Ableiten ist das Werkzeug, mit dem du aus einer Funktion \( f \) ihre Steigungsfunktion \( f' \) machst — die in jedem Punkt sagt, wie steil der Graph dort ist. In der mündlichen Prüfung leitest du von Hand ab, ohne Taschenrechner. Das ist gut so, denn die fünf Regeln auf dieser Seite sind so gebaut, dass du sie sicher im Kopf anwenden kannst, wenn du das Prinzip dahinter einmal verstanden hast.
Geh die Regeln der Reihe nach durch. Jede hat dieselbe Struktur: Aussage, ein Merksatz zum Behalten, und zwei bis drei Beispiele, die du am besten selbst mitrechnest, bevor du die Lösung aufklappst.
Was du am Ende können sollst: Ein Polynom wie \( f(x) = 2x^3 - 4x + 7 \) im Kopf ableiten, ein Produkt wie \( (2x-1)(x^2+3) \) mit der Produktregel angehen, und eine geklammerte Potenz wie \( (3x+1)^2 \) mit der linearen Kettenregel — alles ohne Rechner.
Potenzregel — das Fundament
Aussage. Für eine Potenz \( f(x) = x^n \) gilt
\[ f'(x) = n \cdot x^{\,n-1}. \]
Du ziehst den Exponenten als Faktor nach vorn und senkst ihn um eins ab.
Merksatz: Exponent vor, Exponent minus eins.
Haltung dahinter: Warum gerade „vor und minus eins"?
Die Ableitung misst, wie schnell sich \( f \) ändert. Bei \( x^n \) wächst der Funktionswert umso schneller, je größer \( n \) ist — deshalb taucht \( n \) als Faktor auf. Und weil die Steigung selbst wieder eine (um einen Grad niedrigere) Potenz ist, sinkt der Exponent auf \( n-1 \).
Herleitung am Beispiel \( x^2 \) (Differenzenquotient)
Die Steigung im Punkt \( x \) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h}. \]
Der Zähler ist \( (x+h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 \). Geteilt durch \( h \) bleibt \( 2x + h \). Lässt man \( h \) gegen \( 0 \) gehen, fällt das \( h \) weg:
\[ f'(x) = 2x. \]
Das passt zur Regel: \( n = 2 \) ergibt \( 2 \cdot x^{1} = 2x \). Genau diese Idee — „Differenzenquotient, dann \( h \to 0 \)" — steckt hinter jeder Potenz.
Beispiele.
① \( f(x) = x^4 \) AB I
Exponent \( 4 \) vor, Exponent um eins kleiner:
\[ f'(x) = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3. \]
② \( f(x) = x \) — der Spezialfall AB I
Schreibe \( x = x^1 \). Dann ist \( f'(x) = 1 \cdot x^{0} = 1 \), denn \( x^0 = 1 \).
Falle: Die Ableitung einer reinen Variablen ist \( 1 \), nicht \( 0 \). Und die Ableitung einer Konstanten wie \( f(x) = 7 \) ist \( 0 \) — eine waagrechte Linie hat überall Steigung null.
③ Negative und gebrochene Exponenten offiziell Leistungsfach, Basisfach unsicher [80–97 %] — mit Lehrkraft prüfen
Die Regel gilt für jeden Exponenten, auch negative und gebrochene. Im Basisfach sind diese Fälle aber nicht eigenständig im Kanon ausgewiesen — kläre mit deiner Lehrkraft, ob du sie brauchst.
Negativer Exponent (entspricht \( \tfrac{1}{x^2} \), eine Leistungsfach-Funktion, Konfidenz 97 %):
\[ f(x) = x^{-2} \quad\Rightarrow\quad f'(x) = -2 \cdot x^{-3}. \]
Gebrochener Exponent (das ist die Wurzelfunktion \( \sqrt{x} = x^{1/2} \), Basisfach-Status unsicher, Konfidenz 80 %):
\[ f(x) = x^{1/2} \quad\Rightarrow\quad f'(x) = \tfrac{1}{2} \cdot x^{-1/2}. \]
Das Schema ist immer dasselbe: Exponent vor, Exponent minus eins — egal welcher Art die Zahl ist.
Faktorregel — konstante Faktoren bleiben stehen
Aussage. Ein konstanter Faktor \( c \) vor der Funktion bleibt beim Ableiten unverändert stehen:
\[ \big( c \cdot f(x) \big)' = c \cdot f'(x). \]
Merksatz: Zahl davor? Lass sie stehen, leite nur den Rest ab.
Haltung dahinter: Warum darf der Faktor stehen bleiben?
Ein konstanter Faktor staucht oder streckt den Graphen nur in der Höhe. Wird die Funktion an jeder Stelle dreimal so hoch, dann ist sie auch überall dreimal so steil — die Steigung skaliert mit demselben Faktor. Die Form der Steigungskurve ändert sich nicht, nur ihre Höhe.
Beispiele.
① \( f(x) = 5x^3 \) AB I
Den Faktor \( 5 \) stehen lassen, \( x^3 \) nach der Potenzregel ableiten (\( \to 3x^2 \)):
\[ f'(x) = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2. \]
② \( f(x) = \tfrac{1}{2}x^4 \) AB I
Faktor \( \tfrac{1}{2} \) bleibt, \( x^4 \to 4x^3 \):
\[ f'(x) = \tfrac{1}{2} \cdot 4x^3 = 2x^3. \]
Die \( 4 \) aus der Potenzregel kürzt sich schön mit dem \( \tfrac{1}{2} \) — solche Brüche, die sich glatt rechnen, sind in der hilfsmittelfreien Prüfung typisch.
Summenregel — Term für Term
Aussage. Eine Summe (oder Differenz) wird gliedweise abgeleitet:
\[ \big( f(x) + g(x) \big)' = f'(x) + g'(x). \]
Merksatz: Jeden Summanden einzeln ableiten, dann wieder zusammensetzen.
Haltung dahinter: Steigungen addieren sich
Wenn zwei Bewegungen sich überlagern, addieren sich ihre Geschwindigkeiten. Genauso bei Funktionen: Die Steigung einer Summe ist die Summe der Steigungen. Deshalb darfst du ein Polynom Glied für Glied ableiten — Faktor- und Summenregel zusammen erledigen jedes Polynom.
Beispiele.
① \( f(x) = x^3 + x^2 \) AB I
Jeden Summanden einzeln: \( x^3 \to 3x^2 \) und \( x^2 \to 2x \). Zusammen:
\[ f'(x) = 3x^2 + 2x. \]
② Ein vollständiges Polynom: \( f(x) = 2x^3 - 4x + 7 \) AB I–II
Hier wirken alle drei bisherigen Regeln zusammen. Geh von links nach rechts:
- \( 2x^3 \): Faktor \( 2 \) bleibt, \( x^3 \to 3x^2 \), ergibt \( 6x^2 \).
- \( -4x \): Faktor \( -4 \) bleibt, \( x \to 1 \), ergibt \( -4 \).
- \( +7 \): konstanter Summand, Ableitung \( 0 \).
\[ f'(x) = 6x^2 - 4. \]
Falle: Die Konstante verschwindet
Der Summand \( +7 \) hat keine Steigung (waagrechte Verschiebung des ganzen Graphen) und fällt beim Ableiten ersatzlos weg. Ein häufiger Flüchtigkeitsfehler ist, die \( 7 \) versehentlich mitzuschleppen.
Produktregel — wenn zwei Funktionen multipliziert werden
Aussage. Steht ein Produkt \( f(x) = u(x) \cdot v(x) \) da, gilt
\[ f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x). \]
Merksatz: Erstes abgeleitet mal zweites, plus erstes mal zweites abgeleitet.
Haltung dahinter: Warum nicht einfach \( u' \cdot v' \)?
Ein verbreiteter Fehler ist, ein Produkt faktorweise abzuleiten — das ist falsch. Anschaulich: Eine Rechteckfläche \( u \cdot v \) wächst, wenn die Breite \( u \) wächst (Beitrag \( u' \cdot v \)) und wenn die Höhe \( v \) wächst (Beitrag \( u \cdot v' \)). Beide Beiträge zusammen ergeben die Änderungsrate — daher die Summe der beiden „Kreuzprodukte".
Erste-Hilfe-Schema: Schreib dir vor jeder Produktregel kurz die vier Bausteine hin — \( u \), \( u' \), \( v \), \( v' \) — dann setzt du nur noch ein. Das verhindert Fehler unter Prüfungsdruck.
Beispiele.
① \( f(x) = x^2 \cdot (x+1) \) AB II
Bausteine bestimmen:
\[ u = x^2,\quad u' = 2x,\qquad v = x+1,\quad v' = 1. \]
In die Regel einsetzen:
\[ f'(x) = u'v + uv' = 2x\,(x+1) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x. \]
Gegenprobe durch Ausmultiplizieren
Multiplizierst du zuerst aus, ist \( f(x) = x^3 + x^2 \). Mit Summen- und Potenzregel: \( f'(x) = 3x^2 + 2x \). Gleiches Ergebnis — die Produktregel ist verlässlich, und das Ausmultiplizieren ist hier die einfache Gegenprobe. Haltung: Bei einem einfachen Produkt, das sich leicht ausmultiplizieren lässt, ist das oft der schnellere Weg. Die Produktregel brauchst du, wenn das Ausmultiplizieren mühsam oder unmöglich ist.
② \( f(x) = (2x-1)(x^2+3) \) AB II
Bausteine:
\[ u = 2x-1,\quad u' = 2,\qquad v = x^2+3,\quad v' = 2x. \]
Einsetzen und zusammenfassen:
\[ f'(x) = 2\,(x^2+3) + (2x-1)\,2x = 2x^2 + 6 + 4x^2 - 2x = 6x^2 - 2x + 6. \]
Gegenprobe
Ausmultipliziert ist \( f(x) = 2x^3 + 6x - x^2 - 3 \), also \( f(x) = 2x^3 - x^2 + 6x - 3 \). Gliedweise abgeleitet: \( f'(x) = 6x^2 - 2x + 6 \). Stimmt überein.
Lineare Kettenregel — die innere Funktion ist \( ax + b \)
Aussage. Ist die innere Funktion linear, also von der Form \( ax + b \), und \( f(x) = g(ax+b) \), dann gilt
\[ f'(x) = a \cdot g'(ax+b). \]
Du leitest die äußere Funktion ganz normal ab, lässt den inneren Klammerausdruck \( ax+b \) dabei unangetastet stehen, und multiplizierst am Ende mit der inneren Steigung \( a \).
Merksatz: Außen ableiten, Klammer abschreiben, mal die Zahl vor dem \( x \).
Haltung dahinter: Was bedeutet „mal \( a \)"?
Die innere Funktion \( ax+b \) läuft \( a \)-mal so schnell wie \( x \) selbst. Wenn der Eingang \( a \)-mal schneller voranschreitet, ändert sich auch der Ausgang \( a \)-mal schneller — deshalb der Faktor \( a \). Das ist der einfache, prüfungsrelevante Spezialfall der Kettenregel, weil die innere Steigung \( a \) konstant ist.
Warum nur der lineare Fall im Basisfach?
Die allgemeine Kettenregel \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) erlaubt jede innere Funktion \( h(x) \) (etwa \( h(x) = x^2 \)). Sie gehört zum Leistungsfach. Im Basisfach beschränkt man sich auf die innere Funktion \( ax+b \), deren Ableitung einfach die Konstante \( a \) ist — daraus wird die handliche Regel „mal \( a \)".
Beispiele.
① \( f(x) = (3x+1)^2 \) AB II
Äußere Funktion ist „Quadrat", innere ist \( 3x+1 \) mit \( a = 3 \). Äußere ableiten (\( (\,\cdot\,)^2 \to 2(\,\cdot\,) \)), Klammer stehen lassen, mal \( a = 3 \):
\[ f'(x) = 3 \cdot 2\,(3x+1) = 6\,(3x+1) = 18x + 6. \]
Gegenprobe durch Ausmultiplizieren
\( f(x) = (3x+1)^2 = 9x^2 + 6x + 1 \), gliedweise abgeleitet \( f'(x) = 18x + 6 \). Passt.
② \( f(x) = (2x-5)^3 \) AB II
Äußere Funktion „hoch drei" (\( (\,\cdot\,)^3 \to 3(\,\cdot\,)^2 \)), innere \( 2x-5 \) mit \( a = 2 \):
\[ f'(x) = 2 \cdot 3\,(2x-5)^2 = 6\,(2x-5)^2. \]
Haltung: Du musst die Klammer nicht ausmultiplizieren. Bei höheren Potenzen ist die Klammerschreibweise oft die gewünschte, kompakte Endform.
③ Achtung beim Vorzeichen: \( f(x) = (1-x)^4 \) AB II–III
Hier ist die innere Funktion \( 1 - x \), also \( a = -1 \) (der Faktor vor dem \( x \) ist negativ!). Äußere „hoch vier" (\( \to 4(\,\cdot\,)^3 \)), mal \( a = -1 \):
\[ f'(x) = (-1) \cdot 4\,(1-x)^3 = -4\,(1-x)^3. \]
Falle: Das Minuszeichen der inneren Funktion wird leicht übersehen. Schau immer genau hin, welche Zahl vor dem \( x \) steht — und mit welchem Vorzeichen.
Abgrenzung — was Leistungsfach ist
Damit du nicht Energie in den falschen Stoff steckst: Zwei verwandte Regeln gehören nicht ins Basisfach-Repertoire.
| Regel | Form | Status |
|---|---|---|
| Allgemeine Kettenregel | \( f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) \) mit beliebigem inneren \( h(x) \) | Leistungsfach — mit Lehrkraft prüfen |
| Quotientenregel | \( \left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \) | Leistungsfach — mit Lehrkraft prüfen |
Was du im Basisfach stattdessen brauchst
Für das Basisfach reichen die fünf Regeln dieser Seite: Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt- und die lineare Kettenregel. Damit leitest du jedes Polynom und jedes einfache Produkt ab, ebenso geklammerte Potenzen mit linearer Klammer. Triff im Zweifel die Absprache mit deiner Lehrkraft, welche dieser Grenzfälle in deiner Prüfung vorkommen können.
Bild: Funktion und ihre Steigungsfunktion
Das ganze Handwerk hat ein Ziel: aus \( f \) die Steigungsfunktion \( f' \) zu gewinnen. Hier siehst du das an \( f(x) = x^3 - 3x \). Mit Faktor- und Summenregel ergibt sich
\[ f'(x) = 3x^2 - 3. \]
Wo \( f' = 0 \) ist (bei \( x = -1 \) und \( x = 1 \)), ist der Graph von \( f \) waagrecht — das sind genau die Hoch- und Tiefpunkte. Wo \( f' \) negativ ist (zwischen \( -1 \) und \( 1 \)), fällt \( f \); wo \( f' \) positiv ist, steigt \( f \).
Die blaue Kurve ist \( f \), die gestrichelte orange Kurve ist die Steigungsfunktion \( f' \). Beachte: An den Nullstellen von \( f' \) liegen die Extrempunkte von \( f \).
Selbsttest: Kannst du das nachvollziehen?
Decke die Lösung ab und leite \( f(x) = x^3 - 3x \) selbst ab. \( x^3 \to 3x^2 \), \( -3x \to -3 \), also \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Setze \( f'(x) = 0 \): \( 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \). Genau dort hat \( f \) die waagrechten Tangenten — vergleiche mit dem Bild.