Punkt und Vektor

Ein Punkt ist ein Ort im Raum mit drei Koordinaten \( P(x_1\mid x_2\mid x_3) \). Ein Vektor ist ein Pfeil (eine Bewegung mit Richtung und Länge), geschrieben als Spalte. Den Verbindungspfeil von \( A \) nach \( B \) rechnet man als „Ziel minus Start":

\[ \overrightarrow{AB} = B - A. \]

Beispiel. \( A(1\mid0\mid2),\ B(4\mid2\mid2) \Rightarrow \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}3\\2\\0\end{pmatrix} \) („3 nach \( x_1 \), 2 nach \( x_2 \), 0 nach \( x_3 \)").

Länge (Betrag) eines Vektors

Die Länge eines Pfeils ist der Abstand zwischen Start und Ziel. Man quadriert die drei Zahlen, addiert sie und zieht die Wurzel — der Satz des Pythagoras in 3D:

\[ \left|\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}\right| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}. \]

Wozu? Seitenlängen, Abstände, Nachweis „gleich lang" (z. B. gleichschenklig). Beispiel. \( \left|(2,\,-1,\,2)\right| = \sqrt{4+1+4} = \sqrt{9} = 3 \). (Minus wird beim Quadrieren zu Plus.)

Mittelpunkt einer Strecke

Der Mittelpunkt liegt genau zwischen zwei Punkten — man mittelt ihre Koordinaten:

\[ M = \tfrac12\,(A + B). \]

Wozu? Mitte einer Kante, Mittelpunkt eines Quadrats (über zwei gegenüberliegende Ecken), Symmetrie. Beispiel. Mitte von \( A(0\mid0\mid0) \) und \( C(3\mid3\mid0) \) ist \( M(1{,}5\mid1{,}5\mid0) \).

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Zahl (kein Pfeil): zugehörige Zahlen multiplizieren und addieren.

\[ \vec a \cdot \vec b = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3. \]

Zwei Anwendungen:

• Senkrecht-Test: \( \vec a \cdot \vec b = 0 \) bedeutet, die beiden Pfeile stehen rechtwinklig aufeinander (orthogonal).
• Winkel zwischen Vektoren: \( \displaystyle \cos\varphi = \frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}. \)

Beispiel. \( (1,2,1)\cdot(1,1,-3) = 1+2-3 = 0 \) → die beiden stehen senkrecht zueinander.

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert einen neuen Pfeil, der auf beiden Ausgangspfeilen senkrecht steht. Genau so findet man einen Normalenvektor einer Ebene (zwei Pfeile in der Ebene nehmen, Kreuzprodukt bilden). Rechenschema (jede Zeile: „über Kreuz" der beiden anderen Zeilen):

\[ \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2\\ a_3b_1 - a_1b_3\\ a_1b_2 - a_2b_1\end{pmatrix}. \]

Tipp. Das Ergebnis darf man kürzen (z. B. \( (12,0,4{,}5)\parallel(8,0,3) \)) — das ändert nur die Länge, nicht die Richtung, und nur die Richtung zählt für die Ebene. Beispiel. \( (0,3,0)\times(-1{,}5,\,1{,}5,\,4) = (12,\,0,\,4{,}5) \).

Geradengleichung (Parameterform)

Eine Gerade beschreibt man durch einen Stützpunkt \( \vec p \) (ein Punkt auf der Geraden) und einen Richtungsvektor \( \vec u \) (in welche Richtung sie läuft):

\[ g:\ \vec x = \vec p + t\cdot \vec u, \quad t\in\mathbb{R}. \]

Jeder Wert von \( t \) liefert einen Punkt der Geraden. Wozu? Kanten, Sichtlinien, Lichtstrahlen (Schattenwurf), Schnittpunkt-Rechnungen.

Ebenengleichung: Koordinaten- und Normalenform

Eine Ebene ist eine unendlich ausgedehnte flache Fläche. Zwei gängige Schreibweisen:

• Normalenform: \( \vec n \cdot (\vec x - \vec p) = 0 \) — „der Pfeil von einem Ebenenpunkt \( \vec p \) zu jedem anderen Ebenenpunkt steht senkrecht auf dem Normalenvektor \( \vec n \)".
• Koordinatenform: \( n_1x_1 + n_2x_2 + n_3x_3 = d \) — die Koeffizienten sind die Komponenten des Normalenvektors \( \vec n \); die Zahl \( d \) erhält man durch Einsetzen eines bekannten Ebenenpunkts.

Vorgehen. Normalenvektor (oft per Kreuzprodukt) bestimmen → einen Punkt einsetzen → \( d \) ablesen. Beispiel. \( \vec n=(8,0,3) \), Punkt \( B(3\mid0\mid0) \): \( 8\cdot3+3\cdot0=24 \), also \( 8x_1+3x_3=24 \).

Punktprobe

So prüft man, ob ein Punkt auf einer Geraden/Ebene liegt: seine Koordinaten einsetzen und schauen, ob die Gleichung aufgeht.

Beispiel. Liegt \( S(1{,}5\mid1{,}5\mid4) \) auf \( 8x_1+3x_3=24 \)? \( 8\cdot1{,}5+3\cdot4 = 12+12 = 24 \) ✓ — ja. Bei einer Ebene durch drei Punkte ist die Punktprobe mit allen dreien die schnelle Selbstkontrolle.

Volumen und Oberfläche der Pyramide

• Volumen: \( V = \tfrac13\cdot G\cdot h \) — eine Pyramide füllt ein Drittel des Quaders mit gleicher Grundfläche \( G \) und Höhe \( h \).
• Oberfläche: \( O = G + (\text{Summe der Seitenflächen}) \). Bei quadratischer Grundfläche und senkrechter Spitze: \( O = G + 4\cdot\tfrac12\cdot(\text{Grundkante})\cdot h_s \), wobei \( h_s \) die Dreieckshöhe von der Spitze zur Mitte einer Grundkante ist (nicht die Pyramidenhöhe!).

Winkel zwischen zwei Flächen

Anschaulich über ein rechtwinkliges Dreieck an der gemeinsamen Kante; dann \( \tan\varphi = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \). Rechnerisch über die Normalenvektoren beider Ebenen mit dem Skalarprodukt: \( \cos\varphi = \dfrac{|\vec n_1\cdot \vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|} \). Beide Wege sind gültig — das anschauliche Dreieck ist mündlich oft überzeugender.