Diese Aufgabe ist im Stil einer mündlichen Prüfung aufgebaut. Du bekommst eine Funktion und untersuchst sie rechnerfrei, also komplett per Hand und ohne Taschenrechner — genau so wie in der Prüfung. Arbeite jede Teilaufgabe erst selbst durch und klappe die Lösung danach auf. Wichtig ist nicht nur das Ergebnis, sondern dass du laut sagen kannst, warum du jeden Schritt gehst.
Gegeben ist die Funktion
\[ f(x) = (x-1)\,e^{x}. \]
Relevanz: e-Funktion, Kernthema Analysis im Basisfach
So gehst du an eine Funktionsuntersuchung heran. Es gibt eine feste Reihenfolge, die fast jede mündliche Aufgabe trägt: erst der Definitionsbereich, dann Nullstellen, dann das Verhalten im Unendlichen, danach die Ableitung für Extrem- und Wendepunkte. Wenn du diese Reihenfolge im Kopf hast, gerätst du nie ins Stocken, weil du immer weißt, was als Nächstes dran ist.
Teilaufgabe a) Nullstellen bestimmen
AB I — Grundkompetenz
Bestimme alle Nullstellen von \( f \).
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Wir setzen \( f(x) = 0 \):
\[ (x-1)\,e^{x} = 0. \]
Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Der Faktor \( e^{x} \) wird niemals null. Also bleibt nur \( x - 1 = 0 \), und das ergibt
\[ x = 1. \]
Die einzige Nullstelle liegt bei \( x = 1 \), der Punkt ist \( N(1 \mid 0) \).
Haltung dahinter: Warum ist \( e^{x} \) nie null?
Die Exponentialfunktion \( e^{x} \) ist für jedes \( x \) echt positiv, ihr Wertebereich ist \( (0; \infty) \). Sie nähert sich für sehr kleine \( x \) der Null nur an, erreicht sie aber nie. Das ist ein Werkzeug, das du dir merken solltest: In jedem Produkt aus einem Polynom und \( e^{x} \) liefern nur die Nullstellen des Polynomteils die Nullstellen der ganzen Funktion.
Typische Falle
Verleite dich nicht dazu, „\( e^{x} = 0 \)" zu schreiben und daraus \( x \) berechnen zu wollen — die Gleichung hat keine Lösung. Wer das übersieht, „findet" oft eine zweite Nullstelle, die es gar nicht gibt.
Teilaufgabe b) Verhalten für \( x \to \pm\infty \)
AB II — Standardanforderung
Untersuche, wie sich \( f(x) \) für \( x \to +\infty \) und für \( x \to -\infty \) verhält.
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Für \( x \to +\infty \): Beide Faktoren wachsen über alle Grenzen. \( (x-1) \to +\infty \) und \( e^{x} \to +\infty \). Das Produkt strebt also gegen
\[ \lim_{x \to +\infty} (x-1)\,e^{x} = +\infty. \]
Für \( x \to -\infty \): Hier kämpfen zwei Effekte gegeneinander. Der Faktor \( (x-1) \) wird sehr stark negativ, der Faktor \( e^{x} \) wird sehr klein positiv und strebt gegen \( 0 \). Entscheidend ist: \( e^{x} \) geht schneller gegen null, als \( (x-1) \) gegen \(-\infty\) geht. Die e-Funktion „gewinnt". Damit
\[ \lim_{x \to -\infty} (x-1)\,e^{x} = 0. \]
Weil \( (x-1) \) für sehr kleine \( x \) negativ ist, nähert sich der Graph der Null von unten an. Die \( x \)-Achse ist also eine waagerechte Asymptote auf der linken Seite.
Haltung dahinter: Wer gewinnt, Polynom oder e-Funktion?
Die Merkregel lautet: Die Exponentialfunktion schlägt jede Potenz von \( x \). Für \( x \to -\infty \) heißt das, \( e^{x} \) drückt das ganze Produkt gegen null, egal wie groß der Polynomfaktor dem Betrag nach wird. Für \( x \to +\infty \) heißt dieselbe Regel umgekehrt: \( e^{x} \) lässt das Produkt explodieren. Du musst das in der Prüfung nicht beweisen — es genügt, die Regel zu nennen und richtig anzuwenden.
Wie sage ich das mündlich sauber?
Ein guter Satz für die Prüfung: „Für \( x \to -\infty \) geht die e-Funktion schneller gegen null als der lineare Faktor betragsmäßig wächst, deshalb geht das Produkt gegen null, und zwar von unten, weil \( x-1 \) dort negativ ist." Damit zeigst du, dass du den Mechanismus verstanden hast und nicht nur ein Ergebnis auswendig kannst.
Teilaufgabe c) Erste Ableitung mit der Produktregel
AB II — Standardanforderung
Bilde \( f'(x) \) rechnerfrei und vereinfache so weit wie möglich.
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Die Funktion ist ein Produkt zweier Faktoren, also nutzen wir die Produktregel \( (u\cdot v)' = u'\,v + u\,v' \). Wir wählen
\[ u(x) = x-1, \quad v(x) = e^{x}, \qquad u'(x) = 1, \quad v'(x) = e^{x}. \]
Eingesetzt:
\[ f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1)\cdot e^{x}. \]
Jetzt klammern wir den gemeinsamen Faktor \( e^{x} \) aus:
\[ f'(x) = e^{x}\big(1 + x - 1\big) = e^{x}\cdot x = x\,e^{x}. \]
Die Ableitung ist also
\[ f'(x) = x\,e^{x}. \]
Haltung dahinter: immer ausklammern, bevor du weiterrechnest
Das Ausklammern von \( e^{x} \) ist kein Schönheitsschritt, sondern macht die nächste Teilaufgabe erst einfach: Wir brauchen gleich \( f'(x) = 0 \), und ein ausgeklammertes Produkt liest man sofort. Wer die Summe \( e^{x} + (x-1)e^{x} \) stehen lässt, tut sich beim Nullsetzen unnötig schwer.
Warum ist die Ableitung von \( e^{x} \) wieder \( e^{x} \)?
Das ist die definierende Eigenschaft der e-Funktion: Sie ist die einzige Funktion, die mit ihrer eigenen Ableitung übereinstimmt, \( (e^{x})' = e^{x} \). Genau dafür wurde die Zahl \( e \) gewählt. Diese Eigenschaft ist der Grund, warum sich \( e^{x} \) in jeder Produkt- und Kettenregel so bequem verhält.
Teilaufgabe d) Extrempunkt bestimmen und einordnen
AB II — Standardanforderung
Bestimme die Extremstelle von \( f \) und entscheide rechnerfrei, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.
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Notwendige Bedingung \( f'(x) = 0 \):
\[ x\,e^{x} = 0. \]
Wieder ist \( e^{x} \neq 0 \), also bleibt \( x = 0 \) als einziger Kandidat.
Funktionswert an der Stelle:
\[ f(0) = (0-1)\cdot e^{0} = (-1)\cdot 1 = -1. \]
Hinreichende Bedingung über die zweite Ableitung. Wir leiten \( f'(x) = x\,e^{x} \) noch einmal mit der Produktregel ab (\( u=x,\ v=e^{x},\ u'=1,\ v'=e^{x} \)):
\[ f''(x) = 1\cdot e^{x} + x\cdot e^{x} = e^{x}(1+x). \]
Einsetzen von \( x = 0 \):
\[ f''(0) = e^{0}\,(1+0) = 1 \cdot 1 = 1 > 0. \]
Weil \( f''(0) > 0 \) ist, ist die Funktion an dieser Stelle linksgekrümmt — es liegt ein Tiefpunkt vor:
\[ T(0 \mid -1). \]
Haltung dahinter: Warum reicht \( f'(x)=0 \) allein nicht?
\( f'(x) = 0 \) ist nur das notwendige Kriterium: An einem Extrempunkt ist die Tangente waagerecht, aber eine waagerechte Tangente kann auch ein Sattelpunkt sein. Erst die hinreichende Bedingung entscheidet, was wirklich vorliegt. Das Vorzeichen von \( f''(x_0) \) verrät die Krümmung: \( f'' > 0 \) bedeutet Linkskrümmung und damit Tiefpunkt, \( f'' < 0 \) bedeutet Rechtskrümmung und damit Hochpunkt.
Alternative ohne zweite Ableitung: Vorzeichenwechsel von \( f' \)
Du kannst auch ohne \( f'' \) argumentieren. In \( f'(x) = x\,e^{x} \) ist \( e^{x} \) immer positiv, das Vorzeichen kommt also allein vom Faktor \( x \). Für \( x < 0 \) ist \( f'(x) < 0 \) (Funktion fällt), für \( x > 0 \) ist \( f'(x) > 0 \) (Funktion steigt). Aus „fällt, dann steigt" folgt ein Tiefpunkt bei \( x = 0 \). Beide Wege sind in der Prüfung gleichwertig — wähle den, der dir sicherer von der Hand geht.
Teilaufgabe e) Tangente an der Nullstelle
AB II — Standardanforderung
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von \( f \) im Punkt \( x_{0} = 1 \).
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Eine Tangente ist die Gerade, die den Graphen an einer Stelle berührt und dort dieselbe Steigung hat. Wir brauchen also zwei Dinge: den Berührpunkt und die Steigung dort.
Funktionswert (Berührpunkt): wir kennen ihn schon aus Teilaufgabe a),
\[ f(1) = (1-1)\,e^{1} = 0. \]
Der Berührpunkt ist \( (1 \mid 0) \), also genau die Nullstelle.
Steigung über die Ableitung \( f'(x) = x\,e^{x} \):
\[ f'(1) = 1\cdot e^{1} = e. \]
Tangentengleichung über die Punkt-Steigungs-Form \( t(x) = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0) \):
\[ t(x) = 0 + e\,(x - 1) = e\,(x-1) = e\,x - e. \]
Die Tangente hat die Steigung \( e \approx 2{,}72 \) und schneidet die \( x \)-Achse genau bei der Nullstelle \( x = 1 \).
Haltung dahinter: Woher kommt die Tangentenformel?
Die Punkt-Steigungs-Form einer Geraden ist \( y = m\,(x - x_0) + y_0 \). Für eine Tangente an einen Funktionsgraphen ist die Steigung \( m = f'(x_0) \) (Ableitung = lokale Steigung) und der Punkt \( (x_0 \mid f(x_0)) \) liegt auf dem Graphen. Mehr steckt nicht dahinter — du musst dir nur merken, welche zwei Werte du einsetzt: \( f'(x_0) \) als Steigung, \( f(x_0) \) als Höhe.
Typische Falle bei der Tangente
Vertausche nicht \( f(x_0) \) und \( f'(x_0) \). Als Steigung kommt immer die Ableitung \( f'(x_0) \) hinein, der Funktionswert \( f(x_0) \) liefert nur die Höhe des Berührpunkts. Und lass den Term \( x_0 \) nicht weg: Es heißt \( (x - x_0) \), hier \( (x-1) \), nicht einfach \( x \).
Der Graph zur Kontrolle
Hier siehst du \( f \) (blau), den Tiefpunkt \( T(0\mid -1) \), die Nullstelle \( N(1\mid 0) \) und die Tangente \( t(x)=e(x-1) \) (orange). Prüfe, ob deine Ergebnisse zum Bild passen: Der Graph kommt von links von unten an die \( x \)-Achse heran, sinkt bis zum Tiefpunkt und steigt dann steil an. Die orange Gerade berührt den Graphen genau im Punkt \( (1\mid 0) \).
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Versuche, die Aufgabe einmal frei und laut durchzusprechen, ohne auf die Lösungen zu schauen — genau das wird in der Prüfung von dir verlangt.
- In welcher Reihenfolge untersuchst du die Funktion, und warum gerade so?
- Warum hat \( f \) trotz des Faktors \( (x-1) \) nur eine Nullstelle?
- Wie begründest du das Verhalten für \( x \to -\infty \) in einem Satz?
- Welche zwei Werte setzt du in die Tangentenformel ein, und welcher ist die Steigung?
Kurz-Spickzettel der Ergebnisse (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- Nullstelle: \( N(1 \mid 0) \)
- Grenzverhalten: \( x \to +\infty:\ f \to +\infty \); \quad \( x \to -\infty:\ f \to 0^{-} \)
- Ableitung: \( f'(x) = x\,e^{x} \)
- Extrempunkt: Tiefpunkt \( T(0 \mid -1) \) (wegen \( f''(0) = 1 > 0 \))
- Tangente in \( x_0 = 1 \): \( t(x) = e\,(x-1) = e\,x - e \)