t\ge 0,\ s+t\le 1 \): das Dreieck \( A,\ A+\vec u,\ A+\vec v \).
Konkret für \( E:\ \vec x = (3\mid 0\mid 0) + s(1\mid 2\mid 0) + t(0\mid 3\mid 1) \) liefert \( s,t\in[0;1] \) das Parallelogramm mit den vier Ecken
\[ A(3\,|\,0\,|\,0),\quad A+\vec u\,(4\,|\,2\,|\,0),\quad A+\vec v\,(3\,|\,3\,|\,1),\quad A+\vec u+\vec v\,(4\,|\,5\,|\,1). \]
Alle vier erfüllen \( 2x_1 - x_2 + 3x_3 = 6 \) (Punktprobe), liegen also auf \( E \) — es ist ein ebenes Parallelogramm-Stück mitten in \( E \).
2) Gemeinsame Punkte der Ebenen \( E \) und \( F \). Zwei nicht-parallele Ebenen schneiden sich in einer Geraden (der Schnittgeraden). Da \( \vec n_E=(2\mid -1\mid 3) \) und \( \vec n_F=(2\mid -1\mid 0) \) nicht parallel sind, gibt es eine Schnittgerade. Am schnellsten subtrahiert man die Gleichungen:
\[ E - F:\quad (2x_1 - x_2 + 3x_3) - (2x_1 - x_2) = 6 - 6 \;\;\Longrightarrow\;\; 3x_3 = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; x_3 = 0. \]
Die gemeinsamen Punkte liegen also in der Ebene \( x_3=0 \) (dem „Boden") und erfüllen \( 2x_1 - x_2 = 6 \). Setzt man \( x_1 = r \), folgt \( x_2 = 2r - 6 \), \( x_3 = 0 \):
\[ g_{E\cap F}:\quad \vec x = \begin{pmatrix}0\\-6\\0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}, \qquad r\in\mathbb{R}. \]
Kontrolle: Der Punkt \( (0\mid -6\mid 0) \) erfüllt beide Gleichungen (\( E:\ 0+6+0=6 \) ✓, \( F:\ 0+6=6 \) ✓); die Richtung \( (1\mid 2\mid 0) \) steht senkrecht auf beiden Normalenvektoren (\( (1\mid 2\mid 0)\cdot\vec n_E = 2-2+0=0 \) ✓, \( (1\mid 2\mid 0)\cdot\vec n_F = 2-2+0=0 \) ✓). Die Schnittgerade geht durch die beiden gemeinsamen Spurpunkte \( S_1(3\mid 0\mid 0) \) und \( S_2(0\mid -6\mid 0) \) — genau die Spurgerade im Boden.
Haltung dahinter: Ausschnitte und Schnittgerade — von Grund auf
Warum schneidet ein Parameter-Intervall ein Stück aus? Mit \( s,t\in\mathbb{R} \) darf man vom Anker \( A \) unbegrenzt in beide Richtungen laufen → die ganze unendliche Ebene. Begrenzt man die Schrittweite, etwa \( 0\le s\le 1 \) und \( 0\le t\le 1 \), kommt man höchstens einen Schritt \( \vec u \) und einen Schritt \( \vec v \) weit. Alle erreichbaren Punkte füllen genau das Parallelogramm, das \( \vec u \) und \( \vec v \) vom Anker aus aufspannen. Wählt man stattdessen \( s+t\le 1 \), bleibt man im halben Parallelogramm — einem Dreieck. So lassen sich gezielt endliche Flächenstücke einer Ebene beschreiben (etwa eine Wand mit Rand statt einer unendlichen Fläche).
Warum ist der Schnitt eine Gerade, und warum funktioniert das Subtrahieren? Jede Ebene ist eine Bedingung an die Punkte; zwei Ebenen sind zwei Bedingungen gleichzeitig. Im Raum bleibt dann eine Gerade voller Punkte übrig, die beide erfüllen (wie die Kante, an der zwei Wände zusammenstoßen). Subtrahiert man die zwei Gleichungen, fallen die gemeinsamen Teile (\( 2x_1 \) und \( -x_2 \)) weg, und es bleibt eine einfache neue Bedingung \( 3x_3=0 \), also \( x_3=0 \). Zusammen mit einer der Originalgleichungen beschreibt das die Schnittgerade.
Eleganter Gegencheck: Richtung über das Kreuzprodukt
Die Richtung der Schnittgeraden steht senkrecht auf beiden Normalenvektoren — genau das liefert das Kreuzprodukt \( \vec n_E\times\vec n_F \): \[ \begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-1)\cdot 0 - 3\cdot(-1)\\ 3\cdot 2 - 2\cdot 0\\ 2\cdot(-1) - (-1)\cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\6\\0\end{pmatrix}\ \parallel\ \begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}. \] Dasselbe Ergebnis wie oben. (Kreuzprodukt-Schema: Werkzeugkasten Geometrie.)
Typische Falle: aus \( x_3=0 \) eine ganze Ebene machen
\( x_3=0 \) allein ist die Boden-Ebene, nicht die Schnittgerade. Man braucht beide Bedingungen zusammen: \( x_3=0 \) und \( 2x_1 - x_2 = 6 \). Erst beide zusammen ergeben die Gerade. Wer nur eine behält, beschreibt zu viele Punkte.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Aspekt, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Analysis) aufklappen
- a) Werte berechnen und deuten. Erwartet: \( f(0)=48 \) („Anfangsgeschwindigkeit 48 m/s"), \( f'(0)=-1{,}92 \) („Anfangsbeschleunigung \( -1{,}92\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \), Auto bremst"), Integral \( \approx 1737{,}53 \) („Strecke in 60 s, ≈ 1,7 km"). Rückfrage: „Was bedeutet das Minus bei \( f'(0) \)?" (Antwort: Auto wird langsamer.) Rote Flagge: das Integral als „Geschwindigkeit" statt als „Strecke" deuten.
- b) Bewegungen. Erwartet: Auto wird langsamer, Abnahme immer geringer (48 → 24); Motorrad startet bei 0, wird schneller, Zunahme immer geringer (0 → 40). Rückfrage: „Auf welchen Wert läuft jede Geschwindigkeit langfristig zu?"
- c) Punkt \( H \). Erwartet: \( x_H = \) Schnittstelle der beiden Graphen (gleiche Geschwindigkeit); \( y_H = \) Fläche zwischen den Kurven und damit kleiner als 500 (grob über Dreieck \( \tfrac12\cdot 12\cdot 48 \approx 288 \)). Rote Flagge: \( H \) als Überholpunkt deuten. Rückfrage: „Warum ist gerade an der Schnittstelle der Abstand am größten?"
- d) Überholgleichung. Erwartet: gleiche Strecke → \( \int_0^{x_0} f = \int_0^{x_0} g \). Rote Flagge: \( f(x_0)=g(x_0) \) (das ist Punkt \( H \), nicht das Überholen). Rückfrage: „Was ist beim Überholen gleich — die Geschwindigkeit oder die Strecke?"
Leitfaden Teil 2 (Geometrie) aufklappen
- AB I — Spurpunkte / Punktprobe / Normalenvektor / Lage von \( F \). Erwartet: drei Spurpunkte \( (3\mid 0\mid 0),\ (0\mid -6\mid 0),\ (0\mid 0\mid 2) \); Normalenvektor \( (2\mid -1\mid 3) \) abgelesen; \( F \) parallel zur \( x_3 \)-Achse (weil \( x_3 \) fehlt). Rückfrage: „Woran sieht man im Normalenvektor die besondere Lage von \( F \)?" (Antwort: dritte Komponente \( 0 \).)
- AB II — Spurpunkt-Zahl / Parameterform / Abstand / parallel-orthogonal / Spiegeln. Erwartet: 3 Spurpunkte = schräg, 2 = parallel zu einer Achse, 1 = parallel zu einer Koordinatenebene; Parameterform mit einem Stützpunkt + zwei Spannvektoren; Abstand über Hesse-Normalform (\( |\dots|/\sqrt{14} \)); parallel = gleicher Normalenvektor, orthogonal = Normalenvektoren senkrecht (Skalarprodukt \( 0 \)); Spiegeln = Lot fällen, Lotfußpunkt, gleich weit weiter. Rückfrage: „Wie prüfst du schnell, ob eine Richtung in \( E \) liegt?" (Antwort: Skalarprodukt mit \( \vec n \) ist \( 0 \).)
- AB III — Ausschnitte / gemeinsame Punkte. Hier zählt sauberes Erklären: \( s,t\in[0;1] \) liefert ein Parallelogramm; \( s+t\le 1 \) ein Dreieck. Gemeinsame Punkte von \( E,F \) = Schnittgerade; durch Subtrahieren kommt \( x_3=0 \), zusammen mit \( 2x_1-x_2=6 \) ergibt sich \( \vec x=(0\mid -6\mid 0)+r(1\mid 2\mid 0) \). Rückfrage: „Warum ist der Schnitt eine Gerade und kein einzelner Punkt?"
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Warum ist \( \int_0^{60} f\,dx \) die zurückgelegte Strecke und nicht eine Geschwindigkeit?
- Wo liegt der Punkt \( H \) (größter Abstand) im Verhältnis zum Überholpunkt \( x_0 \), und warum?
- Wie liest du den Normalenvektor einer Ebene direkt aus ihrer Koordinatengleichung ab?
- Woran erkennst du an \( F:\ 2x_1 - x_2 = 6 \), dass die Ebene parallel zur \( x_3 \)-Achse liegt?
- Wie spiegelst du einen Punkt an einer Ebene — welche drei Schritte sind das?
- Wie bestimmst du die gemeinsamen Punkte zweier Ebenen, und warum ist das Ergebnis eine Gerade?