Kompakte Nachschlage-Sammlung der Wahrscheinlichkeits-Werkzeuge, die in den Konvolut-Aufgaben wiederkehren. Jeder Eintrag sagt in zwei Sätzen, was das Werkzeug ist, wann man es nimmt, und zeigt die Formel an einem winzigen Beispiel. Gedacht zum Verlinken aus den Aufgaben — und zum schnellen Auffrischen, wenn ein Begriff im Lösungsweg auftaucht.
Nachschlagewerk — Bausteine, kein Prüfungsstoff „am Stück"
Zufallsgröße
Eine Zufallsgröße \( X \) ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu — z. B. „die gewürfelte Augenzahl" oder „Anzahl blauer Kugeln bei 15 Zügen". Eine Wahrscheinlichkeit \( P \) ist eine Zahl zwischen \( 0 \) (unmöglich) und \( 1 \) (sicher), oft als Prozent. \( P(X=2) \) heißt „die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) den Wert 2 annimmt".
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, gilt
\[ P(\text{Ereignis}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}. \]
Beispiel. Würfel: \( P(\text{gerade Zahl}) = \tfrac{3}{6} = \tfrac12 \) (günstig: 2, 4, 6).
Erwartungswert
Der Erwartungswert \( E(X) \) ist der langfristige Durchschnitt: Würde man den Versuch sehr oft wiederholen, läge der Mittelwert der Ergebnisse nahe bei \( E(X) \). Man rechnet jeden Wert mal seiner Wahrscheinlichkeit, alles addiert:
\[ E(X) = \sum x_i\cdot P(X=x_i). \]
Wichtig: Der Erwartungswert ist nicht „der wahrscheinlichste Wert" und muss selbst gar nicht vorkommen können. Beispiel. Würfel: \( E(X)=1\cdot\tfrac16+2\cdot\tfrac16+\dots+6\cdot\tfrac16 = 3{,}5 \).
Faires Spiel — wozu der Erwartungswert hier?
Ein Glücksspiel heißt fair, wenn der erwartete Gewinn (Auszahlung minus Einsatz) gleich null ist — auf lange Sicht gewinnt und verliert niemand. Man bildet also \( E(\text{Gewinn}) \) und prüft, ob \( 0 \) herauskommt. Ist \( E(\text{Gewinn}) \lt 0 \), verliert der Spieler auf Dauer.
Bernoulli-Kette
Eine Bernoulli-Kette ist ein Versuch, der \( n \)-mal unabhängig wiederholt wird und bei dem es jedes Mal nur zwei Ausgänge gibt: „Treffer" (Wahrscheinlichkeit \( p \)) oder „kein Treffer". Typisch: Ziehen mit Zurücklegen. Die drei Bedingungen — fester Versuch, zwei Ausgänge, gleichbleibendes \( p \), unabhängig — muss man im Gespräch benennen können.
Binomialverteilung
Zählt \( X \) die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge \( n \) mit Trefferwahrscheinlichkeit \( p \), so ist \( X \) binomialverteilt:
\[ P(X=k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}, \qquad E(X) = n\cdot p. \]
Der Binomialkoeffizient \( \binom{n}{k} \) („n über k") zählt, auf wie viele Arten \( k \) Treffer auf \( n \) Versuche verteilt sein können. Beispiel. 15-mal ziehen, \( p=0{,}6 \): \( E(X)=15\cdot0{,}6 = 9 \) — im Mittel 9 Treffer.
Kumulierte Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b)
„Höchstens \( k \)" schreibt man \( P(X\le k) \). Ein Bereich ist die Differenz zweier solcher Werte:
\[ P(a\le X\le b) = P(X\le b) - P(X\le a-1). \]
Beispiel. \( P(5\le X\le 10) = P(X\le 10) - P(X\le 4) \). Solche kumulierten Werte liest man im Abitur aus der Tabelle/dem Rechner ab.
Ziehen ohne Zurücklegen
Wird ohne Zurücklegen gezogen (oder ist die Gesamtmenge klein), ändert sich \( p \) von Zug zu Zug — dann ist \( X \) nicht binomialverteilt. Man rechnet über einen Baum mit angepassten Brüchen. Beispiel. Aus 10 Personen (4 „passend") 3 ziehen, genau 2 passend: \( 3\cdot\tfrac{4}{10}\cdot\tfrac{3}{9}\cdot\tfrac{6}{8} = 0{,}30 \) (der Faktor 3 zählt die Reihenfolgen).
Normalverteilung
Eine normalverteilte Zufallsgröße ist stetig (sie kann jeden Wert in einem Bereich annehmen) und wird durch eine Glockenkurve beschrieben. Zwei Kennzahlen steuern sie:
- Erwartungswert \( \mu \): Lage der Symmetrieachse und des Hochpunkts der Glocke.
- Standardabweichung \( \sigma \): Maß für die Breite. Die Wendepunkte der Glocke liegen bei \( \mu-\sigma \) und \( \mu+\sigma \). Größeres \( \sigma \) → flacher und breiter.
Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Kurve: \( P(a\le X\le b) \) ist die Fläche zwischen \( a \) und \( b \). Beispiel. \( P(X\le 21) \) bei \( \mu=20 \) ist etwas mehr als die Hälfte, weil \( 21 \) knapp rechts der Mitte liegt.
Binomial- gegen Normalverteilung — der Zusammenhang
Die Binomialverteilung ist diskret (nur ganze Trefferzahlen, Balkendiagramm); die Normalverteilung ist stetig (durchgehende Kurve). Für großes \( n \) sieht die Binomialverteilung aber fast wie eine Glockenkurve aus — die Normalverteilung ist dann eine gute Näherung. Gemeinsam: glockenförmig, symmetrisch um den Erwartungswert. Unterschied: einzelne Werte gegen Flächen.
Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel ordnet zwei Ja/Nein-Merkmale (z. B. „Interesse"/„kein Interesse" und „passend"/„nicht passend") in einer 2×2-Tabelle; die Randfelder sind die Summen. Daraus liest man Wahrscheinlichkeiten direkt ab und berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten (Anteil innerhalb einer Zeile/Spalte).
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
- Bedingte Wahrscheinlichkeit \( P_B(A) \) („A, wenn B schon feststeht") = Anteil von A innerhalb von B: \( \displaystyle P_B(A) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \).
- Stochastische Unabhängigkeit: A und B sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert. Test: \( P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \). Kommt links und rechts dasselbe heraus → unabhängig; sonst nicht.
Beispiel. \( P(A)=41\%,\ P(B)=37\%,\ P(A\cap B)=22\% \): \( 0{,}41\cdot0{,}37 = 0{,}152 \neq 0{,}22 \) → nicht unabhängig.