Dieses Kapitel ist dein Werkzeugkasten. Fast jede Aufgabe der Analysis besteht aus diesen wenigen Bausteinen — ganzrationale Funktionen, die e-Funktion, Sinus und Cosinus, dazu zwei Spezialfälle. Wenn du von jeder Funktion das Aussehen, das Verhalten im Unendlichen und die Ableitung im Kopf hast, kannst du im Prüfungsgespräch ruhig und sicher argumentieren. Alles hier rechnest du von Hand — kein Taschenrechner, genau wie in deiner mündlichen Prüfung.
Eine Sache vorweg, die alle Bausteine verbindet: Die Ableitung \( f'(x) \) gibt die Steigung des Graphen an der Stelle \( x \) an. Geometrisch ist \( f'(x_0) \) die Steigung der Tangente im Punkt \( (x_0\mid f(x_0)) \). Diese eine Idee zieht sich durch das ganze Kapitel.
Die Potenzregel — das Fundament AB I
Bevor wir einzelne Funktionen anschauen, brauchst du eine einzige Regel, aus der sich fast alles ableitet. Für eine Potenz \( f(x) = x^n \) gilt:
\[ f(x) = x^n \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = n\,x^{\,n-1} \]
In Worten: Der Exponent kommt als Faktor nach vorne, und der neue Exponent ist um \( 1 \) kleiner.
Haltung dahinter: warum „Exponent runter, dann minus eins"?
Die Ableitung misst, wie schnell sich \( f \) ändert. Bei \( x^2 \) wächst die Fläche eines Quadrats mit Seitenlänge \( x \): Vergrößerst du \( x \) ein winziges Stück, kommen an zwei Seiten Streifen dazu — daher der Faktor \( 2 \) in \( f'(x) = 2x \). Bei \( x^3 \) (Volumen eines Würfels) kommen an drei Flächen Schichten dazu — daher \( 3x^2 \). Das Muster „Exponent als Faktor" ist also kein Trick, sondern beschreibt, an wie vielen „Seiten" das Wachstum gleichzeitig passiert.
Tiefer: Herleitung über den Differenzenquotienten (für \( x^2 \))
Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
Für \( f(x) = x^2 \) rechnen wir den Zähler von Hand aus:
\[ (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 = h\,(2x + h) \]
Geteilt durch \( h \) bleibt \( 2x + h \). Lässt man nun \( h \) gegen \( 0 \) gehen, fällt das \( h \) weg und es bleibt \( f'(x) = 2x \). Das ist die Potenzregel für \( n = 2 \), von Hand nachgerechnet.
Zwei Helfer, die du ständig brauchst:
- Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten stehen: \( \big(c\cdot f\big)' = c\cdot f' \).
- Summenregel: Eine Summe wird gliedweise abgeleitet: \( \big(f+g\big)' = f' + g' \).
Typische Falle: die Ableitung einer Konstanten
Eine Konstante wie \( 7 \) hat die Ableitung \( 0 \) — ein waagerechter Graph hat überall die Steigung \( 0 \). Schreibe \( 7 = 7x^0 \), dann liefert die Potenzregel \( 0\cdot 7x^{-1} = 0 \). Ebenso: \( (x)' = 1 \), denn \( x = x^1 \) und \( 1\cdot x^0 = 1 \). Diese beiden vergisst man unter Prüfungsdruck am leichtesten.
Ganzrationale Funktionen (Polynome) AB I–II
Eine ganzrationale Funktion (Polynom) ist eine Summe von Potenzen von \( x \) mit Zahlfaktoren, zum Beispiel:
\[ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \]
Der Grad ist der höchste vorkommende Exponent (hier \( 3 \)). Den Grad solltest du sofort erkennen — er bestimmt das grobe Aussehen und das Verhalten im Unendlichen.
Ableiten — gliedweise mit Potenz-, Faktor- und Summenregel
Wir leiten \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \) Glied für Glied ab:
\[ f'(x) = 2\cdot 3x^2 \;-\; 3\cdot 2x \;+\; 0 \;=\; 6x^2 - 6x \]
Schritt für Schritt nachvollzogen
- \( 2x^3 \): Exponent \( 3 \) nach vorne, neuer Exponent \( 2 \): \( 2\cdot 3\,x^{2} = 6x^2 \).
- \( -3x^2 \): \( -3\cdot 2\,x^{1} = -6x \).
- \( +4 \): konstant, Ableitung \( 0 \).
Zusammen: \( f'(x) = 6x^2 - 6x \). Du kannst noch \( 6x \) ausklammern: \( f'(x) = 6x(x-1) \) — diese faktorisierte Form ist Gold wert, wenn du gleich die Nullstellen von \( f' \) (also Extremstellen von \( f \)) suchst.
Haltung: warum ist die faktorisierte Form so nützlich?
Ein Produkt ist genau dann \( 0 \), wenn einer der Faktoren \( 0 \) ist (Satz vom Nullprodukt). Aus \( 6x(x-1)=0 \) liest du sofort \( x=0 \) oder \( x=1 \) ab — ohne Mitternachts-/pq-Formel. Im hilfsmittelfreien Teil ist Ausklammern fast immer schneller und sicherer als jede Lösungsformel.
Linearfaktordarstellung — Polynome an ihren Nullstellen ablesen
Statt der ausmultiplizierten Form lässt sich ein Polynom oft als Produkt von Linearfaktoren schreiben. Hat \( g \) die Nullstellen \( x_1, x_2, \dots \), so gilt:
\[ g(x) = a\,(x - x_1)(x - x_2)\cdots \]
Beispiel: \( g(x) = (x+1)(x-2) \) hat die Nullstellen \( x_1 = -1 \) und \( x_2 = 2 \). Ausmultipliziert ist das \( g(x) = x^2 - x - 2 \).
Probe: stimmen die Nullstellen?
Einsetzen: \( g(-1) = (-1+1)(-1-2) = 0\cdot(-3) = 0 \) ✓ und \( g(2) = (2+1)(2-2) = 3\cdot 0 = 0 \) ✓. Beide Faktoren werden an „ihrer" Nullstelle zu \( 0 \) und ziehen das ganze Produkt auf \( 0 \) — das ist der ganze Sinn der Linearfaktorform.
Haltung: Vielfachheit und Verhalten an der Nullstelle
Kommt ein Faktor mehrfach vor, z. B. \( (x-2)^2 \), spricht man von einer doppelten Nullstelle. Dort berührt der Graph die \( x \)-Achse, statt sie zu schneiden (er „dreht um"). Bei einer einfachen Nullstelle schneidet er hindurch. Diese Unterscheidung hilft beim schnellen Skizzieren ohne Wertetabelle.
Hier siehst du \( g(x) = (x+1)(x-2) = x^2 - x - 2 \) mit seinen beiden Nullstellen:
Verhalten im Unendlichen AB II
Für sehr große \( |x| \) bestimmt allein der Term mit dem höchsten Grad das Verhalten — alle kleineren Glieder werden im Vergleich winzig. Für \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4 \) zählt also nur \( 2x^3 \):
\[ x \to +\infty:\ f(x) \to +\infty \qquad\qquad x \to -\infty:\ f(x) \to -\infty \]
Haltung: ungerader Grad „über Kreuz", gerader Grad „gleiche Seite"
Bei ungeradem Höchstgrad (wie \( x^3 \)) laufen die beiden Enden in entgegengesetzte Richtungen (eines hoch, eines runter). Bei geradem Höchstgrad (wie \( x^2 \) oder \( x^4 \)) laufen beide Enden in dieselbe Richtung — bei positivem Leitfaktor beide nach oben. Das Vorzeichen des Leitfaktors entscheidet, ob es „so herum" oder gespiegelt ist. Mit diesen zwei Regeln kennst du das Fernverhalten jedes Polynoms in Sekunden.
Die e-Funktion AB II
Die natürliche Exponentialfunktion \( f(x) = e^x \) (mit der Eulerschen Zahl \( e \approx 2{,}718 \)) ist der wichtigste „nicht-polynomiale" Baustein der Analysis. Drei Dinge musst du sicher können.
1. Sie ist immer positiv. Für jedes \( x \) gilt \( e^x > 0 \). Der Graph liegt vollständig oberhalb der \( x \)-Achse und hat keine Nullstelle.
2. Verhalten im Unendlichen.
\[ x \to +\infty:\ e^x \to +\infty \qquad\qquad x \to -\infty:\ e^x \to 0^{+} \]
Nach links nähert sich der Graph der \( x \)-Achse beliebig an, ohne sie je zu erreichen — die \( x \)-Achse (\( y = 0 \)) ist eine waagerechte Asymptote.
3. Die Ableitung — die berühmteste Eigenschaft:
\[ f(x) = e^x \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = e^x \]
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung. An jeder Stelle ist ihre Steigung gleich ihrem Funktionswert.
Haltung: was bedeutet „eigene Ableitung" anschaulich?
Je höher der Graph schon ist, desto steiler steigt er weiter — Wachstum, das sich selbst antreibt. Im Punkt \( (0\mid 1) \) ist die Steigung genau \( 1 \) (denn \( e^0 = 1 \)); im Punkt \( (1 \mid e) \) ist sie \( e \approx 2{,}72 \). Diese Selbstbezüglichkeit macht \( e^x \) zum Modell für alles, was proportional zum eigenen Bestand wächst (Zinsen, Populationen, Zerfall mit negativem Exponenten).
Kettenregel: die Ableitung von \( e^{kx} \) AB II–III
In Anwendungen steht im Exponenten oft ein Faktor, z. B. \( f(x) = e^{2x} \) oder \( e^{-0{,}5x} \). Dann brauchst du die Kettenregel „äußere mal innere Ableitung":
\[ f(x) = e^{kx} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = k\,e^{kx} \]
Die äußere Funktion \( e^{(\;)} \) bleibt beim Ableiten stehen, und der innere Faktor \( k \) kommt als Faktor nach vorne. Beispiel: \( \big(e^{2x}\big)' = 2e^{2x} \); \( \big(e^{-0{,}5x}\big)' = -0{,}5\,e^{-0{,}5x} \).
Tiefer: warum der innere Faktor?
Die Kettenregel lautet allgemein \( \big(u(v(x))\big)' = u'(v(x))\cdot v'(x) \). Hier ist \( u(z)=e^z \) (also \( u'=e^z \)) und \( v(x)=kx \) (also \( v'(x)=k \)). Eingesetzt: \( e^{kx}\cdot k = k\,e^{kx} \). Die innere Ableitung \( v'(x)=k \) ist der Faktor, der „nach vorne" wandert.
Der Graph von \( f(x)=e^x \): immer positiv, links flach an der Achse, rechts steil steigend. Der Punkt \( (0\mid 1) \) ist markiert.
Sinus und Cosinus AB II
Die trigonometrischen Funktionen \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) beschreiben alles Periodische — Schwingungen, Wellen, Kreisbewegungen. Im Abitur arbeitest du mit dem Bogenmaß (Winkel in \( \pi \) gemessen, nicht in Grad).
Periode und Amplitude. Beide Funktionen wiederholen sich nach einer Periode von \( 2\pi \): \( \sin(x + 2\pi) = \sin(x) \). Ihre Werte liegen stets zwischen \( -1 \) und \( 1 \) — die Amplitude ist \( 1 \). Es gilt \( -1 \le \sin(x) \le 1 \) und ebenso für \( \cos \).
Die Ableitungen (unbedingt auswendig):
\[ \big(\sin x\big)' = \cos x \qquad\qquad \big(\cos x\big)' = -\sin x \]
Beachte das Minuszeichen beim Ableiten des Cosinus — die häufigste Fehlerquelle.
Haltung: warum ist die Ableitung von \( \sin \) gerade \( \cos \)?
Die Ableitung ist die Steigung. Schau auf den Sinus: Bei \( x=0 \) steigt er am steilsten (Steigung \( 1 \)) — und genau dort ist \( \cos(0)=1 \). Am Hochpunkt bei \( x=\tfrac{\pi}{2} \) ist der Sinus waagerecht (Steigung \( 0 \)) — und \( \cos(\tfrac{\pi}{2})=0 \). Die Steigungswerte des Sinus durchlaufen also genau die Werte des Cosinus. Beim Cosinus ist es dasselbe Spiel, nur fällt er bei \( x=0 \), daher das Minus: \( (\cos x)' = -\sin x \).
Tiefer: der „Vierer-Zyklus" beim wiederholten Ableiten
Leitet man immer weiter ab, dreht sich alles im Kreis:
\[ \sin x \;\xrightarrow{\;'\;}\; \cos x \;\xrightarrow{\;'\;}\; -\sin x \;\xrightarrow{\;'\;}\; -\cos x \;\xrightarrow{\;'\;}\; \sin x \]
Nach vier Ableitungen bist du wieder am Anfang. Wer das einmal als Kreis im Kopf hat, vertut sich beim Vorzeichen nicht mehr.
So sehen \( \sin(x) \) (blau) und \( \cos(x) \) (amber) über etwas mehr als eine Periode aus — beide zwischen \( -1 \) und \( 1 \), gegeneinander verschoben:
Wurzelfunktion Relevanz: offiziell Leistungsfach, im Basisfach nicht eigenständig ausgewiesen [80 %] — mit Lehrkraft prüfen
Die Wurzelfunktion \( f(x) = \sqrt{x} \) ist nur für \( x \ge 0 \) definiert (man kann aus negativen Zahlen keine reelle Quadratwurzel ziehen). Ihr Graph startet im Ursprung und steigt nach rechts, wird dabei aber immer flacher.
Zum Ableiten schreibt man die Wurzel als Potenz mit gebrochenem Exponenten und nutzt die gewohnte Potenzregel:
\[ f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = \tfrac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Schritt für Schritt mit der Potenzregel
Mit \( n = \tfrac{1}{2} \) liefert die Potenzregel \( n\,x^{n-1} = \tfrac{1}{2}\,x^{\frac{1}{2}-1} = \tfrac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} \). Ein negativer Exponent bedeutet „im Nenner", und \( x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \), also:
\[ \tfrac{1}{2}\,x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\,x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \]
Haltung: warum wird der Graph immer flacher?
Die Steigung ist \( f'(x) = \tfrac{1}{2\sqrt{x}} \). Je größer \( x \), desto größer der Nenner — also wird der Bruch und damit die Steigung kleiner. Bei \( x=1 \) ist die Steigung \( \tfrac12 \), bei \( x=4 \) nur noch \( \tfrac14 \). Nahe \( x=0 \) dagegen wird der Nenner winzig und die Steigung riesig: Der Graph startet senkrecht. Genau das siehst du im Diagramm.
Die Funktion \( f(x)=\tfrac{1}{x} \) Relevanz: offiziell Leistungsfach [97 %] — mit Lehrkraft prüfen
Die Funktion \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) heißt Hyperbel. Sie ist für alle \( x \) außer \( x = 0 \) definiert (Teilen durch \( 0 \) ist verboten) — bei \( x=0 \) hat sie eine Definitionslücke mit senkrechter Asymptote.
Verhalten. Für \( x \to \pm\infty \) nähert sich der Graph der \( x \)-Achse (\( y=0 \) ist waagerechte Asymptote). Nahe \( x=0 \) schießt er ins Unendliche: von rechts nach \( +\infty \), von links nach \( -\infty \). Der Graph besteht aus zwei getrennten Ästen.
Zum Ableiten wieder als Potenz schreiben:
\[ f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \]
Schritt für Schritt mit der Potenzregel
Mit \( n = -1 \): der Exponent \( -1 \) kommt als Faktor nach vorne, der neue Exponent ist \( -1 - 1 = -2 \). Also \( f'(x) = -1\cdot x^{-2} = -\dfrac{1}{x^2} \).
Haltung: die Steigung ist überall negativ
\( x^2 \) ist für jedes \( x \neq 0 \) positiv, also ist \( -\dfrac{1}{x^2} \) immer negativ. Das passt zum Bild: Auf beiden Ästen fällt der Graph. Es gibt deshalb keinen Hoch- oder Tiefpunkt — die Ableitung wird nie \( 0 \).
Überblick: alle Ableitungen auf einen Blick
Diese Tabelle ist deine Spickzettel-Essenz. Wenn du sie sicher beherrschst, hast du das Fundament für die gesamte Analysis.
| Funktion \( f(x) \) | Ableitung \( f'(x) \) | merke dir |
|---|---|---|
| \( x^n \) | \( n\,x^{\,n-1} \) | Exponent runter, dann minus eins |
| \( c \) (Konstante) | \( 0 \) | waagerecht = Steigung null |
| \( e^x \) | \( e^x \) | bleibt sich selbst |
| \( e^{kx} \) | \( k\,e^{kx} \) | innerer Faktor \( k \) nach vorne |
| \( \sin x \) | \( \cos x \) | — |
| \( \cos x \) | \( -\sin x \) | Vorsicht: Minus! |
| \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) | \( \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \) | als Potenz schreiben |
| \( \dfrac{1}{x} = x^{-1} \) | \( -\dfrac{1}{x^2} \) | als Potenz schreiben |
Selbsttest: deck die rechte Spalte ab
Sprich jede Ableitung laut aus, bevor du nachschaust — so, wie du es der Prüferin erklären würdest. Achte besonders auf die zwei Stolpersteine: das Minus bei \( (\cos x)' = -\sin x \) und der innere Faktor bei \( \big(e^{kx}\big)' = k\,e^{kx} \). Wenn diese beiden sitzen, sitzt der Rest meist von allein.