Eine Funktionsuntersuchung (auch „Kurvendiskussion") ist das Herzstück der Analysis-Prüfung. Du bekommst eine Funktion und sollst ihren Graphen vollständig verstehen, ohne ihn vorher zu sehen: Wo schneidet er die Achsen? Ist er symmetrisch? Wo steigt und fällt er? Wo sind seine Spitzen? Wo ändert sich seine Krümmung? Wenn du das beantwortest, kannst du den Graphen am Ende von Hand skizzieren.
Die Haltung dahinter: Du gehst immer dieselbe Checkliste durch — von der gröbsten Information (Achsenschnitte, Symmetrie, Randverhalten) zur feinsten (Extrem- und Wendestellen). Jeder Schritt schränkt das mögliche Aussehen des Graphen weiter ein, bis am Ende nur noch eine Form übrig bleibt.
Wir untersuchen das ganze Kapitel über dieselbe Funktion, damit du den roten Faden behältst:
\[ f(x) = x^3 - 3x \]
Das ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades (ein Polynom). Halte dir schon die drei Ableitungen bereit — fast jeder Schritt braucht eine davon:
\[ f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f''(x) = 6x, \qquad f'''(x) = 6 \]
Wie komme ich rechnerfrei auf diese Ableitungen?
Du brauchst nur die Potenzregel: Der Exponent wandert als Faktor nach vorn, dann wird der Exponent um \( 1 \) kleiner. Aus \( x^n \) wird \( n\,x^{n-1} \).
- \( x^3 \) wird zu \( 3x^2 \).
- \( -3x = -3x^1 \) wird zu \( -3 \cdot 1 \cdot x^0 = -3 \) (denn \( x^0 = 1 \)).
Zusammen: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Genauso noch einmal abgeleitet: aus \( 3x^2 \) wird \( 6x \), aus \( -3 \) (eine Konstante) wird \( 0 \). Also \( f''(x) = 6x \). Und einmal mehr: \( f'''(x) = 6 \).
Haltung dahinter: Warum verschwinden Konstanten beim Ableiten?
Die Ableitung misst die Steigung, also wie stark sich der Funktionswert ändert. Eine Konstante ändert sich nie — ihr Graph ist eine waagerechte Linie mit Steigung \( 0 \). Darum fällt jede additive Konstante beim Ableiten weg. Das ist auch der Grund, warum \( f(x) = x^3 - 3x \) und \( x^3 - 3x + 5 \) dieselbe Ableitung haben: Der Summand \( +5 \) verschiebt den Graphen nur nach oben, ändert aber an keiner Stelle die Steigung.
Nullstellen & y-Achsenabschnitt
Die ersten beiden Fragen sind die einfachsten und liefern dir sofort konkrete Punkte des Graphen.
Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der senkrechten Achse. Dort ist \( x = 0 \), also setzt du einfach \( 0 \) ein: \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \). Der Graph geht durch den Ursprung \( (0 \mid 0) \). AB I
Die Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der waagerechten Achse. Dort ist \( f(x) = 0 \). Du löst also die Gleichung \( x^3 - 3x = 0 \). AB II
Wie löse ich \( x^3 - 3x = 0 \) rechnerfrei?
Der erste Reflex bei jeder Gleichung „etwas \( = 0 \)" ist: ausklammern. Hier steckt in beiden Summanden ein \( x \):
\[ x^3 - 3x = x \,(x^2 - 3) = 0 \]
Jetzt greift der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist. Also untersuchst du die Faktoren einzeln:
- \( x = 0 \) — das ist schon eine Nullstelle.
- \( x^2 - 3 = 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 = 3 \;\Leftrightarrow\; x = \pm\sqrt{3} \approx \pm 1{,}73 \).
Die drei Nullstellen sind also \( x_1 = -\sqrt{3} \), \( x_2 = 0 \), \( x_3 = +\sqrt{3} \).
Haltung dahinter: Warum ausklammern und nicht „durch x teilen"?
Verlockend wäre, beide Seiten durch \( x \) zu teilen. Das ist eine klassische Falle: Damit würdest du die Nullstelle \( x = 0 \) verlieren, denn durch \( 0 \) darf man nicht teilen. Ausklammern behält alle Lösungen. Merke: Beim Lösen von Gleichungen wird faktorisiert, nicht dividiert — Division durch einen Term, der null sein könnte, löscht Lösungen aus.
Warum hat ein Polynom dritten Grades höchstens drei Nullstellen?
Eine ganzrationale Funktion vom Grad \( n \) hat höchstens \( n \) Nullstellen. Anschaulich: Jede Nullstelle entspricht einem Linearfaktor \( (x - x_0) \), und mehr als \( n \) solche Faktoren passen nicht in ein Polynom vom Grad \( n \), ohne den Grad zu sprengen. Hier ist \( n = 3 \), und wir haben genau drei gefunden — also alle.
Symmetrie
Bevor du dich in Rechnungen stürzt, lohnt ein Blick auf die Symmetrie: Sie halbiert oft die Arbeit, weil du dann nur eine Hälfte des Graphen untersuchen musst und die andere spiegelst.
Es gibt zwei Standardfälle, die du im Abitur prüfst:
- Achsensymmetrie zur y-Achse, wenn \( f(-x) = f(x) \) gilt.
- Punktsymmetrie zum Ursprung, wenn \( f(-x) = -f(x) \) gilt.
Für unsere Funktion prüfst du \( f(-x) \): AB II
\[ f(-x) = (-x)^3 - 3(-x) = -x^3 + 3x = -\bigl(x^3 - 3x\bigr) = -f(x) \]
Es kommt \( -f(x) \) heraus — also ist \( f \) punktsymmetrisch zum Ursprung. Das passt zu dem, was du oben schon gesehen hast: Die Nullstellen liegen spiegelbildlich bei \( -\sqrt{3} \) und \( +\sqrt{3} \), und der Graph geht durch den Ursprung.
Die schnelle Abkürzung bei Polynomen (Exponenten-Trick)
Bei ganzrationalen Funktionen musst du nicht jedes Mal \( f(-x) \) ausrechnen. Du schaust nur auf die Exponenten:
- Kommen nur gerade Exponenten vor (inkl. der konstanten \( x^0 \))? → achsensymmetrisch zur y-Achse. Beispiel: \( x^4 - 2x^2 + 1 \).
- Kommen nur ungerade Exponenten vor? → punktsymmetrisch zum Ursprung. Genau unser Fall: \( x^3 - 3x \) hat die Exponenten \( 3 \) und \( 1 \), beide ungerade.
- Gemischt (gerade und ungerade)? → keine der beiden Standardsymmetrien.
Haltung dahinter: Warum funktioniert der Exponenten-Trick?
Setzt du \( -x \) ein, dreht ein Term genau dann sein Vorzeichen um, wenn sein Exponent ungerade ist (z. B. \( (-x)^3 = -x^3 \)); bei geradem Exponenten bleibt das Vorzeichen (z. B. \( (-x)^2 = x^2 \)). Sind alle Exponenten ungerade, dreht jeder Term sein Vorzeichen — der ganze Term wird zu \( -f(x) \). Sind alle gerade, bleibt alles gleich, also \( f(-x) = f(x) \). Der Trick ist nur die abgekürzte Version der ausführlichen Rechnung oben.
Randverhalten (Verhalten im Unendlichen)
Das Randverhalten beantwortet die Frage: Wohin läuft der Graph ganz weit links und ganz weit rechts? Es legt die grobe „Flugbahn" der Kurve fest. AB II
Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet allein der Term mit dem höchsten Exponenten — hier \( x^3 \). Für sehr große \( |x| \) wächst \( x^3 \) so schnell, dass der Summand \( -3x \) daneben keine Rolle mehr spielt. Also verhält sich \( f \) für die Ränder wie \( x^3 \):
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty, \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty \]
In Worten: Der Graph kommt links unten herein und läuft rechts oben hinaus.
Warum darf ich die kleineren Terme ignorieren?
Klammere den höchsten Term aus:
\[ f(x) = x^3 - 3x = x^3\left(1 - \frac{3}{x^2}\right) \]
Für \( x \to \pm\infty \) wird \( \frac{3}{x^2} \) beliebig klein, geht also gegen \( 0 \). Die Klammer strebt damit gegen \( 1 \), und übrig bleibt das Verhalten von \( x^3 \). Das ist die Haltung dahinter: Im Unendlichen dominiert immer der höchste Term, weil er alle anderen überwächst.
Die Merkregel für ganzrationale Funktionen
Du musst nur auf zwei Dinge schauen: den Grad (gerade oder ungerade) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten (Zahl vor dem höchsten Term).
- Ungerader Grad (wie hier, Grad \( 3 \), Leitkoeffizient \( +1 \)): Die beiden Enden laufen in entgegengesetzte Richtungen — links nach \( -\infty \), rechts nach \( +\infty \). Bei negativem Leitkoeffizienten genau andersherum.
- Gerader Grad (z. B. eine Parabel \( x^2 \)): Beide Enden laufen in dieselbe Richtung — bei positivem Leitkoeffizienten beide nach \( +\infty \).
Das passt zur Punktsymmetrie: Ein punktsymmetrischer Graph muss an den Enden gegenläufig sein.
Extremstellen & Monotonie
Jetzt zur Feinform. Monotonie beschreibt, wo der Graph steigt und wo er fällt; Extremstellen sind die Hoch- und Tiefpunkte, an denen er von Steigen auf Fallen umschlägt (oder umgekehrt). Beides hängt am Vorzeichen der ersten Ableitung \( f' \), denn \( f'(x) \) ist die Steigung des Graphen an der Stelle \( x \):
- \( f'(x) > 0 \): Graph steigt (streng monoton steigend).
- \( f'(x) < 0 \): Graph fällt (streng monoton fallend).
- \( f'(x) = 0 \): waagerechte Tangente — ein Kandidat für eine Extremstelle.
Schritt 1 — notwendige Bedingung \( f'(x) = 0 \): AB II
\[ 3x^2 - 3 = 0 \;\Leftrightarrow\; x^2 = 1 \;\Leftrightarrow\; x = \pm 1 \]
Die Kandidaten sind \( x = -1 \) und \( x = +1 \).
Schritt 2 — hinreichende Bedingung über \( f'' \): Ist \( f''(x_0) \neq 0 \) an einer Stelle mit \( f'(x_0) = 0 \), liegt dort wirklich ein Extrempunkt. Dabei gilt: AB II
- \( f''(x_0) > 0 \) → Tiefpunkt (Graph ist dort nach oben gekrümmt, „Tal").
- \( f''(x_0) < 0 \) → Hochpunkt (Graph ist dort nach unten gekrümmt, „Berg").
Du setzt die Kandidaten in \( f''(x) = 6x \) ein:
- \( f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \) → Hochpunkt bei \( x = -1 \).
- \( f''(+1) = 6 \cdot 1 = +6 > 0 \) → Tiefpunkt bei \( x = +1 \).
Schritt 3 — y-Werte (die vollständigen Punkte): Du setzt die Stellen in das ursprüngliche \( f \) ein, nicht in eine Ableitung:
\[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2, \qquad f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 = 1 - 3 = -2 \]
Ergebnis: Hochpunkt \( H(-1 \mid 2) \) und Tiefpunkt \( T(1 \mid -2) \). Auch hier siehst du die Punktsymmetrie: Die beiden Punkte liegen spiegelbildlich zum Ursprung.
Warum reicht \( f'(x)=0 \) allein nicht — und warum hilft \( f'' \)?
\( f'(x) = 0 \) bedeutet nur „die Tangente ist waagerecht". Das ist bei jedem Hoch- und Tiefpunkt so, aber auch an einem sogenannten Sattelpunkt (waagerechte Tangente ohne Extremum, der Graph steigt davor und danach weiter). Darum heißt \( f'(x) = 0 \) notwendig: Jede Extremstelle erfüllt es, aber nicht jede Stelle, die es erfüllt, ist eine Extremstelle.
Die hinreichende Bedingung \( f''(x_0) \neq 0 \) schließt die Lücke. \( f''(x_0) > 0 \) heißt: Der Graph ist dort nach oben gekrümmt — eine waagerechte Tangente in einem nach oben gekrümmten Bogen kann nur am tiefsten Punkt liegen, also Tiefpunkt. Umgekehrt bei \( f''(x_0) < 0 \): Hochpunkt.
Die Eselsbrücke für Hoch-/Tiefpunkt
\( f'' \) positiv = Tiefpunkt, \( f'' \) negativ = Hochpunkt — das fühlt sich oft „verkehrt" an. Merke es dir über die Form: Ein positives \( f'' \) bedeutet eine nach oben geöffnete Kurve (wie ein lachender Mund \( \smile \), ein Tal → Tiefpunkt), ein negatives \( f'' \) eine nach unten geöffnete Kurve (wie ein trauriger Mund \( \frown \), ein Berg → Hochpunkt).
Was tun, wenn auch \( f''(x_0) = 0 \) ist?
Dann versagt das \( f'' \)-Kriterium, und du weichst auf das Vorzeichenwechsel-Kriterium von \( f' \) aus: Du prüfst, ob \( f' \) links und rechts von \( x_0 \) das Vorzeichen wechselt. Wechsel von \( + \) nach \( - \) → Hochpunkt; von \( - \) nach \( + \) → Tiefpunkt; kein Wechsel → Sattel- bzw. Terrassenpunkt. In unserem Beispiel tritt dieser Fall nicht auf, weil \( f''(\pm 1) \neq 0 \) ist.
Monotonie-Tabelle. Mit den beiden Extremstellen ist die Zahlengerade in drei Bereiche geteilt. In jedem Bereich behält \( f' \) sein Vorzeichen; du musst nur einen Probewert je Bereich einsetzen. AB II
| Bereich | Probewert | \( f'(\text{Probe}) = 3x^2 - 3 \) | Vorzeichen | Verhalten |
|---|---|---|---|---|
| \( x < -1 \) | \( x = -2 \) | \( 3 \cdot 4 - 3 = 9 \) | \( + \) | steigt |
| \( -1 < x < 1 \) | \( x = 0 \) | \( 0 - 3 = -3 \) | \( - \) | fällt |
| \( x > 1 \) | \( x = 2 \) | \( 3 \cdot 4 - 3 = 9 \) | \( + \) | steigt |
Der Graph steigt also bis zum Hochpunkt \( H(-1\mid 2) \), fällt dann hinab zum Tiefpunkt \( T(1\mid -2) \) und steigt danach wieder — genau das typische Auf-und-Ab einer Funktion dritten Grades.
Haltung dahinter: Warum genügt ein einziger Probewert pro Bereich?
Zwischen zwei benachbarten Nullstellen von \( f' \) kann \( f' \) das Vorzeichen nicht wechseln — ein Vorzeichenwechsel bräuchte ja eine Nullstelle dazwischen, und die gibt es per Annahme nicht. Also ist \( f' \) im ganzen Bereich gleich gepolt, und ein einziger Testwert verrät das Vorzeichen für den gesamten Abschnitt. Das spart dir viel Rechnerei.
Wendestellen & Krümmung
Zuletzt die Krümmung: Sie sagt, ob sich der Graph nach oben oder nach unten wölbt. Eine Wendestelle ist der Punkt, an dem die Krümmung umschlägt — der Graph wechselt von einer Linkskurve in eine Rechtskurve oder umgekehrt. Das hängt am Vorzeichen der zweiten Ableitung \( f'' \):
- \( f''(x) > 0 \): konvex (linksgekrümmt, nach oben gewölbt \( \smile \)).
- \( f''(x) < 0 \): konkav (rechtsgekrümmt, nach unten gewölbt \( \frown \)).
- \( f''(x) = 0 \): möglicher Wechsel — Kandidat für eine Wendestelle.
Schritt 1 — notwendige Bedingung \( f''(x) = 0 \): AB II
\[ 6x = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0 \]
Schritt 2 — hinreichende Bedingung über \( f''' \): Ist \( f'''(x_0) \neq 0 \), liegt dort tatsächlich eine Wendestelle. Hier ist \( f'''(x) = 6 \), also konstant: \( f'''(0) = 6 \neq 0 \) — \( x = 0 \) ist gesichert eine Wendestelle. AB II
Schritt 3 — y-Wert: \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0 = 0 \). Der Wendepunkt ist \( W(0 \mid 0) \) — er liegt genau im Ursprung, dem Symmetriezentrum.
Warum \( f''=0 \) notwendig, \( f''' \neq 0 \) hinreichend — die Parallele zu den Extremstellen
Das Muster ist dasselbe wie eine Stufe tiefer bei den Extremstellen, nur um eine Ableitung verschoben. Ein Wendepunkt von \( f \) ist eine Extremstelle der Steigung \( f' \): An der Wendestelle ist die Steigung am steilsten (oder am flachsten) und kehrt ihre Änderungsrichtung um.
- Eine Extremstelle von \( f' \) verlangt \( (f')'(x) = f''(x) = 0 \) — das ist die notwendige Bedingung.
- Dass es wirklich ein Extremum von \( f' \) ist, sichert \( (f')''(x_0) = f'''(x_0) \neq 0 \).
Darum „erbt" die Wendestellen-Rechnung die Logik der Extremstellen-Rechnung — du gehst einfach mit \( f'' \) und \( f''' \) genauso vor wie vorher mit \( f' \) und \( f'' \).
Haltung dahinter: die typische Falle bei \( f''=0 \)
\( f''(x_0) = 0 \) allein genügt nicht für eine Wendestelle — es ist nur notwendig. Es könnte auch eine Stelle sein, an der \( f'' \) die Achse nur berührt, ohne das Vorzeichen zu wechseln (dann keine Wende). Erst der Nachweis \( f'''(x_0) \neq 0 \) (oder ein Vorzeichenwechsel von \( f'' \)) macht die Wendestelle sicher. Behaupte nie eine Wendestelle, ohne die hinreichende Bedingung gezeigt zu haben.
Krümmungsverhalten. Da \( f''(x) = 6x \) nur bei \( x = 0 \) das Vorzeichen wechselt, gibt es zwei Krümmungsbereiche: AB II
- Für \( x < 0 \): \( f''(x) = 6x < 0 \) → konkav (rechtsgekrümmt). Dazu passt der Hochpunkt bei \( x = -1 \), der in einem nach unten gewölbten Bogen liegt.
- Für \( x > 0 \): \( f''(x) = 6x > 0 \) → konvex (linksgekrümmt). Dazu passt der Tiefpunkt bei \( x = +1 \) im nach oben gewölbten Bogen.
Synthese — den Graphen zeichnen
Jetzt setzt du alle Puzzleteile zu einem Bild zusammen. Die Haltung dahinter: Du brauchst den Graphen nicht zu „erraten" — wenn du die markanten Punkte einträgst und das Randverhalten beachtest, ergibt sich die Form fast von selbst.
So gehst du in der Prüfung beim Skizzieren vor:
- Koordinatensystem mit passender Skalierung zeichnen (hier reicht \( x \) von etwa \( -3 \) bis \( 3 \), \( y \) von \( -4 \) bis \( 4 \)).
- Markante Punkte eintragen: Nullstellen \( (-\sqrt{3}\mid 0) \), \( (0\mid 0) \), \( (\sqrt{3}\mid 0) \); Hochpunkt \( H(-1\mid 2) \); Tiefpunkt \( T(1\mid -2) \); Wendepunkt \( W(0\mid 0) \).
- Randverhalten andeuten: links unten herein (\( \to -\infty \)), rechts oben hinaus (\( \to +\infty \)).
- Verbinden, passend zur Monotonie und Krümmung: steigend bis \( H \), fallend bis \( T \), dann wieder steigend; links vom Wendepunkt rechtsgekrümmt, rechts davon linksgekrümmt.
So sieht das Ergebnis aus (die markanten Punkte sind eingezeichnet):
Die vollständige Steckbrief-Tabelle (zum Abhaken in der Prüfung)
| Untersuchung | Ergebnis für \( f(x) = x^3 - 3x \) |
|---|---|
| y-Achsenabschnitt | \( f(0) = 0 \), Punkt \( (0\mid 0) \) |
| Nullstellen | \( x = -\sqrt{3},\; 0,\; +\sqrt{3} \) |
| Symmetrie | punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten) |
| Randverhalten | \( x\to-\infty:\, f\to-\infty \); \( x\to+\infty:\, f\to+\infty \) |
| Extremstellen | Hochpunkt \( H(-1\mid 2) \), Tiefpunkt \( T(1\mid -2) \) |
| Monotonie | steigt für \( x<-1 \), fällt für \( -1 |
| Wendestelle | Wendepunkt \( W(0\mid 0) \) |
| Krümmung | konkav für \( x<0 \), konvex für \( x>0 \) |
Diese acht Zeilen sind die komplette Funktionsuntersuchung. Wenn du sie für eine beliebige ganzrationale Funktion füllen kannst, beherrschst du die Kurvendiskussion.
Mündlich erklärt: Wie würdest du der Prüferin den Graphen in drei Sätzen beschreiben?
Übe diese Zusammenfassung laut — genau so etwas wird im Prüfungsgespräch verlangt:
„Der Graph von \( f(x) = x^3 - 3x \) ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Er kommt von links unten, steigt zum Hochpunkt \( H(-1\mid 2) \), fällt durch den Ursprung — der zugleich Wendepunkt ist — hinab zum Tiefpunkt \( T(1\mid -2) \) und steigt dann nach rechts oben weg. Die Nullstellen liegen bei \( -\sqrt{3} \), \( 0 \) und \( +\sqrt{3} \)."
Wenn du das frei und sicher sagen kannst, ohne abzulesen, hast du das Kapitel verstanden.
Zur Prüfungsrelevanz
Die Funktionsuntersuchung an ganzrationalen Funktionen (Polynomen) ist Kernstoff des Basisfachs und mit hoher Wahrscheinlichkeit prüfungsrelevant. Kernstoff Basisfach
Dieselbe Schrittfolge wendest du später auch auf andere Funktionstypen an. Achtung bei zwei davon:
- Die Funktion \( f(x) = \tfrac{1}{x} \) (gebrochenrationale Funktion) ist offiziell Leistungsfach, Basisfach unsicher [97 %] — mit Lehrkraft prüfen
- Die Wurzelfunktion \( f(x) = \sqrt{x} \) ist im Basisfach nicht eigenständig ausgewiesen, Basisfach unsicher [80 %] — mit Lehrkraft prüfen
Für beide gilt: Falls sie in deiner Prüfung vorkommen, läuft die Untersuchung nach demselben Schema — nur dass du zusätzlich auf den Definitionsbereich achten musst (bei \( \tfrac{1}{x} \) ist \( x = 0 \) verboten, bei \( \sqrt{x} \) sind negative \( x \) verboten). Kläre den genauen Umfang sicherheitshalber mit deiner Lehrkraft.