Dies ist eine vollständige mündliche Beispielprüfung aus dem Abitur-Konvolut 2023: Teil 1 (Vortrag) aus der Analysis, Teil 2 (Gespräch) aus der Stochastik. Alles ist rechnerfrei zu lösen (Teil 1 ausdrücklich „ohne WTR", also ohne Taschenrechner). Arbeitet die Aufgabe wie eine echte Simulation durch — eine Person trägt vor, die andere prüft mit dem Lösungsweg und dem Prüfer-Leitfaden am Ende mit.
Lesehilfe für die Detailkästen. Jeder Lösungsschritt hat darunter einen klappbaren Kasten „Haltung dahinter". Der erklärt den Schritt von Grund auf — so, als hätte man den Stoff lange nicht mehr gesehen. Jeder Fachbegriff wird beim ersten Auftauchen in einfachen Worten erklärt. Wer nur das Ergebnis braucht, lässt die Kästen zu; wer verstehen will, klappt sie auf.
Kurzanleitung für die abfragende Person (zuerst lesen)
Du musst den Stoff nicht selbst beherrschen, um diese Aufgabe abzunehmen. So gehst du vor:
- Lass die andere Person nur die grauen Aufgabenkästen sehen und laut erklären.
- Du hast den ausgeklappten Lösungsweg vor dir. Vergleiche nicht Wort für Wort — achte auf die fett markierten Kernschritte und die Ergebnisse.
- Die „Haltung dahinter"-Kästen erklären dir jeden Schritt in Alltagssprache. Lies sie ruhig selbst mit — danach kannst du die Erklärung der anderen Person einordnen, auch ohne Vorwissen.
- Am Ende findest du den Prüfer-Leitfaden: dort steht je Teilaufgabe in einem Satz, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst.
- Grüne Markierung = Grundwissen (sollte sicher sitzen), gelbe = anspruchsvoller (Nachfragen ok).
- Besonderheit bei dieser Aufgabe: Teil 1 hat im Original einen amtlichen Lösungsschlüssel (Erwartungshorizont) — die Ergebnisse stehen also fest. Teil 2 gibt im Original nur Gesprächsthemen vor; die ausgerechneten Lösungen hier sind selbst erarbeitet und vollständig nachgerechnet.
Werkzeug zum Nachschlagen: Die Analysis-Werkzeuge stehen in den Kapiteln Ableit-Handwerk, Integral-Grundlagen, Stammfunktion & Hauptsatz, Funktionsuntersuchung, Grundfunktionen und Grenzwerte & Randverhalten. Die Stochastik-Werkzeuge (Erwartungswert, Normal- und Binomialverteilung) findest du kompakt im Werkzeugkasten Stochastik (Anker u. a. `#normalverteilung`, `#binomialverteilung`, `#erwartungswert`).
Teil 1 — Vortrag (Analysis): Graph lesen, Stammfunktion deuten, Term zuordnen
Teil 1: Analysis (ohne WTR). Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \( f \).
a) Bestimme \( f'(0) \).
b) Ermittle \( \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \).
c) \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \). Untersuche mit Hilfe des Graphen von \( f \), ob der Graph von \( F \) im abgebildeten Bereich Hoch-, Tief- bzw. Wendepunkte besitzt. Gib gegebenenfalls die entsprechenden Stellen an.
d) Entscheide, welche der folgenden Funktionsgleichungen zu \( f \) gehört, und begründe deine Entscheidung: \( f_1(x) = (x-2)\,e^{-x} \) ; \( f_2(x) = (x-2)\,e^{x} \) ; \( f_3(x) = x\,e^{x} - 2 \).
e) Der Graph der Funktion \( g \) mit \( g(x) = (x-2)^2\,e^{x} \) besitzt den Hochpunkt \( H(0\,|\,4) \). Skizziere den Graphen von \( g \) und erläutere dein Vorgehen.
Hier ist der Graph von \( f \), wie ihn das Original zeigt — reproduziert aus dem Funktionsterm, den du in Teilaufgabe d) selbst findest. Lies erst selbst ab, bevor du die Lösungen aufklappst.
Teilaufgabe a) — \( f'(0) \) aus dem Graphen ablesen
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Schritt 1 — Tangente einzeichnen. Lege im Punkt \( P(0\,|\,f(0)) = P(0\,|\,-2) \) das Lineal so an, dass es sich an die Kurve anschmiegt (die Tangente). Das ist die orange gestrichelte Gerade im Bild.
Schritt 2 — Steigung der Tangente ablesen. Geh vom Berührpunkt aus \( 1 \) nach rechts und schau, wie weit die Tangente dabei hoch- oder runtergeht: Sie geht \( 1 \) nach unten. Steigung also
\[ f'(0) = \frac{\text{Höhenänderung}}{\text{Schrittweite}} = \frac{-1}{1} = -1. \]
Ergebnis: \( f'(0) \approx -1 \).
Haltung dahinter: Was ist \( f'(0) \) überhaupt? (ganz von vorn)
Langsam von vorn. Die Ableitung \( f' \) einer Funktion misst an jeder Stelle die Steigung des Graphen — also wie steil er gerade bergauf oder bergab läuft. \( f'(0) \) ist daher einfach die Steigung des Graphen genau an der Stelle \( x = 0 \).
Steigung anschaulich. Steigung heißt: „Wenn ich einen Schritt nach rechts gehe, wie viel geht es dabei hoch oder runter?" Eine Steigung von \( +2 \) bedeutet „\( 1 \) nach rechts, \( 2 \) nach oben", eine Steigung von \( -1 \) bedeutet „\( 1 \) nach rechts, \( 1 \) nach unten". Wie bei einer Straße: Gefälle = negative Steigung.
Warum die Tangente? Der Graph ist gekrümmt, an einer Kurve kann man Steigung nicht direkt ablesen. Trick: Man legt an der gewünschten Stelle eine Gerade an, die den Graphen dort gerade berührt und in dieselbe Richtung zeigt — die Tangente (von lateinisch tangere = berühren). Diese Gerade hat an der Berührstelle genau dieselbe Steigung wie der Graph. Und die Steigung einer Geraden kann man bequem mit dem „rechts/hoch"-Dreieck ablesen.
Ganz langsam (mit Zahlen): die Steigung aus zwei Punkten der Tangente
Steigung einer Geraden \( = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} \) („Delta" heißt „Unterschied"): Höhenunterschied geteilt durch Rechts-Unterschied. Nimm zwei bequeme Punkte auf der Tangente:
- Berührpunkt \( P(0\,|\,-2) \),
- einen Schritt weiter rechts liegt die Tangente bei \( (1\,|\,-3) \).
Damit:
\[ f'(0) = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-3 - (-2)}{1 - 0} = \frac{-3+2}{1} = \frac{-1}{1} = -1. \]
Beachte \( -3 - (-2) = -3 + 2 = -1 \): „minus minus zwei" wird „plus zwei". Ergebnis: Steigung \( -1 \).
Typische Falle
Hier ist nicht der Funktionswert \( f(0) = -2 \) gefragt (das ist die Höhe des Graphen), sondern die Steigung \( f'(0) = -1 \) (wie schräg er dort liegt). Zweite Falle: die Steigung der Kurve selbst schätzen zu wollen — immer erst die Tangente einzeichnen und an ihr ablesen. Mehr dazu: Ableit-Handwerk.
Teilaufgabe b) — Integral durch Kästchenzählen
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Zwischen \( x=0 \) und \( x=2 \) liegt der Graph unter der \( x \)-Achse (siehe blaue Fläche im rechten Bild). Ohne Funktionsterm liest man das Integral durch Kästchenzählen ab.
Schritt 1 — Größe eines Kästchens. Im Original-Koordinatensystem ist jedes kleine Gitterquadrat \( 0{,}5 \) breit und \( 0{,}5 \) hoch, hat also den Flächeninhalt \( 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \).
Schritt 2 — Kästchen zählen. Die eingeschlossene Fläche umfasst rund \( 17 \) Kästchen (ganze und zu ganzen ergänzte Teilkästchen). Flächeninhalt also
\[ A \approx 17 \cdot 0{,}25 = \frac{17}{4} = 4{,}25. \]
Schritt 3 — Vorzeichen. Die Fläche liegt unter der Achse, das Integral zählt sie deshalb negativ:
\[ \int_0^2 f(x)\,dx \approx -\frac{17}{4} = -4{,}25. \]
Ergebnis: \( \displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx \approx -4{,}25 \).
Haltung dahinter: Was ist ein Integral, und warum kann es negativ sein?
Ein Integral \( \int_a^b f(x)\,dx \) ist eine Maschine, die die Fläche zwischen dem Graphen und der \( x \)-Achse von der linken Grenze \( a \) bis zur rechten Grenze \( b \) zusammenrechnet. Man kann sich unendlich viele hauchdünne senkrechte Streifen unter der Kurve vorstellen, alle aufaddiert.
Der Haken: Das Integral zählt Fläche mit Vorzeichen (man sagt orientierter Flächeninhalt). Ein gutes Bild ist ein Bankkonto:
- Graph über der Achse → Streifen zeigen nach oben → zählen positiv (Einzahlung).
- Graph unter der Achse → Streifen zeigen nach unten → zählen negativ (Abhebung).
Zwischen \( 0 \) und \( 2 \) liegt der Graph komplett unter der Achse, deshalb kommt ein negativer Wert heraus.
Kästchenzählen ist die rechnerfreie Variante: Statt eine Stammfunktion zu suchen, schätzt man die Fläche, indem man die Gitterquadrate abzählt — volle Kästchen ganz, angeschnittene zu vollen ergänzt (zwei halbe = eins). Das ergibt hier etwa \( 17 \) Kästchen.
Ganz langsam (mit Zahlen): von 17 Kästchen zu −4,25
Ein Kästchen ist \( 0{,}5 \times 0{,}5 \). Achtung: \( 0{,}5 \cdot 0{,}5 = 0{,}25 \), nicht \( 0{,}5 \) — ein Viertelquadrat. Also:
\[ 17 \text{ Kästchen} \cdot 0{,}25 \tfrac{\text{Fläche}}{\text{Kästchen}} = 4{,}25. \]
Dasselbe als Bruch: \( 17 \cdot \tfrac14 = \tfrac{17}{4} = 4{,}25 \). Weil die Fläche unter der Achse liegt, ein Minus davor: \( -\tfrac{17}{4} = -4{,}25 \).
Kontrolle mit dem exakten Term (aus Teilaufgabe d)
Sobald man aus d) weiß, dass \( f(x) = (x-2)e^x \) ist, kann man das Integral exakt nachrechnen. Eine Stammfunktion ist \( F(x) = (x-3)e^x \) (Probe durch Ableiten: \( F'(x) = e^x + (x-3)e^x = (x-2)e^x \) ✓). Mit dem Hauptsatz:
\[ \int_0^2 (x-2)e^x\,dx = \big[(x-3)e^x\big]_0^2 = (2-3)e^2 - (0-3)e^0 = -e^2 + 3 \approx -4{,}39. \]
Der abgelesene Wert \( -4{,}25 \) liegt nah dran — die kleine Abweichung kommt vom Schätzen beim Kästchenzählen. In der Prüfung ist hier ohne Taschenrechner gefragt, also ist \( -\tfrac{17}{4} \) die erwartete Antwort. Mehr zum Hauptsatz: Stammfunktion & Hauptsatz.
Typische Falle
Das Minuszeichen vergessen ist der häufigste Fehler: Die Fläche selbst ist positiv (\( \approx 4{,}25 \)), aber das Integral ist negativ, weil die Fläche unter der Achse liegt. Zweite Falle: die Kästchengröße falsch ansetzen (\( 1 \times 1 \) statt \( 0{,}5 \times 0{,}5 \)) — dann vervierfacht sich das Ergebnis fälschlich.
Teilaufgabe c) — Hoch-, Tief- und Wendepunkte der Stammfunktion \( F \)
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Wichtig ist die Beziehung \( F' = f \): Die Steigung von \( F \) ist die Funktion \( f \), die wir im Bild sehen. Daraus lesen wir alles ab.
Tiefpunkt von \( F \). Ein Tief- oder Hochpunkt von \( F \) liegt dort, wo seine Steigung \( F' = f \) null wird und das Vorzeichen wechselt. Der Graph von \( f \) hat nur eine Nullstelle, bei \( x = 2 \), und dort wechselt \( f \) von minus nach plus (links der Achse, rechts darüber). Damit hört \( F \) auf zu fallen und beginnt zu steigen → Tiefpunkt von \( F \) bei \( x_1 = 2 \).
Kein Hochpunkt. Für einen Hochpunkt von \( F \) bräuchte man eine Nullstelle von \( f \) mit Vorzeichenwechsel von plus nach minus. Eine solche gibt es im abgebildeten Bereich nicht → \( F \) hat dort keinen Hochpunkt.
Wendepunkt von \( F \). Ein Wendepunkt von \( F \) liegt dort, wo seine Steigung \( f \) selbst einen Hoch- oder Tiefpunkt hat (wo \( f \) also am steilsten/flachsten ist). Der Graph von \( f \) hat einen Tiefpunkt bei \( x = 1 \) → Wendepunkt von \( F \) bei \( x_2 = 1 \).
Ergebnis: \( F \) hat einen Tiefpunkt bei \( x = 2 \), einen Wendepunkt bei \( x = 1 \) und keinen Hochpunkt im abgebildeten Bereich.
Haltung dahinter: Warum verrät der Graph von \( f \) alles über \( F \)?
Drei Begriffe der Reihe nach.
Stammfunktion. \( F \) ist eine Stammfunktion von \( f \), wenn das Ableiten von \( F \) wieder \( f \) ergibt: \( F' = f \). „Ableiten" liefert die Steigung — also ist \( f \) genau die Steigung von \( F \). Diesen einen Satz braucht man für die ganze Aufgabe.
Hoch-/Tiefpunkt. Ein Hoch- oder Tiefpunkt ist eine Stelle, an der ein Graph aufhört zu steigen und zu fallen beginnt (oder umgekehrt). Genau dort ist die Steigung null. Die Steigung von \( F \) ist \( f \). Also: Hoch-/Tiefpunkte von \( F \) sitzen bei den Nullstellen von \( f \).
- Wechselt \( f \) dort von minus nach plus, fiel \( F \) erst und steigt dann → Tiefpunkt (Tal).
- Wechselt \( f \) dort von plus nach minus, stieg \( F \) erst und fällt dann → Hochpunkt (Gipfel).
„VZW" ist die Abkürzung für Vorzeichenwechsel: Der Funktionswert von \( f \) geht beim Durchlaufen der Stelle von einem Vorzeichen ins andere über.
Wendepunkt. Ein Wendepunkt ist eine Stelle, an der sich die Krümmung eines Graphen ändert (von Linkskurve zu Rechtskurve oder umgekehrt) — die Stelle, an der \( F \) am steilsten oder am flachsten läuft. „Am steilsten" heißt: Die Steigung \( f \) erreicht dort selbst einen Extremwert (Hoch- oder Tiefpunkt von \( f \)). Deshalb: Wendepunkte von \( F \) sitzen bei den Extremstellen von \( f \).
Ganz langsam (mit Zahlen): was am Graphen von \( f \) abgelesen wird
Drei Beobachtungen direkt aus dem Bild:
- \( f \) ist links von \( x=2 \) durchweg negativ (Graph unter der Achse), bei \( x=2 \) null, rechts davon positiv. → einzige Nullstelle bei \( x=2 \), VZW \( - \to + \) → Tiefpunkt von \( F \) bei \( x=2 \).
- Nirgends im Bild wechselt \( f \) von \( + \to - \) → kein Hochpunkt von \( F \).
- \( f \) selbst hat seinen tiefsten Punkt bei \( x=1 \) (dort liegt die Kurve am weitesten unten). Eine Extremstelle von \( f \) → Wendepunkt von \( F \) bei \( x=1 \).
Eselsbrücke für die Kette: \( F \) → ableiten → \( f \) → ableiten → \( f' \). Nullstellen von \( f \) steuern die Extrempunkte von \( F \); Extremstellen von \( f \) steuern die Wendepunkte von \( F \). (Mehr: Funktionsuntersuchung.)
Typische Falle
Die Rollen vertauschen: Für die Extrempunkte von \( F \) braucht man die Nullstellen von \( f \) (nicht dessen Extremstellen). Für die Wendepunkte von \( F \) braucht man die Extremstellen von \( f \). Wer das verwechselt, gibt \( x=1 \) als Tiefpunkt an — falsch. Zweite Falle: einen Tiefpunkt ohne Vorzeichenwechsel behaupten; ohne VZW liegt nur ein Sattel, kein Extrempunkt vor.
Teilaufgabe d) — Funktionsterm zuordnen
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Es gehört \( f_2(x) = (x-2)\,e^{x} \) zu \( f \). Man zeigt das, indem man die beiden anderen Kandidaten über je ein passendes Merkmal des Graphen ausschließt.
\( f_3 \) scheidet aus. Der Graph hat bei \( x=2 \) eine Nullstelle (er schneidet dort die Achse). Aber
\[ f_3(2) = 2\,e^{2} - 2 \approx 12{,}78 \neq 0. \]
\( f_3 \) ist bei \( x=2 \) nicht null → passt nicht.
\( f_1 \) scheidet aus. Am Graphen liegt der tiefste Punkt bei \( x=1 \) deutlich unter \( -1 \) (etwa bei \( -2{,}7 \)). Aber
\[ f_1(1) = (1-2)\,e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0{,}37 \; \gt \; -1. \]
\( f_1 \) liegt bei \( x=1 \) viel zu hoch → passt nicht. (Zusätzlich: \( f_1 \) hätte für große \( x \) den Grenzwert \( 0 \), der Graph schießt aber nach oben weg.)
\( f_2 \) bleibt und passt. Probe an den Merkmalen des Graphen:
\[ f_2(0) = (0-2)e^0 = -2 \;\checkmark, \qquad f_2(2) = (2-2)e^2 = 0 \;\checkmark, \]
für \( x \to -\infty \) geht \( f_2 \to 0 \) von unten (Annäherung an die Achse) \( \checkmark \), für \( x \to +\infty \) geht \( f_2 \to +\infty \) (steiler Anstieg) \( \checkmark \).
Ergebnis: \( f(x) = f_2(x) = (x-2)\,e^{x} \).
Haltung dahinter: Wie schließt man Funktionsterme systematisch aus?
Bei „welcher Term gehört zum Graphen?" sucht man Unterscheidungsmerkmale: Eigenschaften, die der Graph zeigt und die manche Kandidaten erfüllen, andere aber verletzen. Drei besonders nützliche:
- Nullstellen (wo schneidet der Graph die \( x \)-Achse?),
- markante Funktionswerte (z. B. \( f(0) \), Tiefpunkt-Höhe),
- Randverhalten (was passiert für sehr große oder sehr kleine \( x \)?).
Pro Kandidat genügt ein verletztes Merkmal zum Ausschluss. Der Übriggebliebene wird zur Sicherheit an mehreren Merkmalen positiv bestätigt.
Warum entscheidet das Randverhalten zwischen \( e^{x} \) und \( e^{-x} \)? Bei \( e^{x} \) wächst der Exponent mit \( x \) → die Funktion explodiert für große \( x \). Bei \( e^{-x} \) wird der Exponent für große \( x \) stark negativ → die Funktion geht gegen null. Der Graph schießt rechts nach oben, also muss \( e^{x} \) im Term stehen, nicht \( e^{-x} \). (Mehr: Grenzwerte & Randverhalten.)
Ganz langsam (mit Zahlen): die beiden Ausschluss-Rechnungen
\( f_3(2) \): \( f_3(x) = x\,e^x - 2 \). Einsetzen von \( x=2 \): \( 2 \cdot e^2 - 2 \). Mit \( e^2 \approx 7{,}39 \): \( 2 \cdot 7{,}39 = 14{,}78 \), dann \( 14{,}78 - 2 = 12{,}78 \). Das ist klar nicht null, der Graph hat dort aber eine Nullstelle → \( f_3 \) raus.
\( f_1(1) \): \( f_1(x) = (x-2)e^{-x} \). Einsetzen von \( x=1 \): \( (1-2)e^{-1} = (-1)\cdot e^{-1} \). \( e^{-1} = \tfrac{1}{e} \approx 0{,}37 \), also \( (-1)\cdot 0{,}37 = -0{,}37 \). Der Graph liegt bei \( x=1 \) aber bei etwa \( -2{,}7 \), also viel tiefer → \( f_1 \) raus.
Typische Falle
Nur \( f(0) \) prüfen reicht nicht. Es gilt \( f_1(0) = f_2(0) = f_3(0) = -2 \) — alle drei laufen durch \( (0\,|\,-2) \)! Der \( y \)-Achsenschnittpunkt unterscheidet sie also gar nicht. Man muss ein trennendes Merkmal nehmen: die Nullstelle bei \( x=2 \) oder das Randverhalten für große \( x \).
Teilaufgabe e) — Graph von \( g(x) = (x-2)^2 e^{x} \) skizzieren
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Man skizziert über markante Punkte und das Randverhalten, ohne eine vollständige Kurvendiskussion zu rechnen.
Schritt 1 — Nullstelle. \( g(x) = 0 \) nur wenn \( (x-2)^2 = 0 \), also bei \( x=2 \). Weil der Faktor quadriert ist (doppelte Nullstelle), berührt der Graph die \( x \)-Achse bei \( x=2 \) nur und durchschneidet sie nicht — dort liegt ein Tiefpunkt \( T(2\,|\,0) \).
Schritt 2 — Wertebereich. \( (x-2)^2 \ge 0 \) und \( e^{x} \gt 0 \), also ist \( g(x) \ge 0 \) überall. Der ganze Graph liegt auf oder über der \( x \)-Achse.
Schritt 3 — Randverhalten. Für \( x \to -\infty \) drückt \( e^{x} \to 0 \) die Funktion gegen \( 0 \) (von oben). Für \( x \to +\infty \) wächst \( g \to +\infty \) (steiler Anstieg).
Schritt 4 — gegebener Hochpunkt. Laut Aufgabe ist \( H(0\,|\,4) \) ein Hochpunkt; Probe: \( g(0) = (0-2)^2 e^0 = 4 \cdot 1 = 4 \) \( \checkmark \).
Skizze (Form): von links flach aus \( 0^{+} \) heraus, hoch zum Hochpunkt \( H(0\,|\,4) \), hinunter bis zur Berührung im Tiefpunkt \( T(2\,|\,0) \), danach steil nach oben.
Haltung dahinter: Wie skizziert man einen Graphen aus wenigen Merkmalen?
„Skizzieren" heißt nicht „jeden Punkt ausrechnen", sondern ein Gerüst aus wenigen Schlüsselmerkmalen aufbauen und sauber verbinden. Vier Merkmale tragen fast jede Skizze:
- Nullstellen — wo trifft der Graph die \( x \)-Achse?
- Wertebereich / Vorzeichen — bleibt der Graph oben, unten, oder beides?
- markante Punkte — hier der vorgegebene Hochpunkt.
- Randverhalten — wohin läuft der Graph ganz links und ganz rechts?
Doppelte Nullstelle = Berührung. Steht ein Faktor quadriert da, wie \( (x-2)^2 \), so wird er an der Stelle null, ohne das Vorzeichen zu wechseln (ein Quadrat ist nie negativ). Der Graph tippt die Achse nur an und kehrt auf derselben Seite zurück — eine Berührung, kein Durchschneiden. Bei einer einfachen Nullstelle dagegen kreuzt der Graph die Achse.
Warum gewinnt \( e^{x} \) das Randverhalten? Für \( x \to -\infty \) wird \( (x-2)^2 \) zwar groß, aber \( e^{x} \) geht schneller gegen null — das Produkt geht gegen \( 0 \). Die e-Funktion „überstimmt" das Polynom. Für \( x \to +\infty \) ziehen beide Faktoren nach oben → steiler Anstieg.
Ganz langsam (mit Zahlen): eine kleine Wertetabelle
| \( x \) | \( -2 \) | \( 0 \) | \( 1 \) | \( 2 \) | \( 3 \) |
|---|---|---|---|---|---|
| \( g(x) \) | \( 16\,e^{-2}\approx 2{,}2 \) | \( 4 \) | \( e\approx 2{,}7 \) | \( 0 \) | \( e^{3}\approx 20 \) |
So liest man die Werte: \( g(0)=(-2)^2\cdot 1 = 4 \); \( g(2)=0^2\cdot e^2 = 0 \); \( g(3)=1^2\cdot e^3 \approx 20 \) (schon weit oben → steiler Anstieg). Die Tabelle bestätigt die Form: hoch bei \( 0 \), runter bis zur Berührung bei \( 2 \), dann steil hoch.
Typische Falle
Bei \( x=2 \) die Achse durchschneiden statt nur berühren — falsch, weil \( (x-2)^2 \) eine doppelte Nullstelle ist. Zweite Falle: den Graphen links unter die Achse zeichnen; wegen \( g(x)\ge 0 \) bleibt er immer auf oder über der Achse.
Kurz-Spickzettel Teil 1 (erst nach dem eigenen Versuch aufklappen)
- a) \( f'(0) \approx -1 \) (Tangente in \( P(0\,|\,-2) \), Steigung „1 rechts, 1 runter").
- b) \( \int_0^2 f\,dx \approx -\tfrac{17}{4} = -4{,}25 \) (≈ 17 Kästchen à 0,25; Minus, da unter der Achse).
- c) \( F \): Tiefpunkt bei \( x=2 \) (Nullstelle von \( f \), VZW \( -\to+ \)), Wendepunkt bei \( x=1 \) (Tiefpunkt von \( f \)), kein Hochpunkt.
- d) \( f(x) = f_2(x) = (x-2)e^{x} \) (\( f_3(2)\neq 0 \), \( f_1(1)=-\tfrac1e \gt -1 \)).
- e) \( g \): \( H(0\,|\,4) \), Berührung/Tiefpunkt \( T(2\,|\,0) \), \( g\ge 0 \), links \( \to 0^+ \), rechts \( \to +\infty \).
Teil 2 — Gespräch (Stochastik): Normalverteilung mit \( \mu = 20,\ \sigma = 4 \)
Input. Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsgröße \( X \) mit \( \mu = 20 \) und \( \sigma = 4 \). (Das Original zeigt ein leeres Koordinatensystem mit \( x \)-Achse von \( 0 \) bis \( 40 \).)
Im Gespräch denkbare Aspekte: (AB I) Kurve zu \( X \) skizzieren; erläutern, wie \( P(X\le 21) \), \( P(X=21) \) und \( P(X \gt 21) \) bestimmt werden; einen Sachkontext angeben; beschreiben, wie sich die Kurve bei Änderung von \( \mu \) ändert. (AB II) Beschreiben, wie sich die Kurve bei Änderung von \( \sigma \) ändert; Gemeinsamkeiten und Unterschiede von Binomial- und Normalverteilung nennen und erläutern. (AB III) Eine diskret verteilte Zufallsgröße ermitteln, deren Histogramm eine ähnliche Form wie die Kurve hat.
Vorab, in einem Satz, was eine „normalverteilte Zufallsgröße" ist: \( X \) ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt (z. B. ein Messwert), und deren Werte sich glockenförmig um einen Mittelwert verteilen — die meisten nah am Mittel, wenige weit weg, symmetrisch nach beiden Seiten. Alle Werkzeuge dazu stehen im Werkzeugkasten Stochastik. Hinweis: Für Teil 2 gibt das Original nur Gesprächsthemen vor; die folgenden Lösungen sind selbst erarbeitet und durchgerechnet.
So sieht die Kurve zu \( X \) aus (das ist zugleich die Lösung des ersten Aspekts):
Aspekt 1 (AB I) — Kurve skizzieren
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Die Kurve (oben gezeichnet) ist die Gaußsche Glockenkurve. Man skizziert sie über fünf Merkmale:
- Symmetrisch um die senkrechte Achse bei \( x = \mu = 20 \) (linke und rechte Hälfte sind Spiegelbilder).
- Maximum (höchster Punkt) bei \( x = 20 \), mit Höhe \( \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} = \tfrac{1}{4\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}10 \).
- Wendepunkte bei \( x = \mu \pm \sigma \), also bei \( 16 \) und \( 24 \) — dort wechselt die Krümmung, die Kurve geht von „nach unten gewölbt" in „nach oben gewölbt" über.
- Asymptotisch zur \( x \)-Achse: Nach beiden Seiten kommt die Kurve der Achse beliebig nah, ohne sie zu erreichen.
- Gesamtfläche unter der Kurve \( = 1 \) (entspricht \( 100\,\% \) Wahrscheinlichkeit).
Als grobe Orientierung dient die \( 68\text{–}95\text{–}99{,}7\,\% \)-Regel (Sigma-Regel): rund \( 68\,\% \) der Werte liegen in \( [\,16;\,24\,] \), rund \( 95\,\% \) in \( [\,12;\,28\,] \), rund \( 99{,}7\,\% \) in \( [\,8;\,32\,] \).
Haltung dahinter: Was zeigt diese Kurve eigentlich? (ganz von vorn)
Zufallsgröße. Eine Zufallsgröße \( X \) ist eine Zahl, deren Wert vom Zufall abhängt — etwa das Gewicht einer zufällig herausgegriffenen Packung. „Normalverteilt" beschreibt, wie wahrscheinlich welche Werte sind.
Dichtekurve statt Balken. \( X \) kann hier jeden Zwischenwert annehmen (z. B. \( 20{,}3 \) oder \( 17{,}81 \)), nicht nur ganze Zahlen. Man kann deshalb keine einzelnen Wahrscheinlichkeits-Balken zeichnen, sondern eine durchgehende Kurve — die Dichte. Bei ihr steckt die Wahrscheinlichkeit in der Fläche: Die Fläche unter der Kurve über einem Bereich ist die Wahrscheinlichkeit, dass \( X \) in diesem Bereich landet. Weil \( X \) irgendeinen Wert annimmt, ist die Gesamtfläche \( = 1 \).
\( \mu \) und \( \sigma \). \( \mu \) (mü) ist der Erwartungswert — der Mittelwert, um den alles streut; hier \( 20 \), genau unter dem höchsten Punkt. \( \sigma \) (sigma) ist die Standardabweichung — ein Maß für die Breite der Streuung; hier \( 4 \). Praktisch: Bei \( \mu \pm \sigma \) (also \( 16 \) und \( 24 \)) sitzen die Wendepunkte, und dazwischen liegen rund zwei Drittel aller Werte. (Mehr: Werkzeugkasten Stochastik.)
Ganz langsam (mit Zahlen): die Höhe des Gipfels
Die Formel für die Gipfelhöhe ist \( \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \). Mit \( \sigma=4 \) und \( \sqrt{2\pi}\approx 2{,}51 \):
\[ \frac{1}{4 \cdot 2{,}51} = \frac{1}{10{,}03} \approx 0{,}0997 \approx 0{,}10. \]
Deshalb reicht die \( y \)-Achse im Bild nur bis etwa \( 0{,}1 \) — eine Glockenkurve ist flach. Die Werte \( 16 \) und \( 24 \) für die Wendepunkte sind einfach \( 20-4 \) und \( 20+4 \).
Typische Falle
Die Höhe der Kurve mit einer Wahrscheinlichkeit verwechseln. Der Gipfelwert \( \approx 0{,}10 \) ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern eine Dichte; Wahrscheinlichkeiten sind immer Flächen unter der Kurve, nie einzelne Höhen.
Aspekt 2 (AB I) — \( P(X\le 21) \), \( P(X=21) \), \( P(X \gt 21) \)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( P(X=21) = 0 \). Bei einer stetigen (kontinuierlichen) Zufallsgröße hat ein einzelner Wert keine Fläche (ein Strich ist unendlich dünn) → die Wahrscheinlichkeit für genau \( 21 \) ist null.
\( P(X\le 21) \) — Fläche links von \( 21 \). Das ist die Fläche unter der Glockenkurve links von \( x=21 \) (im Bild blau). Man berechnet sie, indem man standardisiert und die Tabelle der Standardnormalverteilung \( \Phi \) (bzw. den GTR-Befehl) nutzt:
\[ z = \frac{21 - \mu}{\sigma} = \frac{21-20}{4} = 0{,}25, \qquad P(X\le 21) = \Phi(0{,}25) \approx 0{,}599. \]
\( P(X \gt 21) \) — Gegenwahrscheinlichkeit. Was nicht links liegt, liegt rechts:
\[ P(X \gt 21) = 1 - P(X\le 21) \approx 1 - 0{,}599 = 0{,}401. \]
Ergebnisse: \( P(X=21)=0 \); \( P(X\le 21)\approx 0{,}599 \) (rund \( 59{,}9\,\% \)); \( P(X \gt 21)\approx 0{,}401 \) (rund \( 40{,}1\,\% \)).
Haltung dahinter: Warum ist \( P(X=21)=0 \), und was heißt „standardisieren"?
Warum genau \( 21 \) die Wahrscheinlichkeit \( 0 \) hat. Wahrscheinlichkeit ist hier Fläche unter der Kurve. Über einem einzelnen Punkt (\( x=21 \), Breite \( 0 \)) gibt es keine Fläche — ein Rechteck mit Breite null hat Flächeninhalt null. Also \( P(X=21)=0 \). Das klingt seltsam („der Wert 21 kommt doch vor!"), gilt aber für jede stetige Größe: Sinnvoll fragt man immer nach einem Bereich („zwischen \( 20{,}5 \) und \( 21{,}5 \)"), nie nach einem exakten Wert. Nebeneffekt: \( P(X \lt 21)=P(X\le 21) \), das einzelne \( 21 \) ändert nichts.
Standardisieren. Für jedes \( \mu \) und \( \sigma \) eine eigene Tabelle wäre unpraktisch. Trick: Man rechnet jeden Wert um in „wie viele Standardabweichungen vom Mittel ist er entfernt?":
\[ z = \frac{x-\mu}{\sigma}. \]
Hier ist \( 21 \) um \( 1 \) über dem Mittel \( 20 \), und \( 1 \) ist ein Viertel von \( \sigma=4 \), also \( z=0{,}25 \). Diese \( z \)-Welt hat immer \( \mu=0 \) und \( \sigma=1 \) (die Standardnormalverteilung), und für sie gibt es eine feste Tabelle der Funktion \( \Phi \) („Phi"). \( \Phi(z) \) liefert direkt die Fläche links von \( z \). Mit GTR genügt der Befehl `normalcdf(untere Grenze, 21, 20, 4)`.
Ganz langsam (mit Zahlen): von z zur Wahrscheinlichkeit
\( z = \dfrac{21-20}{4} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 \). Tabelle: \( \Phi(0{,}25) \approx 0{,}5987 \), gerundet \( 0{,}599 \). Weil \( 21 \) rechts vom Mittel \( 20 \) liegt, ist die linke Fläche etwas mehr als die Hälfte — \( 0{,}599 \) passt (knapp über \( 0{,}5 \)). Gegenwahrscheinlichkeit: \( 1 - 0{,}599 = 0{,}401 \).
Typische Falle
\( P(X=21) \) für eine positive Zahl halten (etwa für den Dichtewert \( \approx 0{,}10 \)) — bei stetigen Größen ist es immer \( 0 \). Zweite Falle: beim \( z \)-Wert durch \( \sigma^2=16 \) statt durch \( \sigma=4 \) teilen; standardisiert wird mit \( \sigma \), nicht mit der Varianz.
Aspekt 3 (AB I) — Sachkontext angeben
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Beispiel-Sachkontext. Eine Abfüllanlage füllt Gewürzdosen. Das Füllgewicht \( X \) (in Gramm) schwankt um den Sollwert; im Mittel sind es \( \mu = 20 \) g, mit einer Standardabweichung von \( \sigma = 4 \) g. Dann ist \( P(X\le 21) \) die Wahrscheinlichkeit, eine Dose mit höchstens \( 21 \) g zu erwischen.
Warum passt hier die Normalverteilung? Das Füllgewicht ist ein stetiger Messwert (beliebige Zwischenwerte möglich), die Abweichungen sind symmetrisch um den Sollwert (zu viel und zu wenig etwa gleich häufig), und sie entstehen aus vielen kleinen unabhängigen Einflüssen (Maschinenvibration, Temperatur, Materialschwankung). Genau dann ergibt sich erfahrungsgemäß eine Glockenkurve.
Weitere passende Kontexte: Körpergrößen einer Personengruppe, Messfehler beim Wiegen, Punktzahlen in einer großen Klausur, Längen gefertigter Werkstücke.
Haltung dahinter: Woran erkennt man, dass „normalverteilt" ein gutes Modell ist?
Die Normalverteilung ist ein gutes Modell, wenn drei Dinge zusammenkommen:
- stetige Größe — man misst (Gewicht, Länge, Zeit), zählt nicht ab.
- symmetrische Streuung — Abweichungen nach oben und unten sind etwa gleich häufig; ein einzelner typischer Mittelwert, um den sich alles drängt.
- viele kleine, unabhängige Ursachen — keine einzelne dominiert. Der Zentrale Grenzwertsatz sagt: Summieren sich viele kleine zufällige Einflüsse, entsteht näherungsweise eine Glockenkurve. Das ist der tiefere Grund, warum die Normalverteilung in Natur und Technik so oft auftaucht.
Werte nahe am Mittel sind am wahrscheinlichsten (hoher Kurventeil), extreme Abweichungen selten (flache Ränder) — genau das Bild der Glockenkurve.
Typische Falle
Einen diskreten Zählkontext als Beispiel nennen, etwa „Anzahl der Treffer bei 10 Würfen". Das ist ein Fall für die Binomialverteilung, nicht für die Normalverteilung. Für die Normalverteilung eine Messgröße wählen.
Aspekt 4 (AB I) — Kurve bei Änderung von \( \mu \)
AB I — Grundkompetenz
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( \mu \) bestimmt die Lage der Kurve. Ändert man \( \mu \), verschiebt sich die ganze Kurve waagerecht, ohne ihre Form zu ändern:
- größeres \( \mu \) → Kurve wandert nach rechts,
- kleineres \( \mu \) → Kurve wandert nach links.
Höhe und Breite bleiben gleich; nur die Symmetrieachse sitzt nun bei der neuen Stelle \( x=\mu \).
Haltung dahinter: Warum nur verschieben?
\( \mu \) ist der Mittelwert — der Ort, um den die Werte streuen. Verschiebt man den Mittelwert, zieht man den ganzen „Schwerpunkt" der Verteilung mit; die Streuung (Breite) bleibt davon unberührt, denn die regelt \( \sigma \). Bild: Du nimmst dieselbe Glocke und stellst sie an eine andere Stelle des Tisches — Form unverändert, nur der Standort wechselt. In der Formel steckt \( \mu \) nur im Teil \( (x-\mu) \), der die Kurve seitlich positioniert.
Aspekt 5 (AB II) — Kurve bei Änderung von \( \sigma \)
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
\( \sigma \) bestimmt die Breite der Kurve. Ändert man \( \sigma \), wird die Glocke breiter oder schmaler — bei festem Mittelpunkt \( \mu \):
- größeres \( \sigma \) → Kurve wird breiter und flacher (Werte streuen weiter),
- kleineres \( \sigma \) → Kurve wird schmaler und höher (Werte drängen sich enger um \( \mu \)).
Der Mittelpunkt bei \( x=\mu \) und die Gesamtfläche \( =1 \) bleiben immer gleich. Die Wendepunkte sitzen weiterhin bei \( \mu\pm\sigma \), wandern mit \( \sigma \) nach außen oder innen.
Haltung dahinter: Warum wird die Kurve flacher, wenn sie breiter wird?
\( \sigma \) ist die Standardabweichung — wie weit die Werte typischerweise vom Mittel abweichen. Ein großes \( \sigma \) heißt „viel Streuung", die Werte verteilen sich über einen weiten Bereich.
Der entscheidende Zwang ist die konstante Gesamtfläche \( = 1 \): Es muss ja \( 100\,\% \) aller Werte geben, egal wie breit die Glocke ist. Verteilt sich dieselbe Fläche über einen breiteren Bereich, muss die Kurve zwangsläufig niedriger werden — wie ein Stück Teig, das beim Breitwalzen dünner wird. Umgekehrt: schmaler → höher. Deshalb ändern sich Breite und Höhe immer gegenläufig.
Ganz langsam (mit Zahlen): die Gipfelhöhe \( \tfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \)
Die Gipfelhöhe ist umgekehrt proportional zu \( \sigma \):
- \( \sigma=2 \): \( \dfrac{1}{2\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}20 \) (hoch, schmal),
- \( \sigma=4 \): \( \dfrac{1}{4\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}10 \) (mittel),
- \( \sigma=8 \): \( \dfrac{1}{8\sqrt{2\pi}} \approx 0{,}05 \) (flach, breit).
Doppeltes \( \sigma \) → halbe Höhe. Die Wendepunkte liegen bei \( 20\pm 2 \), \( 20\pm 4 \), \( 20\pm 8 \) — sie rücken mit \( \sigma \) nach außen.
Typische Falle
Glauben, ein größeres \( \sigma \) hebe die Kurve an. Es ist umgekehrt: größeres \( \sigma \) macht sie breiter und niedriger. Höhe und Breite bewegen sich gegenläufig, damit die Fläche \( 1 \) bleibt.
Aspekt 6 (AB II) — Binomial- und Normalverteilung vergleichen
AB II — Standardanforderung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Gemeinsamkeiten.
- Beide sind Wahrscheinlichkeitsverteilungen; die Gesamtwahrscheinlichkeit ist \( 1 \) (Summe aller Balken \( = 1 \) bzw. Gesamtfläche \( = 1 \)).
- Beide haben einen Erwartungswert \( \mu \) und eine Standardabweichung \( \sigma \).
- Beide sind glockenähnlich: Die Binomialverteilung ist für \( p=0{,}5 \) symmetrisch, für große \( n \) allgemein glockenförmig.
- Für große \( n \) lässt sich die Binomialverteilung durch die Normalverteilung annähern (Satz von de Moivre–Laplace); Faustregel Laplace-Bedingung \( \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)} \gt 3 \).
Unterschiede.
| Merkmal | Binomialverteilung | Normalverteilung |
|---|---|---|
| Art | diskret (nur \( 0,1,2,\dots,n \)) | stetig (jeder reelle Wert) |
| Darstellung | Balken (Histogramm) | Dichtekurve (Glocke) |
| \( P(X=k) \) | positiv, \( \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} \) | \( P(X=x) = 0 \), Wahrscheinlichkeit \( = \) Fläche |
| Wertebereich | endlich, \( 0 \) bis \( n \) | unendlich, \( -\infty \) bis \( +\infty \) |
| Parameter | \( n \) und \( p \) | \( \mu \) und \( \sigma \) |
Haltung dahinter: diskret gegen stetig — der Kernunterschied
Diskret heißt: \( X \) kann nur abzählbare Werte annehmen, hier ganze Zahlen — „Anzahl der Treffer bei \( n \) Versuchen". Jeder einzelne Wert hat eine eigene, positive Wahrscheinlichkeit, man zeichnet sie als Balken. \( P(X=k) \) ist sinnvoll und ausrechenbar.
Stetig heißt: \( X \) kann jeden Zwischenwert annehmen — „gemessenes Gewicht". Einzelwerte haben Wahrscheinlichkeit \( 0 \), die Wahrscheinlichkeit steckt in Flächen unter einer Kurve.
Die Brücke. Erhöht man bei der Binomialverteilung \( n \), werden die Balken zahlreicher und schmaler; ihre Umrisslinie nähert sich immer mehr einer Glocke. Ist \( \sigma=\sqrt{np(1-p)} \gt 3 \), passt die Normalverteilung schon gut. So wird die stetige Normalverteilung zum Grenzfall der diskreten Binomialverteilung — der Grund, warum man eine umständliche Binomialrechnung oft durch die einfachere Normalverteilung ersetzt. (Mehr: Werkzeugkasten Stochastik.)
Aspekt 7 (AB III) — Diskrete Verteilung mit ähnlichem Histogramm
AB III — vertiefte Vernetzung
Lösung Schritt für Schritt anzeigen
Gesucht ist eine diskrete Verteilung, deren Histogramm der Glocke \( N(20;4) \) gleicht. Die natürliche Wahl ist eine Binomialverteilung, deren Erwartungswert und Standardabweichung mit der Normalverteilung übereinstimmen.
Schritt 1 — Bedingungen aufstellen. Für \( X\sim B(n;p) \) gilt \( \mu = n\,p \) und \( \sigma = \sqrt{n\,p\,(1-p)} \). Wir fordern \( \mu=20 \) und \( \sigma=4 \), also
\[ n\,p = 20, \qquad n\,p\,(1-p) = \sigma^2 = 16. \]
Schritt 2 — auflösen. Teilt man die zweite durch die erste Gleichung, kürzt sich \( np \):
\[ \frac{n\,p\,(1-p)}{n\,p} = \frac{16}{20} \;\Longrightarrow\; 1-p = 0{,}8 \;\Longrightarrow\; p = 0{,}2. \]
Dann \( n = \dfrac{20}{p} = \dfrac{20}{0{,}2} = 100. \)
Schritt 3 — Ergebnis und Probe. \( X\sim B(100;\,0{,}2) \). Probe: \( \mu = 100\cdot 0{,}2 = 20 \) \( \checkmark \); \( \sigma=\sqrt{100\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8}=\sqrt{16}=4 \) \( \checkmark \). Wegen \( \sigma=4 \gt 3 \) (Laplace-Bedingung erfüllt) hat das Histogramm tatsächlich eine glockenähnliche Form, zentriert bei \( 20 \) mit derselben Streuung.
Ergebnis: \( X\sim B(100;\,0{,}2) \).
Haltung dahinter: Warum gerade die Binomialverteilung, und warum diese Werte?
Eine Verteilung wird in ihrer groben Form von zwei Kennzahlen bestimmt: wo sie sitzt (Erwartungswert \( \mu \)) und wie breit sie streut (Standardabweichung \( \sigma \)). Wenn eine diskrete Verteilung dieselbe Mitte und dieselbe Breite wie die Glocke haben soll, passt man genau diese beiden Größen an.
Die Binomialverteilung \( B(n;p) \) (Modell für „\( k \) Treffer bei \( n \) unabhängigen Versuchen mit Trefferchance \( p \)") ist dafür ideal, weil ihre Kennzahlen einfache Formeln haben: \( \mu=np \) und \( \sigma=\sqrt{np(1-p)} \). Zwei Gleichungen, zwei Unbekannte \( n \) und \( p \) — eindeutig lösbar.
Dass am Ende ein großes \( n=100 \) herauskommt, ist der eigentliche Grund für die Ähnlichkeit: Bei vielen Versuchen werden die Balken zahlreich und schmal, ihre Hüllkurve nähert sich der Glocke. Die Laplace-Bedingung \( \sigma \gt 3 \) ist genau die Daumenregel dafür, dass die Annäherung gut ist — hier mit \( \sigma=4 \) erfüllt.
Ganz langsam (mit Zahlen): die Auflösung des Gleichungssystems
Aus \( np=20 \) und \( np(1-p)=16 \): Die zweite Gleichung ist die erste, mal \( (1-p) \). Also muss \( (1-p) \) gerade der Faktor sein, der \( 20 \) auf \( 16 \) bringt:
\[ 1-p = \frac{16}{20} = 0{,}8 \;\Longrightarrow\; p = 1 - 0{,}8 = 0{,}2. \]
Dann aus \( np=20 \): \( n = \dfrac{20}{0{,}2} = 100 \). Kontrolle der Streuung: \( np(1-p) = 100\cdot 0{,}2\cdot 0{,}8 = 16 \), Wurzel \( \sqrt{16}=4=\sigma \) \( \checkmark \).
Hinweis: andere Lösungen sind denkbar
Verlangt ist „eine diskrete Verteilung", nicht die einzige. \( B(100;\,0{,}2) \) ist die sauberste und naheliegendste Antwort, weil ihre beiden Kennzahlen exakt passen. Im Prinzip taugt jede diskrete Verteilung mit \( \mu\approx 20 \) und \( \sigma\approx 4 \) und einem glockenförmigen Histogramm; die Binomialverteilung ist hier der erwartete Standardweg.
Prüfer-Leitfaden (für die abfragende Person)
Hier steht je Teilaufgabe, was eine gute Antwort enthält und welche Rückfrage du stellen kannst. Du musst nichts selbst rechnen — achte auf die genannten Stichworte.
Leitfaden Teil 1 (Analysis) aufklappen
- a) \( f'(0) \). Erwartet: Tangente in \( P(0\,|\,-2) \) einzeichnen, Steigung ablesen („1 nach rechts, 1 nach unten") → \( f'(0)\approx -1 \). Rückfrage: „Was misst \( f'(0) \) — die Höhe oder die Steigung des Graphen?" Rote Flagge: die Antwort \( -2 \) (das ist \( f(0) \), nicht \( f'(0) \)).
- b) Integral. Erwartet: Kästchen zählen (≈ 17 à 0,25), Ergebnis \( -\tfrac{17}{4}=-4{,}25 \), mit Minus, weil die Fläche unter der Achse liegt. Rückfrage: „Warum kommt ein negativer Wert heraus?" Rote Flagge: positives Ergebnis \( +4{,}25 \) ohne Vorzeichen-Begründung.
- c) Graph von \( F \). Erwartet: \( F'=f \); Tiefpunkt bei \( x=2 \) (Nullstelle von \( f \) mit Wechsel \( -\to+ \)), Wendepunkt bei \( x=1 \) (Tiefpunkt von \( f \)), kein Hochpunkt. Rückfrage: „Wo am Graphen von \( f \) erkennt man einen Tiefpunkt von \( F \)?" Rote Flagge: Hoch- und Tiefpunkte von \( f \) mit denen von \( F \) verwechseln.
- d) Zuordnung. Erwartet: \( f_2(x)=(x-2)e^x \); Begründung über Nullstelle bei \( x=2 \) (\( f_3(2)\neq 0 \)) und Tiefpunktlage/Randverhalten (\( f_1 \) liegt zu hoch bzw. fällt für große \( x \) auf 0). Rückfrage: „Reicht es, \( f(0) \) zu prüfen?" (Antwort: nein, alle drei geben \( -2 \).)
- e) Graph von \( g \). Erwartet: Nullstelle/Berührung bei \( x=2 \) (doppelt), \( g\ge 0 \), links \( \to 0 \), rechts \( \to +\infty \), Hochpunkt \( H(0\,|\,4) \). Rückfrage: „Schneidet oder berührt der Graph bei \( x=2 \) die Achse, und warum?"
Leitfaden Teil 2 (Stochastik) aufklappen
- Kurve skizzieren. Erwartet: Glocke, symmetrisch um \( 20 \), Maximum bei \( 20 \), Wendepunkte bei \( 16 \) und \( 24 \), Fläche \( =1 \). Rückfrage: „Wofür steht die Fläche unter der Kurve?"
- \( P(X\le 21) \), \( P(X=21) \), \( P(X \gt 21) \). Erwartet: \( P(X=21)=0 \) (stetig!), \( P(X\le 21) \) als Fläche links von 21 (\( \approx 0{,}599 \)), \( P(X \gt 21)=1-P(X\le 21) \approx 0{,}401 \). Rückfrage: „Warum ist die Wahrscheinlichkeit für genau 21 gleich null?"
- Sachkontext. Erwartet: eine Messgröße (Füllgewicht, Körpergröße, Messfehler) mit \( \mu=20 \), \( \sigma=4 \). Rote Flagge: ein Zählkontext (Trefferzahl) — das wäre binomial.
- \( \mu \) ändern. Erwartet: Kurve verschiebt sich seitlich, Form bleibt. Rückfrage: „Ändert sich dabei die Breite?"
- \( \sigma \) ändern. Erwartet: größeres \( \sigma \) → breiter und flacher, kleineres → schmaler und höher, Fläche bleibt \( 1 \). Rückfrage: „Warum wird die Kurve flacher, wenn sie breiter wird?"
- Binomial gegen Normal. Erwartet: diskret gegen stetig, Balken gegen Fläche, \( P(X=k) \gt 0 \) gegen \( P(X=x)=0 \); Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung für große \( n \).
- AB III — diskrete Verteilung. Erwartet: \( B(100;\,0{,}2) \) über \( np=20 \) und \( np(1-p)=16 \); Probe \( \mu=20 \), \( \sigma=4 \). Hinweis für dich: Andere passende Verteilungen sind erlaubt; die Binomialverteilung ist der Standardweg.
Selbstcheck: Kannst du es mündlich erklären?
Sprich diese Punkte einmal frei und laut durch, ohne in die Lösung zu schauen:
- Wie liest du \( f'(0) \) aus einem Graphen ab, und was bedeutet dieser Wert anschaulich?
- Warum ist \( \int_0^2 f(x)\,dx \) hier negativ, und wie kommst du ohne Rechner an den Zahlenwert?
- Welche Stelle am Graphen von \( f \) liefert einen Tiefpunkt von \( F \), und welche einen Wendepunkt?
- Warum genügt es nicht, \( f(0) \) zu prüfen, um den richtigen Funktionsterm zu finden?
- Wie verändert sich die Glockenkurve, wenn du \( \mu \) änderst — und wie, wenn du \( \sigma \) änderst?
- Warum ist \( P(X=21)=0 \), und wie bestimmst du \( P(X\le 21) \)?
- Wie findest du eine Binomialverteilung, deren Histogramm der Glocke \( N(20;4) \) gleicht?